1、2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(一),東莞中學(xué)松山湖學(xué)校 劉建軍,問(wèn)題:,(1)平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是什么呢?,(2) 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡又是 什么呢？,數(shù) 學(xué) 實(shí) 驗(yàn),同學(xué)們一起觀察以下操作： 在圖板上，將一根無(wú)彈性細(xì)繩的兩端用圖釘固定，一支 鉛筆的筆尖沿細(xì)繩運(yùn)動(dòng)，能得到什么圖形？,反 思,（1）在畫(huà)出一個(gè)橢圓的過(guò)程中，細(xì)繩的兩端的位置是固定的還是運(yùn)動(dòng)的？ （2）在畫(huà)橢圓的過(guò)程中，繩子的長(zhǎng)度變了沒(méi)有？說(shuō)明了什么？ （3）在畫(huà)橢圓的過(guò)程中，繩子長(zhǎng)度與兩定點(diǎn)距離大小有怎樣的關(guān)系？,結(jié)合實(shí)驗(yàn)以及“圓的定義”,思考討論一下應(yīng)該 如何定義橢圓？它應(yīng)該包含幾個(gè)要素？,

2、（1）在平面內(nèi),（2）到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離等于定長(zhǎng)2a,（3）定長(zhǎng)2a|F1F2|,反思：,平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和（2a）等于定長(zhǎng)（大于|F1F2 |）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。 定點(diǎn)F1、F2叫做橢圓的焦點(diǎn)。 兩焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距（2c）。,橢圓定義的文字表述：,橢圓定義的符號(hào)表述：,一、橢圓的定義,F1,F2,M,二、如何得到橢圓曲線(xiàn)的方程?,問(wèn)題1:(1) 求曲線(xiàn)方程的基本步驟？,(2) 如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系？,O,x,y,方案一,O,x,y,方案二,（1）建系設(shè)點(diǎn);,（2）寫(xiě)出點(diǎn)集；,（3）列出方程；,（4）化簡(jiǎn)方程；,（5）證明（可省略）。,(2) 如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系？,o,x

3、,y,方 案 一,o,x,y,方 案 二,o,x,y,方 案 三,o,x,y,方 案 四,(1)建系設(shè)點(diǎn):,(2)寫(xiě)出點(diǎn)集:,(3)列出方程:,(4)化簡(jiǎn)方程:,問(wèn)題2:求曲線(xiàn)方程的步驟是什么?(以方案一為例),O,x,y,F1,F2,M,方案一,以F1F2所在直線(xiàn)為x軸，F(xiàn)1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn) 建立平面直角坐標(biāo)系，,設(shè)M（x,y)為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，,則焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別為(-c,0)、(c,0)。,O,x,y,F1,F2,M,如圖所示:F1、F2為兩定點(diǎn)，且 |F1F2|=2c，求平面內(nèi)到兩定點(diǎn) F1、F2距離之和為定值2a(2a2c) 的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。,解：以F1F2所在直線(xiàn)

4、為x軸，F(xiàn)1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面 直角坐標(biāo)系，則焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別為(-c,0)、(c,0)。,(-c,0),(c,0),(x,y),設(shè)M（x,y)為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，,則橢圓就是集合P=M|MF1|+ |MF2|=2a,如何化簡(jiǎn)?,O,x,y,F1,F2,M,(-c,0),(c,0),(x,y),即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),因?yàn)?a2c0，即ac0，所以a2-c20，,(ab0),兩邊同除以a2(a2-c2)得:,P,那么式就是,O,x,y,F1,F2,M,O,x,y,F1,F2,M,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,焦點(diǎn),焦點(diǎn),Y,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的再認(rèn)識(shí)：,（1）橢圓

5、標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1,（3）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a2=b2+c2。,（4）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)a、b、c的值。,（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在哪 一個(gè)軸上。,例1、填空： (1)已知橢圓的方程為： ，則a=_，b=_，c=_，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：_焦距等于_;若CD為過(guò)左焦點(diǎn)F1的弦，則F2CD的周長(zhǎng)為_(kāi),三.例題精析,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,0,判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的準(zhǔn)則： 焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上。,|CF1|+|CF2|=2a,(2)已知橢圓的方程為： ,則 a=_，b=_，c=_，

6、 焦點(diǎn)坐標(biāo)為：_，焦距 等于_; 若曲線(xiàn)上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F1的距離為3，則 點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離等于_， 則F1PF2的周長(zhǎng)為_(kāi),2,1,(0,-1)、(0,1),2,P,|PF1|+|PF2|=2a,例2、求滿(mǎn)足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：,(1)兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-4，0）、（4，0）， 橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和等于10。,(2)兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2，0）、（2，0）， 且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 。,(1)兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-4，0）、（4，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和等于10。,解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在X軸上，所以可設(shè)它的方程 為：,2a=10，2c=8,即 a=5，c=4,故

7、b2=a2-c2=52-42=9,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：,(2) 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-2,0), (2,0), 并且經(jīng)過(guò)點(diǎn) .,解法一:因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由橢圓的定義知,所以,又因?yàn)?,所以,因此, 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,(2) 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-2,0), (2,0), 并且經(jīng)過(guò)點(diǎn) .,解法二:因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為,聯(lián)立,因此, 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的解題步驟：,（1）確定焦點(diǎn)的位置；,（2）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；,（3）用待定系數(shù)法確定a、b的值， 寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.,又焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,1.判定下列橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸，并指明a2、b2，寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo),答：在 X 軸。（-3，0）和（3，0）,答：在 y 軸。（0，-5）和（0，5）,答：在y 軸。（0，-1）和（0，1）,判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的準(zhǔn)則： 焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上。,四.課堂練習(xí),（2）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： a=4，b=1，焦點(diǎn)在x軸上； ，焦點(diǎn)在Y軸上； a+b=10， 。,2.（1）動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F1（- 4，0）、F2（4，0）的距離之和為8，則P點(diǎn)的軌跡為 （ ）