1、.,狀態(tài)和狀態(tài)空間模型,.,狀態(tài)和狀態(tài)空間模型 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是建立在狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上的,因此,對這些基本概念進(jìn)行嚴(yán)格的定義和相應(yīng)的討論,必須準(zhǔn)確掌握和深入理解。 狀態(tài) 狀態(tài)變量 狀態(tài)空間 狀態(tài)空間模型,.,狀態(tài)空間的基本概念 下面將給出動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)空間的概念,主要講授內(nèi)容為： 系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量 系統(tǒng)的狀態(tài)空間,.,1. 系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量 動態(tài)(亦稱動力學(xué))系統(tǒng)的“狀態(tài)”這個詞的字面意思就是指系統(tǒng)過去、現(xiàn)在將來的運動狀況。 正確理解“狀態(tài)”的定義與涵義,對掌握狀態(tài)空間分析方法十分重要。 “狀態(tài)”的定義如下。 定義2-1 動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài),是指能夠完全描述系統(tǒng)時間域動

2、態(tài)行為的一個最小變量組。 該變量組的每個變量稱為狀態(tài)變量。 該最小變量組中狀態(tài)變量個數(shù)稱為系統(tǒng)的階數(shù)。,.,“狀態(tài)”定義的三要素 完全描述。即給定描述狀態(tài)的變量組在初始時刻(t=t0)的值和初始時刻后(tt0)的輸入,則系統(tǒng)在任何瞬時(tt0)的行為,即系統(tǒng)的狀態(tài),就可完全且唯一的確定。 動態(tài)時域行為。 最小變量組。即描述系統(tǒng)狀態(tài)的變量組的各分量是相互獨立的。 減少變量,描述不全。 增加則一定存在線性相關(guān)的變量,冗余的變量,毫無必要。,要掌握喔!,.,若要完全描述n階系統(tǒng),則其最小變量組必須由n個變量(即狀態(tài)變量)所組成,一般記這n個狀態(tài)變量為x1(t),x2(t), ,xn(t). 若以這n

3、個狀態(tài)變量為分量,構(gòu)成一個n維變量向量,則稱這個向量為狀態(tài)變量向量,簡稱為狀態(tài)向量,并可表示如下:,圖2-1 多輸入多輸出系統(tǒng)示意圖,.,狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)特性行為的變量。 它可以是能直接測量或觀測的量,也可以是不能直接測量或觀測的量； 可以是物理的,甚至可以是非物理的,沒有實際物理量與之直接相對應(yīng)的抽象的數(shù)學(xué)變量。,.,狀態(tài)空間,狀態(tài)變量與輸出變量的關(guān)系 狀態(tài)變量是能夠完全描述系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)特性行為的變量。 而輸出變量是僅僅描述在系統(tǒng)分析和綜合(濾波、優(yōu)化與控制等)時所關(guān)心的系統(tǒng)外在表現(xiàn)的動態(tài)特性,并非系統(tǒng)的全部動態(tài)特性。 因此,狀態(tài)變量比輸出變量更能全面反映系統(tǒng)的內(nèi)在變化規(guī)律。 可以

4、說輸出變量僅僅是狀態(tài)變量的外部表現(xiàn),是狀態(tài)變量的輸出空間的投影,一個子集。,輸出 空間,空間映射,x,y,.,2. 系統(tǒng)的狀態(tài)空間 若以n個狀態(tài)變量x1(t),x2(t),xn(t)為坐標(biāo)軸,就可構(gòu)成一個n維歐氏空間,并稱為n維狀態(tài)空間,記為Rn. 狀態(tài)向量的端點在狀態(tài)空間中的位置,代表系統(tǒng)在某一時刻的運動狀態(tài)。,隨著時間的推移,狀態(tài)不斷地變化,tt0各瞬時的狀態(tài)在狀態(tài)空間構(gòu)成一條軌跡,它稱為狀態(tài)軌線。 狀態(tài)軌線如圖2-2所示。,圖2-2 二維空間的狀態(tài)軌線,.,系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 狀態(tài)空間模型是應(yīng)用狀態(tài)空間分析法對動態(tài)系統(tǒng)所建立的一種數(shù)學(xué)模型,它是應(yīng)用現(xiàn)代控制理論對系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合的基礎(chǔ)。

5、 狀態(tài)空間模型由 描述系統(tǒng)的動態(tài)特性行為的狀態(tài)方程和 描述系統(tǒng)輸出變量與狀態(tài)變量間的變換關(guān)系的輸出方程 所組成。 下面以一個由電容、電感等儲能元件組成的二階RLC電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為例,說明狀態(tài)空間模型的建立和形式,然后再進(jìn)行一般的討論。,.,例 某電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的模型如圖2-3所示。 試建立以電壓ui為系統(tǒng)輸入,電容器兩端的電壓uC為輸出的狀態(tài)空間模型。,解 1. 根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)部機理列出各物理量所滿足的關(guān)系式。 對本例,針對RLC網(wǎng)絡(luò)的回路電壓和節(jié)點電流關(guān)系,列出各電壓和電流所滿足的方程,圖2-3 例2-3的RLC電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),.,2. 選擇狀態(tài)變量。 狀態(tài)變量的個數(shù)應(yīng)為獨立一階儲能元件(如電感和電容)的

6、個數(shù)。 對本例 x1(t)=iL, x2(t)=uC 3. 將狀態(tài)變量代入各物理量所滿足的方程,整理得一規(guī)范形式的一階矩陣微分方程組-狀態(tài)方程。 每個狀態(tài)變量對應(yīng)一個一階微分方程,導(dǎo)數(shù)項的系數(shù)為1,非導(dǎo)數(shù)項列寫在方程的右邊。,.,對本例,經(jīng)整理可得如下狀態(tài)方程,寫成向量與矩陣形式為：,4. 列寫描述輸出變量與狀態(tài)變量之間關(guān)系的輸出方程。 對本例,.,其中,5. 將上述狀態(tài)方程和輸出方程列寫在一起,即為描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的狀態(tài)空間模型,.,總結(jié)出狀態(tài)空間模型的形式為,其中x為n維的狀態(tài)向量; u為r維的輸入向量; y為m維的輸出向量; A為nn維的系統(tǒng)矩陣; B為nr維的輸入矩陣; C為mn

7、維的輸出矩陣; D為mr維的直聯(lián)矩陣(前饋矩陣,直接轉(zhuǎn)移矩陣)。,描述線性系統(tǒng)的主要狀態(tài)空間模型,切記!,.,狀態(tài)空間模型的意義,有如下討論: 狀態(tài)方程描述的是系統(tǒng)動態(tài)特性, 其決定系統(tǒng)狀態(tài)變量的動態(tài)變化。 輸出方程描述的是輸出與系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量的關(guān)系。 系統(tǒng)矩陣A表示系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)變量之間關(guān)聯(lián)情況, 它主要決定系統(tǒng)的動態(tài)特性。 輸入矩陣B又稱為控制矩陣, 它表示輸入對狀態(tài)變量變化的影響。 輸出矩陣C反映狀態(tài)變量與輸出間的作用關(guān)系。 直聯(lián)矩陣D則表示了輸入對輸出的直接影響,許多系統(tǒng)不存在這種直聯(lián)關(guān)系,即直聯(lián)矩陣D=0。,.,上述線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可推廣至 非線性系統(tǒng)、 時變系統(tǒng)。

8、 1. 非線性時變系統(tǒng),其中f(x,u,t)和g(x,u,t)分別為如下n維和m維關(guān)于狀態(tài)向量x、輸入向量u和時間t的非線性向量函數(shù) f(x,u,t)=f1(x,u,t) f2(x,u,t) fn(x,u,t) g(x,u,t)=g1(x,u,t) g2(x,u,t) gm(x,u,t),.,系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(9/11),2. 非線性系統(tǒng),其中f(x,u)和g(x,u)分別為n維和m維狀態(tài)x和輸入u的非線性向量函數(shù)。 這些非線性函數(shù)中不顯含時間t,即系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不隨時間變化而變化。 3. 線性時變系統(tǒng),其中各矩陣為時間t的函數(shù),隨時間變化而變化。,.,系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(10/11),4

9、. 線性定常系統(tǒng),為簡便,常將線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型簡記為 (A(t),B(t),C(t),D(t). 類似地,線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型亦可簡記為 (A,B,C,D). 幾種簡記符的意義:,.,系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(11/11),.,線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以用結(jié)構(gòu)圖的方式表達(dá)出來,以形象說明系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)之間的信息傳遞關(guān)系。 在采用模擬或數(shù)字計算機仿真時,它是一個強有力的工具。 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖主要有三種基本元件: 積分器, 加法器, 比例器, 其表示符如圖2-4所示。,.,圖2-4 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中的三種基本元件,.,例 線性時變系統(tǒng),的結(jié)構(gòu)圖如圖2-5所示。

10、,圖2-5 多輸入多輸出線性時變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖,.,線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖,若需要用結(jié)構(gòu)圖表示出各狀態(tài)變量、各輸入變量和各輸出變量間的信息傳遞關(guān)系,則必須根據(jù)實際的狀態(tài)空間模型,畫出各變量間的結(jié)構(gòu)圖。 圖2-6表示的是狀態(tài)空間模型如下所示的雙輸入-雙輸出線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。,.,線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖,圖2-6 雙輸入雙輸出線性定常系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,.,根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型 建立被控對象的數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行系統(tǒng)分析和綜合的第一步,是控制理論和工程的基礎(chǔ). 上一節(jié)討論了由電容和電感兩類儲能元件以及電阻所構(gòu)成的電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立，其依據(jù)為各電氣元件的物理機理及電網(wǎng)絡(luò)分析方法.

11、 這種根據(jù)系統(tǒng)的物理機理建立對象的數(shù)學(xué)模型的方法稱為機理建模. 機理建模主要根據(jù)系統(tǒng)的物料和能量(電壓、電流、力和熱量等)在儲存和傳遞中的動態(tài)平衡關(guān)系,以及各環(huán)節(jié)、元件的各物理量之間的關(guān)系,如電感的電壓和電流滿足的動態(tài)關(guān)系.,.,根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型,在實際工程系統(tǒng)中,許多過程和元件都具有儲存和傳遞能量 (或信息)的能力。例如, 機械動力學(xué)系統(tǒng)中的彈簧和運動中的質(zhì)量體都儲存有能量并能通過某種形式傳遞; 化工熱力學(xué)系統(tǒng)中的物質(zhì)中的熱量的儲存與傳遞; 化工反應(yīng)系統(tǒng)反應(yīng)物質(zhì)的物料傳遞和平衡的信息. 對這些系統(tǒng),根據(jù)其物理和化學(xué)變化的機理,由相應(yīng)描述這些變化的物理和化學(xué)的定理、定律和規(guī)律等,可

12、得系統(tǒng)各物理量之間所滿足的動靜態(tài)關(guān)系式.因此,在選擇適宜的狀態(tài)變量后,可建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型.,.,根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型,建立動態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的主要機理/依據(jù)有: 電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中回路和節(jié)點的電壓和電流平衡關(guān)系,電感和電容等儲能元件的電壓和電流之間的動態(tài)關(guān)系. 機械動力學(xué)系統(tǒng)中的牛頓第二定律,彈性體和阻尼體的力與位移、速度間的關(guān)系. 對旋轉(zhuǎn)運動,則相應(yīng)的為轉(zhuǎn)矩、角位移和角速度. 化工熱力學(xué)系統(tǒng)中的熱量的傳遞與儲存,化工反應(yīng)工程系統(tǒng)中參加反應(yīng)的物料的傳遞和平衡關(guān)系. 經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的投入產(chǎn)出方程。,.,根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型,建立狀態(tài)空間模型的關(guān)鍵在于狀態(tài)變量的選取，它是建立狀態(tài)空間模型

13、的前提 狀態(tài)變量的主要選取辦法 系統(tǒng)儲能元件的輸出 系統(tǒng)輸出及其輸出變量的各階導(dǎo)數(shù) 上述狀態(tài)變量的數(shù)學(xué)投影（使系統(tǒng)狀態(tài)方程成為某種標(biāo)準(zhǔn)形式的變量）,.,根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型,下面通過常見的 剛體力學(xué)系統(tǒng)、 流體力學(xué)系統(tǒng)、 典型化工(熱工)過程 機電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng) 討論如何建立狀態(tài)空間模型.,.,剛體動力學(xué)系統(tǒng),1. 剛體動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 圖2-7表示由彈簧、質(zhì)量體、阻尼器組成的剛體動力學(xué)系統(tǒng)的物理模型. 試建立以外力u(t)為系統(tǒng)輸入,質(zhì)量體位移y(t)為輸出的狀態(tài)空間模型.,.,剛體動力學(xué)系統(tǒng)(2/4),解 對許多實際系統(tǒng),由于對系統(tǒng)的各種物理量的初始值或絕對值難于了解,一般將

14、對物理量僅考慮在其相對于初始狀況之后的相對值。 對本例的剛體力學(xué)系統(tǒng),一般先假設(shè)在外力u(t)作用于小車之前,小車已處于平衡態(tài)。 下面僅考慮外力加入后,對小車運動的影響. 系統(tǒng)的受力情況如下圖所示.,.,2. 選擇狀態(tài)變量. 對機械動力學(xué)系統(tǒng),常常將位移對本例,有,剛體動力學(xué)系統(tǒng)(3/4),1. 應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)部機理列出各物理量(如本例的力、位置和速度)所滿足的關(guān)系式. 由牛頓第二定律有,.,剛體動力學(xué)系統(tǒng),4. 建立輸出方程 y=x1 5. 經(jīng)整理,可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型,3. 將狀態(tài)變量代入運動方程,.,圖2-8為串聯(lián)的兩個水槽,其截面積分別為A1和A2,當(dāng)閥門的開度不變,在平衡工

15、作點附近閥門阻力系數(shù)分別可視為常量R1和R2. 圖中Qi,Q1和Qo為流量; h1和h2為水槽的水面高度. 試求輸入為Qi,輸出為h2時的狀態(tài)空間模型.,.,流體動力學(xué)系統(tǒng)(2/5),下面在討論本例的解之前,先簡單總結(jié)一下如下流量與壓力(壓強)的關(guān)系.,解 對本例的流體力學(xué)系統(tǒng),假設(shè)對兩個水槽的流入和流出的水流體已處于平衡. 下面僅考慮流量Qi的變化量Qi引起的水槽水位的變化.,壓力,流量,電路,電壓,電流,流體,壓力(液位差),液體流量,氣體,氣壓差(壓強),氣流量(風(fēng)量),壓力/流量,電阻,閥門阻力系數(shù),風(fēng)阻力系數(shù),.,流體動力學(xué)系統(tǒng)(3/5),1. 機理分析. 根據(jù)水槽中所盛的水量的平衡

16、關(guān)系和流量與壓力(水面高度,液位差)的關(guān)系,有,其中代表平衡工作點附近的變化量. 將上述方程的中間變量Q1和Qo消去,則有,.,典型化工(熱工)過程,為了使化學(xué)反應(yīng)向右進(jìn)行,用蒸汽對反應(yīng)器內(nèi)的溶液進(jìn)行加熱,蒸汽加熱量為q(t)。 試以料液的流量Q(t)和蒸汽加熱量q(t)為輸入,容器內(nèi)的液體的溫度(t)和濃度CA(t)為輸出,建立狀態(tài)空間模型。,.,典型化工(熱工)過程,解 1. 機理分析. 在化學(xué)反應(yīng)中,一般應(yīng)保持熱量和物料的平衡關(guān)系。 因此,對整個反應(yīng)器作熱量和物料平衡,就有,其中V,CP分別為容器體積、比重和比熱;k為反應(yīng)速率常數(shù); H為反應(yīng)熱。,.,典型化工(熱工)過程 (4/5),2

17、. 選擇狀態(tài)變量. 顯然,選擇容器內(nèi)的液體的溫度(t)和濃度CA(t)為狀態(tài)變量是合理的。因此,令 x1(t)=(t) x2(t)=CA(t) 3. 將狀態(tài)變量代入上述微分方程,則有如下狀態(tài)方程,.,典型化工(熱工)過程,上述狀態(tài)空間模型表示的是一個雙輸入雙輸出的非線性定常系統(tǒng)。,和輸出方程,.,機電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng),4. 機電系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 圖2-10表示某電樞控制的直流電動機,其中Ra和La為電樞回路總電阻和總電感,J為轉(zhuǎn)動慣量,負(fù)載為摩擦系數(shù)為f的阻尼摩擦. 試列寫以電樞電壓u(t)為輸入,軸的角位移(t)為輸出的狀態(tài)空間模型.,.,機電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng),解 1. 電動機勵磁電流不變,鐵心工作在非飽和區(qū). 按照圖2-10所描述的電動機系統(tǒng),可以寫出如下主回路電壓方程和軸轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程,其中Ea