1、1,第十章 曲線積分與曲面積分,目錄 下頁 返回 結(jié)束,習(xí)題課,例題選講,基本內(nèi)容,2,一、曲線積分的計(jì)算法,1.基本方法,曲線積分,第一類 (對(duì)弧長),第二類 (對(duì)坐標(biāo)),(1) 統(tǒng)一積分變量,轉(zhuǎn)化,定積分,用參數(shù)方程,用直角坐標(biāo)方程,用極坐標(biāo)方程,(2) 確定積分上下限,第一類:下小上大,第二類:下始上終,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3,(1) 寫出曲線L方程及相應(yīng)弧微分公式ds, L為參數(shù)方程:, L為直角坐標(biāo)方程：, L為極坐標(biāo)方程：,對(duì)弧長的曲線積分解題步驟：,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,4,(2) 將L的表達(dá)式及弧微分公式直接代入曲線積分式, 化為定積分, 定出積分限.(注:下

2、限小于上限),L為參數(shù)方程,L為直角坐標(biāo)方程,L為極坐標(biāo)方程,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,5,(1) 直接化為對(duì)參變量的定積分,對(duì)坐標(biāo)的曲線積分計(jì)算方法：,注: 下限對(duì)起點(diǎn), 上限對(duì)終點(diǎn),首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,6,(2) 利用積分與路徑無關(guān)的條件,若 , 則積分只與L的起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān),故可選取便于計(jì)算的路徑,如折線段、圓弧段、直線段(結(jié)合P、Q考慮).,(3) 利用格林公式(適用于封閉曲線)化為定積分.,注: 若曲線L不是封閉的,直接計(jì)算又困難, 可考慮添加 輔助曲線C, 使L+C為封閉曲線, 再利用格林公式.,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7,(4) 利用斯托克斯公式(適用空間封閉

3、曲線積分).,利用行列式記號(hào)可記為：,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,8,或：,注: 格林公式(斯托克斯公式)反映的是平面閉區(qū)域 D(空間曲面)上重積分(曲面積分)與邊界曲線 上曲線積分之關(guān)系.,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,9,(1) 利用對(duì)稱性簡化計(jì)算;,(2) 利用積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件;,2. 基本技巧,對(duì)于曲線積分 ,下面四個(gè)條件等價(jià):,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,10,(5) 利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式.,其中,為有向曲線L上點(diǎn)(x, y)處的切向量的方向角.,(4) 利用斯托克斯公式;,(3) 利用格林公式 (注意加輔助線的技巧);,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,11,二、曲面

4、積分的計(jì)算法,1. 基本方法,曲面積分,第一類( 對(duì)面積 ),第二類( 對(duì)坐標(biāo) ),轉(zhuǎn)化,二重積分,(1) 統(tǒng)一積分變量 代入曲面方程,(2) 積分元素投影,第一類: 始終非負(fù),第二類: 有向投影,(3) 確定積分區(qū)域, 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,12,計(jì)算方法,第一類( 對(duì)面積的曲面積分 ),首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,13,上側(cè)取正號(hào), 下側(cè)取負(fù)號(hào).,第二類( 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 ),前側(cè)取正號(hào)，后側(cè)取負(fù)號(hào).,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,14,右側(cè)取正號(hào)，左側(cè)取負(fù)號(hào).,注：對(duì)于封閉曲面, 可考慮用高斯公式.,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,15,2. 基本

5、技巧,(1) 利用對(duì)稱性簡化計(jì)算,(2) 利用高斯公式,注意公式使用條件,添加輔助面的技巧,(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面),高斯公式反映的是空間閉區(qū)域上三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,16,(3) 兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化,其中,為有向曲面上點(diǎn)(x, y, z)處的法向量的方向角.,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,17,三、例題選講,解 利用極坐標(biāo),原式=,說明:若用參數(shù)方程計(jì)算,則,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,18,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,19,解,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,20,解 因在 上有,故,原式 =,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2

6、1,解法1 令,則,這說明積分與路徑無關(guān), 故,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,22,解法2,它與L所圍區(qū)域?yàn)镈,(利用格林公式),則,添加輔助線段,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,23,提示:,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,24,提示:,方法1,利用對(duì)稱性,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,25,設(shè)三角形區(qū)域?yàn)?, 方向向上,則,方法2,利用斯托克斯公式,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,26,且取下側(cè) ,提示: 以半球底面,原式 =,記半球域?yàn)?,高斯公式有,為輔助面,利用,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,27,證 設(shè),(常向量),則,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,28,解 取足夠小的正數(shù), 作曲面,取下側(cè),使其包在 內(nèi),為 xoy 平面上夾于,之間的部分, 且取下側(cè) ,則,首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束,29,第二項(xiàng)添加輔助面, 再用高斯公式 計(jì)算, 得,首頁 上頁