1、.;.概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)重點(diǎn)摘要1、正態(tài)分布的計(jì)算： F (x)P( Xx)X) 。(2、隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度：X 是服從某種分布的隨機(jī)變量，求Y f (X ) 的概率密度： fY ( y)fX ( x) h( y) h ( y) 。（參見 P66 72）xyf (u,v)dudv 具有以下基本性質(zhì)：3、分布函數(shù) F ( x, y)、是變量 x， y 的非降函數(shù)；、 0 F (x, y) 1，對(duì)于任意固定的x， y 有： F (, y)F ( x, ) 0 ；、 F ( x, y) 關(guān)于 x 右連續(xù)，關(guān)于y 右連續(xù)；、對(duì)于任意的 ( x1 , y1 ), (x2 , y2 ),x1x2 , y1

2、y2 ，有下述不等式成立：F (x2 , y2 ) F (x1, y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1) 01arctan x)(arctan y ) 的概率密度為：264、一個(gè)重要的分布函數(shù)：F ( x, y)(f ( x, y)F ( x, y)2 (x29)23x y4)( y 25、二維隨機(jī)變量的邊緣分布：f X ( x)f (x, y)dy邊緣概率密度：fY ( y)f (x, y) dxFX ( x)F ( x,)xf (u, y)dydu邊緣分布函數(shù)：y二維正態(tài)分布的邊緣分布為一維正態(tài)分布。FY ( y)F (, y)f (x, v) dxdv6、隨機(jī)變量

3、的獨(dú)立性：若F ( x, y)FX ( x)FY ( y) 則稱隨機(jī)變量 X ， Y 相互獨(dú)立。簡(jiǎn)稱X 與 Y 獨(dú)立。;.7、兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī) 量之和的概率密度：fZ ( z)f X ( x) f Y ( z x)dxfY ( y) f X (zy)dy 其中 Z X Y8、兩個(gè)獨(dú)立正 隨機(jī) 量的 性 合仍服從正 分布，即Z aX bY : N (a 1 b2 , a22221b2 。9、期望的性 ：（3）、 E( X Y )E( X ) E (Y) ；（ 4）、若 X ，Y 相互獨(dú)立， E(XY ) E( X ) E(Y ) 。10、方差：D (X )E( X 2 ) (E( X )2 。若 X

4、 ， Y不相關(guān)， D ( X Y) D ( X )D (Y) ，否 D ( X Y )D ( X ) D (Y ) 2Cov ( X ,Y) ，D ( XY ) D ( X )D (Y)2Cov( X ,Y)11、 方差： Cov ( X , Y)E( XE( X )(YE(Y) ，若 X ， Y 獨(dú)立， Cov ( X ,Y )0，此 稱： X 與 Y 不相關(guān)。12、相關(guān)系數(shù)：XYCov ( X ,Y)Cov ( X , Y)XY 1 ，當(dāng)且 當(dāng) X 與 Y 存在 性關(guān)系 ( X ) (Y )，D ( X ) D (Y)13、 k 原點(diǎn)矩： vkE( X k ) ， k 中心矩： k E(

5、XE( X ) k 。XY1，且XY1,當(dāng) b0;1,當(dāng)b0。14、切比雪夫不等式： P X E( X )D ( X )E( X )1D ( X )lim Pmp1 。2,或 P X2。 努利大數(shù)定律：nn 015、獨(dú)立同分布序列的切比雪夫大數(shù)定律：因P1 n11n1 。Xi2 ，所以 lim PXin i1nn0n i116、獨(dú)立同分布序列的中心極限定理：n, n 2 ) 。(1) 、當(dāng) n 充分大 ，獨(dú)立同分布的隨機(jī) 量之和ZnX i 的分布近似于正 分布 N ( ni 1(2) 、 于 X1 , X 2 ,. X n 的平均 X1 nX i1 nE( Xi )n1nD ( X i )nn

6、 i 1，有 E( X )n， D ( X )n2，即獨(dú)立同分布的隨機(jī)n i 1n2i 1n;.變量的 均值當(dāng) n 充分大時(shí)，近似服從正態(tài)分布N () 。n(3) 、由上可知： lim P a Znb(b)( a)P a Z nb(b)(a) 。n17、棣莫弗拉普拉斯中心極限定理：設(shè)m 是 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A 發(fā)生的次數(shù)， p 是事件 A 發(fā)生的概率，則對(duì)任意 x ,lim Pmnpx(x) ， 其中 q1p 。nnpq(1)、當(dāng) n 充分大時(shí)， m 近似服從正態(tài)分布，N (np npq) 。(2)m近似服從正態(tài)分布，N( , pq ) 。、當(dāng) n 充分大時(shí)，pnn18、參數(shù)的矩估計(jì)和似然估計(jì)：(參見 P200)19、正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)：所估參數(shù)條件估計(jì)函數(shù)已知xnu未知txns未知2(n 1) s2( x y ) ( 12 )n1n222tswn1 n21212( n1 1)s12(n2 1)s22未知2其中 swn1n21置信區(qū)間 xu, xunn xt (n1) s , xt (n1) s nn(n 1)s2,(n1)s22 (n 1)2(n 1)111( xy ) t (n1 n2 2