1、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）,數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是線性規(guī)劃模型的應(yīng)用之一，常被用來衡量擁有相同目標(biāo)的運(yùn)營單位的相對效率。 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是一種基于線性規(guī)劃的用于評價(jià)同類型組織（或項(xiàng)目）工作績效相對有效性的特殊工具手段。這類組織例如學(xué)校、醫(yī)院、銀行的分支機(jī)構(gòu)、超市的各個營業(yè)部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的產(chǎn)出。衡量這類組織之間的績效高低，通常采用投入產(chǎn)出比這個指標(biāo)，當(dāng)各自的投入產(chǎn)出均可折算成同一單位計(jì)量時，容易計(jì)算出各自的投入產(chǎn)出比并按其大小進(jìn)行績效排序。,數(shù)據(jù)包絡(luò)分析概述,2020/9/28,3,數(shù)據(jù)包絡(luò)分析概述,但當(dāng)被衡量的同類型組織有多項(xiàng)投入和多項(xiàng)產(chǎn)出，且不能折算成統(tǒng)一單位時，就無法算出投入產(chǎn)

2、出比的數(shù)值。例如，大部分機(jī)構(gòu)的運(yùn)營單位有多種投入要素，如員工規(guī)模、工資數(shù)目、運(yùn)作時間和廣告投入，同時也有多種產(chǎn)出要素，如利潤、市場份額和成長率。在這些情況下，很難讓經(jīng)理或董事會知道，當(dāng)輸入量轉(zhuǎn)換為輸出量時，哪個運(yùn)營單位效率高，哪個單位效率低。 因而，需采用一種全新的方法進(jìn)行績效比較。這種方法就是二十世紀(jì)七十年代末產(chǎn)生的數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）。DEA方法處理多輸入，特別是多輸出的問題的能力是具有絕對優(yōu)勢的。,1978年，著名運(yùn)籌學(xué)家、美國德克薩斯大學(xué)教授A.Charnes及W.W.Cooper和E.Rhodes發(fā)表了一篇重要論文：“Measuring the efficiency of deci

3、sion making units”（決策單元的有效性度量），刊登在權(quán)威的“歐洲運(yùn)籌學(xué)雜志”上。正式提出了運(yùn)籌學(xué)的一個新領(lǐng)域：數(shù)據(jù)包絡(luò)分析，其模型簡稱 C2R 模型。該模型用以評價(jià)部門間的相對有效性（因此被稱為DEA有效）。,數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）源起,DEA模型是直接使用輸入、輸出數(shù)據(jù)建立非參數(shù)的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型。,2020/9/28,5,數(shù)據(jù)包絡(luò)分析應(yīng)用現(xiàn)狀,DEA的優(yōu)點(diǎn)吸引了眾多的應(yīng)用者，應(yīng)用范圍已擴(kuò)展到美國軍用飛機(jī)的飛行、基地維修與保養(yǎng)，以及陸軍征兵、城市、銀行等方面目前，這一方法應(yīng)用的領(lǐng)域正在不斷地?cái)U(kuò)大。它也可以用來研究多種方案之間的相對有效性（例如投資項(xiàng)目評價(jià)）；研究在做決策之前去預(yù)測

4、一旦做出決策后它的相對效果如何（例如建立新廠后，新廠相對于已有的一些工廠是否為有效)。DEA模型甚至可以用來進(jìn)行政策評價(jià)。,2020/9/28,6,數(shù)據(jù)包絡(luò)分析應(yīng)用現(xiàn)狀,最引人注目的研究是把DEA與其它評價(jià)方法進(jìn)行比較。例如將DEA應(yīng)用于北卡羅來納州各醫(yī)院的有效性評價(jià)。已有的按計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方式給出的回歸生產(chǎn)函數(shù)認(rèn)為，此例中不存在規(guī)模收益。DEA的研究發(fā)現(xiàn)，盡管使用同樣的數(shù)據(jù)，回歸生產(chǎn)函數(shù)不能象DEA那樣正確測定規(guī)模收益其關(guān)鍵在于： DEA和回歸方法雖然都使用給定的同樣數(shù)據(jù)，但使用方式不一樣； DEA致力于每個單個醫(yī)院的優(yōu)化，而不是對整個集合的統(tǒng)計(jì)回歸優(yōu)化。 在其它的研究中，例如在評價(jià)醫(yī)院經(jīng)營有效

5、性時，將DEA與馬薩諸塞州有效性評定委員會使用的比例方法進(jìn)行了比較，當(dāng)使用模擬方法對DEA進(jìn)行檢驗(yàn)后認(rèn)為，盡管由回歸函數(shù)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)有利于回歸方法的使用，但是DEA方法顯得更有效,2020/9/28,7,數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）模型簡介,DEA是使用數(shù)學(xué)規(guī)劃（包括線性規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃、具有錐形結(jié)構(gòu)的廣義最優(yōu)化、半無限規(guī)劃、隨機(jī)規(guī)劃等）模型，評價(jià)具有多個輸入、特別是多個輸出的“部門”或“單位”（稱為“決策單元”，簡記DMU）間的相對有效性（稱為DEA有效）。 實(shí)際上“效率”或“相對有效性”的概念也是指產(chǎn)出與投入之比，不過是加權(quán)意義之下的產(chǎn)出投入比。 根據(jù)對各DMU觀察的數(shù)據(jù)判斷DMU是否為DEA有效

6、，本質(zhì)上是判斷DMU是否位于可能集的“生產(chǎn)前沿面”上。,在DEA中一般稱被衡量績效的組織為決策單元（decision making unitDMU）。 設(shè)：n 個決策單元（ j = 1，2，n ） 每個決策單元有相同的 m 項(xiàng)投入（輸入）（i = 1，2，m ） 每個決策單元有相同的 s 項(xiàng)產(chǎn)出（輸出） （r = 1，2，s ） Xij 第 j 決策單元的第 i 項(xiàng)投入 yrj 第 j 決策單元的第 r 項(xiàng)產(chǎn)出 衡量第 j0 決策單元是否DEA有效,數(shù)據(jù)包絡(luò)分析基本概念,2020/9/28,10,輸入型與輸出型的DEA模型,Input-DEA 模型：基于投入的技術(shù)效率，即在一定產(chǎn)出下，以最小投

7、入與實(shí)際投入之比來估計(jì)?；蛘哒f，決策者追求的傾向是輸入的減少，即求的最小。 Output-DEA 模型：基于產(chǎn)出的技術(shù)效率，即在一定的投入組合下，以實(shí)際產(chǎn)出與最大產(chǎn)出之比來估計(jì)?；蛘哒f，決策者追求的傾向是輸出的增大，即求z的最大。,2020/9/28,11,C2R模型,2020/9/28,12,C2R的對偶輸入模型模型,2020/9/28,13,C2R的對偶輸出模型模型,2020/9/28,14,BC2的對偶輸入模型模型,Banker, Charnes and Cooper(1984),衡量某一決策單元 j0是否DEA有效是否處于由包絡(luò)線組成的生產(chǎn)前沿面上，先構(gòu)造一個由 n 個決策單元組成（線

8、性組合成）的假想決策單元。如果該假想單元的各項(xiàng)產(chǎn)出均不低于 j0 決策單元的各項(xiàng)產(chǎn)出，它的各項(xiàng)投入均低于 j0 決策單元的各項(xiàng)的各項(xiàng)投入。 即有：,構(gòu)建DEA 模型的思路,這說明 j0 決策單元不處于生產(chǎn)前沿面上。,基于上述事實(shí)，可以寫出如下線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型：,min E,S.t.,j yrj yrj0 （r = 1，2，s）,j xij E xij0 （i = 1，2，m）,j = 1 ，j 0 （j = 1，2，n）,j=1,j=1,j=1,n,n,n,結(jié)果分析： 1、當(dāng)求解結(jié)果有 E 1 時，則 j0 決策單元非DEA有效； 2、否則，則 j0 決策單元DEA有效。,2020/9/28

9、,17,具有非阿基米德無窮小量的C2R對偶輸入模型,2020/9/28,18,例1：考慮具有4個決策單元，2個輸入和1個輸出，相應(yīng)的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)由下表給出：,3 3 4 3 1 3 2,1 2 3 4,1 1 2 1,1,2,1,2020/9/28,19,考察DMU1，取105,2020/9/28,20,最優(yōu)解為 所以，DMU1為DEA有效。,2020/9/28,21,DEA有效性的判斷,對具有非阿基米德無窮小量的C2R對偶輸入模型，可以根據(jù)以下規(guī)則判斷DEA有效性： 若1,則DMUj0不為弱DEA有效； 若1, 則DMUj0僅為弱DEA有效； 若1, 則DMUj0為DEA有效；,202

10、0/9/28,22,關(guān)于DEA模型的基本定理,存在性定理：至少存在一個決策單元，它是DEA有效的。 有效性與量綱選取無關(guān)定理：決策單元的DEA有效性與輸入和輸出量綱的選取無關(guān)。 有效性與DMU同倍“增長”無關(guān)定理：決策單元的DEA有效性與決策單元對應(yīng)的輸入和輸出同倍“增長”無關(guān)。,2020/9/28,23,生產(chǎn)前沿面,生產(chǎn)前沿面實(shí)際上是指由觀察到的決策單元的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)的包絡(luò)面的有效部分，這也是稱謂“數(shù)據(jù)包絡(luò)分析”的原因所在。 決策單元為DEA有效，也即相應(yīng)于生產(chǎn)可能集而言，以投入最小、產(chǎn)出最大為目標(biāo)的Pareto最優(yōu)。因此，生產(chǎn)前沿面即為Pareto面（Pareto最優(yōu)點(diǎn)構(gòu)成的面）。,

11、2020/9/28,24,技術(shù)有效與規(guī)模有效,技術(shù)有效：輸出相對輸入而言已達(dá)最大，即該決策單元位于生產(chǎn)函數(shù)的曲線上。（其實(shí)這就是前面一直提到的相對有效性，注意，技術(shù)有效于純技術(shù)有效是不同的，有文獻(xiàn)指出，技術(shù)效率等于純技術(shù)效率與規(guī)模效率的乘積） 規(guī)模有效：指投入量既不偏大，也不過小，是介于規(guī)模收入收益由遞增到遞減之間的狀態(tài)，即處于規(guī)模收益不變的狀態(tài)。,2020/9/28,25,DMU1,DMU2,DMU3,DMU4,x,y,o,DMU1、 DMU2、 DMU3都處于技術(shù)有效狀態(tài)；DMU1不為規(guī)模有效，實(shí)際上它處于規(guī)模收益遞增狀態(tài)； DMU3不為規(guī)模有效，實(shí)際上它處于規(guī)模收益遞減狀態(tài)； DMU2是

12、規(guī)模有效的。如果用DEA模型來判斷DEA有效性，只有DMU2對應(yīng)的最優(yōu)值01?？梢?，在C2R模型下的DEA有效，其經(jīng)濟(jì)含義 是：既為“技術(shù)有效”，也為“規(guī)模有效”。,例2：碩士點(diǎn)教育質(zhì)量評價(jià) 某系統(tǒng)工程研究所對我國金屬熱處理專業(yè)的26個碩士點(diǎn)的教育質(zhì)量，進(jìn)行了有效性評價(jià)。 評價(jià)采用的指標(biāo)體系為： 輸入：導(dǎo)師人數(shù)；實(shí)驗(yàn)設(shè)備；圖書資料；學(xué)生入學(xué)情況。 輸出：科研成果；論文篇數(shù)；學(xué)生畢業(yè)時的情況。,相對有效性評價(jià)問題舉例,例3：行風(fēng)（行業(yè)作風(fēng)）建設(shè)有效性評價(jià) 本項(xiàng)目研究人員選定江蘇省 S 市交通客運(yùn)系統(tǒng)作為對象，包括7家交通客運(yùn)汽車公司。 選定了輸入指標(biāo) 4 項(xiàng)，輸出指標(biāo) 4 項(xiàng)。分別是： 輸入指標(biāo)

13、：1、年末職工總數(shù)（單位：人）； 2、單位成本（單位：元/千人公里）； 3、燃料單位消耗（單位：升/千人公里）； 4、行車責(zé)任事故率（單位：次/千人公里）。 輸出指標(biāo)：1、勞動生產(chǎn)率（單位：元/人）； 2、行車準(zhǔn)點(diǎn)率（%）； 3、群眾滿意率（按問卷調(diào)查）（%） 4、車輛服務(wù)合格率（包括：服務(wù)態(tài)度、服務(wù)措施、車輛設(shè)施 等）（%）,相對有效性評價(jià)問題舉例,例4：銀行分理處相對有效性評價(jià) 振華銀行的 4 個分理處的投入產(chǎn)出如下表。求各個分理處的運(yùn)行是否DEA有效。 （產(chǎn)出單位：處理筆數(shù)/月）,相對有效性評價(jià)問題舉例,解： 若先確定分理處1的運(yùn)行是否DEA有效。建立線性規(guī)劃模型：,例4：銀行分理處相對

14、有效性評價(jià),min E 18001 +10002 + 8003 + 9004 1800 2001 + 3502 + 4503 + 4204 200 16001 +10002 +13003 +15004 1600 S.t. 151 + 202 + 213 + 204 15E 1401 + 1302 + 1203 + 1354 140E 1 + 2 + 3 + 4 = 1 j 0 （ j = 1，2，3，4 ）,求解結(jié)果分析： 對分理處1，E =1，說明分理處1的運(yùn)行DEA有效。 對分理處2，E =0.996，說明分理處2的運(yùn)行非DEA有效。 對分理處3，E =1，說明分理處3的運(yùn)行DEA有效。

15、對分理處4，E =1，說明分理處4的運(yùn)行DEA有效。,例4：銀行分理處相對有效性評價(jià),2020/9/28,31,相對有效性評價(jià)問題舉例,例5：醫(yī)院相對效率評價(jià) 利用DEA模型分析4類醫(yī)院（普通醫(yī)院、校醫(yī)院、鎮(zhèn)醫(yī)院和國家醫(yī)院）的相對效率。這些醫(yī)院具有相同（或相似）的投入（輸入量）和產(chǎn)出（輸出量）。 例如，建立一個用于分析鎮(zhèn)醫(yī)院相對效率的線性模型。,2020/9/28,32,例5：醫(yī)院相對效率評價(jià),輸入量 全職非主治醫(yī)師人數(shù) 提供的經(jīng)費(fèi) 可供住院的床位數(shù) 輸出量 開診日的藥物治療服務(wù) 開診日的非藥物治療服務(wù) 接受過培訓(xùn)的護(hù)士數(shù)目 接受過培訓(xùn)的實(shí)習(xí)醫(yī)師數(shù)目,2020/9/28,33,4類醫(yī)院的年輸入

16、量（年消耗）,2020/9/28,34,4類醫(yī)院的年輸出量（年提供的服務(wù)）,2020/9/28,35,鎮(zhèn)醫(yī)院相對效率評價(jià)DEA分析,通過建立一個線性規(guī)劃模型，以4類醫(yī)院的輸入量和輸出量為基礎(chǔ)建立一個假設(shè)的合成醫(yī)院。通過將4類醫(yī)院的輸入量（或輸出量）的加權(quán)平均值作為假設(shè)的合成醫(yī)院的輸入量（或輸出量）。 在線性規(guī)劃模型中的約束條件中，合成醫(yī)院所有的輸出量必須大于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量。假如合成醫(yī)院的輸入量顯示小于鎮(zhèn)醫(yī)院輸入量，那么合成醫(yī)院就是有更大的輸出量而擁有更小的輸入量。因而，鎮(zhèn)醫(yī)院比合成醫(yī)院（四類醫(yī)院的加權(quán)平均）相對低效，進(jìn)而可被認(rèn)為比其他醫(yī)院相對低效。,2020/9/28,36,鎮(zhèn)醫(yī)院相對效

17、率評價(jià)DEA模型,wg為普通醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重； wu為校醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重； wc為鎮(zhèn)醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重； ws為國家醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重 所以，DEA模型的第一個約束條件為 wgwuwcws1,2020/9/28,37,鎮(zhèn)醫(yī)院相對效率評價(jià)DEA模型,為了使模型符合邏輯，合成醫(yī)院的輸出量必須大于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量。即 合成醫(yī)院的輸出量鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量 我們可寫出輸出量的約束條件： 48.14wg+34.62wu+36.72wc+33.16ws36.72（藥物治療） 43.10wg+27.11wu+45.98wc+56.46ws45.98（

18、非藥物治療） 253wg+148wu+175wc+160ws175（護(hù)士） 41wg+27wu+23wc+84ws23（實(shí)習(xí)醫(yī)師）,2020/9/28,38,鎮(zhèn)醫(yī)院相對效率評價(jià)DEA模型,為了使模型符合邏輯，合成醫(yī)院的輸入量必須小于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量。即 合成醫(yī)院的輸入量鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量 引入效率指數(shù)E，如鎮(zhèn)醫(yī)院全職非主治醫(yī)生人數(shù)為275.70，則275.70E為合成醫(yī)院全職非主治醫(yī)生人數(shù)。 當(dāng)E1時，合成醫(yī)院需要與鎮(zhèn)醫(yī)院相同的輸入量資源； 當(dāng)E1時，合成醫(yī)院需要的輸入量資源大于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量資源； 當(dāng)E1時，合成醫(yī)院需要的輸入量資源小于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量資源。（模型的目標(biāo)）,2020/9/28,39,鎮(zhèn)醫(yī)院相對效率評價(jià)DEA模型,我們可寫出輸入量的約束條件： 285.20wg+162.30wu+275.70wc+210.40ws275.70E（全職非主治醫(yī)師） 123.80wg