1、一、幾何概型,三、小結(jié),1.3 幾何概型和概率的公理化定義,二、概率的公理化定義,把有限個(gè)樣本點(diǎn)推廣到無限個(gè)樣本點(diǎn)的場合,人們引入了幾何概型. 由此形成了確定概率的另一方法 幾何方法.,概率的古典定義具有可計(jì)算性的優(yōu)點(diǎn),但它也有明顯的局限性.要求樣本點(diǎn)有限,如果樣本空間中的樣本點(diǎn)有無限個(gè), 概率的古典定義就不適用了.,例1。用計(jì)算機(jī)在0,1區(qū)間上任打出一個(gè)隨機(jī)數(shù)，求這個(gè)數(shù)小于1/3的概率。,例2。隨機(jī)的在單位圓（以原點(diǎn)為圓心）內(nèi)擲一點(diǎn)M，求這點(diǎn)到原點(diǎn)距離小于1/2的概率。,例3。在400毫升自來水中有一個(gè)大腸桿菌，今從中隨機(jī)取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察，求發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率。,一、幾何概率,

2、定義1.4,定義1.5 當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域,并且任意一點(diǎn)落在度量 (長度, 面積, 體積) 相同的子區(qū)域是等可能的,則事件 A 的概率可定義為,說明 當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無窮多個(gè)時(shí), 就歸結(jié)為幾何概率.,幾何概型的概率的性質(zhì),(1) 對(duì)任一事件A ,有,那末,兩人會(huì)面的充要條件為,例1 甲、乙兩人相約在 0 到 T 這段時(shí)間內(nèi), 在預(yù) 定地點(diǎn)會(huì)面. 先到的人等候另一個(gè)人, 經(jīng)過時(shí)間 t ( tT ) 后離去.設(shè)每人在0 到T 這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻 到達(dá)該地是等可能的 , 且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不牽 連.求甲、乙兩人能會(huì)面的概率.,會(huì)面問題,解,故所求的概率為,若以 x, y 表示平面

3、 上點(diǎn)的坐標(biāo) ,則有,蒲豐投針試驗(yàn),例21777年,法國科學(xué)家蒲豐(Buffon)提出了投針 試驗(yàn)問題.平面上畫有等距離為a(0)的一些平行直 線,現(xiàn)向此平面任意投擲一根長為b( a )的針,試求 針與任一平行直線相交的概率.,解,蒲豐資料,蒲豐投針試驗(yàn)的應(yīng)用及意義,歷史上一些學(xué)者的計(jì)算結(jié)果(直線距離a=1),利用蒙特卡羅(Monte-Carlo)法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬,1933年 , 蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu) ,給出了概率的嚴(yán)格定義 ,使概率論有了迅速的發(fā)展.,二、概率的公理化定義與性質(zhì),貝特朗奇論,概率的可列可加性,1. 概率的定義1.7,證明,由概率的可列可加性得,2.

4、性質(zhì),證明,由概率的可列可加性得,證明,證明,證明,由圖可得,又由性質(zhì) 3 得,因此得,推廣 三個(gè)事件和的情況,n 個(gè)事件和的情況,解,2. 最簡單的隨機(jī)現(xiàn)象,古典概型,古典概率,幾何概型,試驗(yàn)結(jié)果 連續(xù)無窮,三、小結(jié),3. 概率的主要性質(zhì),備用題： 1. 某城有N輛卡車，車牌號(hào)從1到N，有一個(gè)外地人到該城去，把遇到的n輛車子的車牌號(hào)抄下（可能重復(fù)抄到某些車牌），求抄到的最大號(hào)碼正好為k的概率。,2. 從區(qū)間0,1中任取三個(gè)隨機(jī)數(shù)，求三個(gè)數(shù)和不大于1的概率。,Born: 25 April 1903 in Tambov,Tambov province,RussiaDied: 20 Oct 1987 in Moscow,Russia,柯爾莫哥洛夫資料,Andrey Nikolaevich Kolmogorov,蒲豐資料,Born: 7 Sept 1707 in Montbard, Cte dOr, FranceDied: