1、雁塔校園,第二講,三種基本邏輯運(yùn)算,邏輯代數(shù)的基本定理,邏輯函數(shù)及其表示方法,第二講 基本運(yùn)算、公式和定理 課題：基本運(yùn)算、公式和定理 課時(shí)安排：2 重點(diǎn)：基本公式 難點(diǎn)：基本概念 教學(xué)目標(biāo)：使同學(xué)理解幾種常用的邏輯關(guān)系， 掌握邏輯運(yùn)算及規(guī)則和定律 教學(xué)過程： 一、基本邏輯運(yùn)算及邏輯符號(hào) 二、基本公式、常用公式和基本定理 1、基本公式 、常用公式 2、基本定理 1）、代入規(guī)則 2）、反演規(guī)則 3）、對(duì)偶規(guī)則 三、基本定律應(yīng)用,1. 基本邏輯運(yùn)算,邏輯變量,取值：邏輯0、邏輯1。邏輯0和邏輯1不代表數(shù)值大小，僅表示相互矛盾、相互對(duì)立的兩種邏輯狀態(tài),基本邏輯運(yùn)算,與運(yùn)算,或運(yùn)算,非運(yùn)算,返 回,與

2、邏輯真值表,與邏輯關(guān)系表,與邏輯,開關(guān)A,開關(guān)B,燈F,斷 斷 斷 合 合 斷,合 合,滅 滅 滅,亮,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,0,0,1,0,只有決定某一事件的所有條件全部具備，這一事件才能發(fā)生,或邏輯真值表,或邏輯, 1,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,1,1,1,0,F= A + B+ .+ N,返 回,非邏輯,非邏輯真值表,1,A,F,0,1,1,0,三、復(fù)合邏輯運(yùn)算,與非邏輯運(yùn)算,或非邏輯運(yùn)算,與或非邏輯運(yùn)算,異或運(yùn)算,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,1,1,0,0,=1,同或運(yùn)算,返 回,基本邏輯關(guān)系：與 ( and )、或 (or )

3、非 ( not )。,一、“與”邏輯,與邏輯：決定事件發(fā)生的各條件中，所有條件都具備，事件才會(huì)發(fā)生（成立）。,規(guī)定: 開關(guān)合為邏輯“1” 開關(guān)斷為邏輯“0” 燈亮為邏輯“1” 燈滅為邏輯“0”,例,強(qiáng)調(diào)：,邏輯符號(hào)：,邏輯式：F=ABC,邏輯乘法 邏輯與,真值表,真值表特點(diǎn): 任0 則0, 全1則1,與邏輯運(yùn)算規(guī)則：,0 0=0 0 1=0 1 0=0 1 1=1,二、 “或”邏輯,或邏輯：決定事件發(fā)生的各條件中，有一個(gè)或一個(gè)以上的條件具備，事件就會(huì)發(fā)生（成立）。,規(guī)定: 開關(guān)合為邏輯“1” 開關(guān)斷為邏輯“0” 燈亮為邏輯“1” 燈滅為邏輯“0”,例,真值表,邏輯符號(hào)：,邏輯式：F=A+B+C

4、,邏輯加法 邏輯或,真值表特點(diǎn)： 任1 則1, 全0則0。,或邏輯運(yùn)算規(guī)則:,0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1,三、 “非”邏輯,“非”邏輯：決定事件發(fā)生的條件只有一個(gè)，條件不具備時(shí)事件發(fā)生（成立），條件具備時(shí)事件不發(fā)生。,規(guī)定: 開關(guān)合為邏輯“1” 開關(guān)斷為邏輯“0” 燈亮為邏輯“1” 燈滅為邏輯“0”,例,邏輯符號(hào)：,邏輯非 邏輯反,真值表特點(diǎn): 1則0, 0則1。,邏輯式：,運(yùn)算規(guī)則：,四、幾種常用的邏輯關(guān)系邏輯,“與”、“或”、“非”是三種基本的邏輯關(guān)系，任何其它的邏輯關(guān)系都可以以它們?yōu)榛A(chǔ)表示。,與非：條件A、B、C都具備，則F 不發(fā)生。,其他幾種常用的邏輯關(guān)系如下表：

5、,或非：條件A、B、C任一具備，則F 不發(fā)生。,異或：條件A、B有一個(gè)具備，另一個(gè)不具備則F 發(fā)生。,同或：條件A、B相同，則F 發(fā)生。,基本邏輯關(guān)系小結(jié),數(shù)字電路要研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關(guān)系，所以數(shù)字電路又稱邏輯電路，相應(yīng)的研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）。,在邏輯代數(shù)中，邏輯函數(shù)的變量只能取兩個(gè)值（二值變量），即0和1，中間值沒有意義。,0和1表示兩個(gè)對(duì)立的邏輯狀態(tài)。,例如：電位的低高（0表示低電位，1表示高電位）、開關(guān)的開合等。,1. 邏輯代數(shù)的基本定理,公理,交換律,結(jié)合律,分配律,0 0 = 0,0 1 =1 0 =0,1 1 = 1,0+ 0 = 0,0+ 1 =1 + 0

6、 =1,1+ 1 = 1,A B = B A,A+ B = B + A,(A B) C = A (B C),(A+ B)+ C = A+ (B+ C),A ( B+ C ) = A B+ A C,A+ B C =( A+ B) (A+ C ),邏輯代數(shù)的公理、定律（公式）,、邏輯代數(shù)的運(yùn)算公式、定律,0-1律,重疊律,互補(bǔ)律,還原律,反演律,自等律,A 0=0 A+ 1=1,A 1=A A+ 0=A,A A=A A+ A=A,吸收律,消因律,包含律,合并律,A+A B=A A (A+B)=A,邏輯代數(shù)的公理、定律（公式）,證明方法,例：用真值表證明反演律,返 回,等式右邊,公式可推廣：,返 回

7、,2、邏輯代數(shù)的運(yùn)算規(guī)則, 三個(gè)基本運(yùn)算規(guī)則,任何一個(gè)含有某變量的等式，如果等式中所有出現(xiàn)此變量的位置均代之以一個(gè)邏輯函數(shù)式，則此等式依然成立。,得,由此反演律能推廣到n個(gè)變量：,利用反演律,（1）代入規(guī)則,（2）反演規(guī)則, 反演規(guī)則：,對(duì)于任意一個(gè)邏輯函數(shù)式 F，做如下處理：, 若把式中的運(yùn)算符“.”換成“+”, “+” 換成“.”;, 常量“0”換成“1”，“1”換成“0”；, 原變量換成反變量，反變量換成原變量,返 回,注：, 保持原函數(shù)的運(yùn)算次序-先與后或，必要時(shí)適當(dāng)?shù)丶尤肜ㄌ?hào), 不屬于單個(gè)變量上的非號(hào)有兩種處理方法, 非號(hào)保留，而非號(hào)下面的函數(shù)式按反演規(guī)則變換, 將非號(hào)去掉，而非號(hào)下

8、的函數(shù)式保留不變,例：,F(A、B、C),其反函數(shù)為,或,返 回,（3）對(duì)偶規(guī)則,對(duì)于任意一個(gè)邏輯函數(shù)，做如下處理：,1）若把式中的運(yùn)算符“.”換成“+”，“+”換成“.”；,2）常量“0”換成“1”，“1”換成“0”,得到新函數(shù)式為原函數(shù)式F的對(duì)偶式F，也稱對(duì)偶函數(shù)。, 對(duì)偶規(guī)則：,如果兩個(gè)函數(shù)式相等，則它們對(duì)應(yīng)的對(duì)偶式也相等。即 若 F1 = F2 則 F1= F2。 對(duì)偶規(guī)則使公式的數(shù)目增加一倍。,返 回,例：,其對(duì)偶式,返 回,邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算規(guī)則,加運(yùn)算規(guī)則:,0+0=0 ，0+1=1 ，1+0=1，1+1=1,乘運(yùn)算規(guī)則:,00=0 01=0 10=0 11=1,非運(yùn)算規(guī)則:,回

9、顧,邏輯代數(shù)的運(yùn)算規(guī)律,一、交換律,二、結(jié)合律,三、分配律,A+B=B+A,A B=B A,A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B,A (B C)=(A B) C,A(B+C)=A B+A C,A+B C=(A+B)(A+C),求證: （分配律第2條） A+BC=(A+B)(A+C),證明:,右邊 =(A+B)(A+C),=AA+AB+AC+BC ; 分配律,=A +A(B+C)+BC ; 結(jié)合律 , AA=A,=A(1+B+C)+BC ; 結(jié)合律,=A 1+BC ; 1+B+C=1,=A+BC ; A 1=1,=左邊,四、吸收規(guī)則,1.原變量的吸收：,A+AB=A,證明：,A+AB=

10、A(1+B)=A1=A,利用運(yùn)算規(guī)則可以對(duì)邏輯式進(jìn)行化簡(jiǎn)。,例如：,吸收是指吸收多余（冗余）項(xiàng)，多余（冗余）因子被取消、去掉 被消化了。,長(zhǎng)中含短，留下短。,2.反變量的吸收：,證明：,例如：,長(zhǎng)中含反，去掉反。,3.混合變量的吸收：,證明：,例如：,正負(fù)相對(duì)，余全完。,五、反演定理,可以用列真值表的方法證明：,德 摩根 (De Morgan)定理：,反演定理內(nèi)容：將函數(shù)式 F 中所有的,變量與常數(shù)均取反,（求反運(yùn)算）,互補(bǔ)運(yùn)算,1.運(yùn)算順序：先括號(hào) 再乘法 后加法。,2.不是一個(gè)變量上的反號(hào)不動(dòng)。,注意:,用處：實(shí)現(xiàn)互補(bǔ)運(yùn)算（求反運(yùn)算）。,新表達(dá)式：F,顯然：,(變換時(shí)，原函數(shù)運(yùn)算的先后順序

11、不變),例1：,與或式,注意括號(hào),注意 括號(hào),例2：,與或式,反號(hào)不動(dòng),反號(hào)不動(dòng),、基本定律應(yīng)用,等式證明,例證明：,求函數(shù)的反函數(shù)、偶函數(shù)（略）,邏輯函數(shù)不同形式的轉(zhuǎn)換,一個(gè)邏輯函數(shù)的表達(dá)式不是唯一的，可以有多種形式，并且能互相轉(zhuǎn)換。例如：,邏輯函數(shù)式的常見形式,解：,例：已知邏輯函數(shù)的“與或式” 求的“與非式”“與或非式”、“或與式”、“或非式”, 1.5 邏輯函數(shù)表示方法及相互轉(zhuǎn)換,一、邏輯函數(shù),用有限個(gè)與、或、非邏輯運(yùn)算符，按某種邏輯關(guān)系將邏輯變量A、B、C、.連接起來，所得的表達(dá)式F = f（A、B、C、.）稱為邏輯函數(shù)。,二、邏輯函數(shù)的表示方法,真值表,邏輯函數(shù)式,邏輯圖,波形圖,

12、取值：邏輯0、邏輯1。邏輯0和邏輯1不代表數(shù)值大小，僅表示相互矛盾、相互對(duì)立的兩種邏輯態(tài),1、邏輯函數(shù)表示方法,四種表示方法,邏輯代數(shù)式 (邏輯表示式, 邏輯函數(shù)式),邏輯電路圖:,波形圖,真值表：將邏輯函數(shù)輸入變量取值的不同組合與所對(duì)應(yīng)的輸出變量值用列表的方式一一對(duì)應(yīng)列出的表格。,將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)地列出。 n個(gè)變量可以有2n個(gè)輸入狀態(tài)。,真值表,列真值表的方法：一般按二進(jìn)制的順序，輸出與輸入狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)，列出所有可能的狀態(tài)。,例如：,邏輯函數(shù)式,把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)系寫成與、或、非等邏輯運(yùn)算的組合式。也稱為邏輯代數(shù)式，通常采用“與或”的形式。,例：,波形圖,針對(duì)輸入變量的波形變化,根據(jù)輸入變量和輸出變量的關(guān)系,畫出輸出變量相應(yīng)變化波形。,邏輯圖,把相應(yīng)的邏輯關(guān)系用邏輯符號(hào)和連線表示出來，就構(gòu)成了邏輯圖。,F=AB+CD,下面舉例說明函數(shù)的四種表示方法。,F,斷“0”,合“1”,亮“1”,滅“0”,0,0,0,0,1,1,0, 挑出函數(shù)值為1的項(xiàng),1, 每個(gè)函數(shù)值為1的輸入變量取值組合寫成一個(gè)乘積項(xiàng), 這些乘積項(xiàng)作邏輯加,返 回,例 舉重裁判電路,真值表,返 回,1、邏輯電路圖邏輯代數(shù)式,AB,三、相互轉(zhuǎn)換,2、真值表波形圖,真值表,波形圖,3、真值表邏輯代數(shù)式,方法：將真值表中為1的項(xiàng)相加，寫成 “與或式”。,