1、,ARCH模型簡介,考察嚴(yán)平穩(wěn)隨機序列yt, 且Eyt. 記其均值Eyt=, 協(xié)方差函數(shù)k=E(yt-)(yt+k-). 其條件期望(或條件均值): E(ytyt-1,yt-2,)(yt-1,yt-2,) (1.1) 依條件期望的性質(zhì)有 E(yt-1,yt-2,)=EE(ytyt-1,yt-2,)= Eyt =. (1.2) 記誤差(或殘差): et yt -(yt-1,yt-2,). (1.3),一、前言,隨機序列的條件均值 E(etyt-1,yt-2,)=Eyt-( yt-1,yt-2,) yt-1,yt-2, =E(yt yt-1,yt-2,)- E( yt-1,yt-2,) yt-1,

2、yt-2, = ( yt-1,yt-2,)- ( yt-1,yt-2,)=0. (1.4) 隨機序列的條件方差 Var(etyt-1,yt-2,)=Eet- E(etyt-1,yt-2,1)2 yt-1,yt-2, = Eet2 yt-1,yt-2, S2(yt-1,yt-2,). (1.5) 此處S2(yt-1,yt-2,)為條件方差函數(shù). 注意, et的條件均值是零, 條件方差是非負(fù)的函數(shù)S2(yt-1,yt-2,), 它不一定是常數(shù)。,自回歸函數(shù) 依(0.3)式, 平穩(wěn)隨機序列yt總有如下表達(dá)式: yt = ( yt-1,yt-2,)+et, (1.6) 其中(yt-1,yt-2,)被稱

3、為自回歸函數(shù), 不一定是線性的. et為鞅差序列（因為對它的求和是離散的鞅序列. 由于yt是 嚴(yán)平穩(wěn)隨機序列, 且Eyt,上述推演是嚴(yán)格的, 從而et是嚴(yán)平 穩(wěn)的鞅差序列. ）,條件異方差自回歸模型 將et標(biāo)準(zhǔn)化, 即令 t et/S(yt-1,yt-2,). 則有 E(tyt-1,yt-2,)=Eet/S(yt-1,yt-2,) yt-1,yt-2, =1/S(yt-1,yt-2,)Eet yt-1,yt-2, =0. （1.7） E(t2yt-1,yt-2,)=Eet2/S2(yt-1,yt-2,)yt-1,yt-2, =1/S2(yt-1,yt-2,)Eet2yt-1,yt-2, =S2

4、(yt-1,yt-2,)/S2(yt-1,yt-2,)=1. (1.8) 同樣，t也是平穩(wěn)鞅差序列。 于是0.6式可以寫成 yt=( yt-1,yt-2,) + S(yt-1,yt-2,)t （1.9） 此式可稱為條件異方差自回歸模型 所謂條件異方差就是指: 條件方差S2(yt-1,yt-2,)不為常數(shù).,在條件異方差模型問世以前, 時間序列分析主要討論自回歸結(jié)構(gòu), 或者說, 主要討論(yt-1,yt-2,)的有關(guān)內(nèi)容. 當(dāng)條件異方差模型問世后, 在時間序列分析中, 特別是建模分析中, 就包含了兩個內(nèi)容,一個與(yt-1,yt-2,)有關(guān); 另一個與S(yt-1,yt-2,)有關(guān). 如何統(tǒng)計分

5、析它們, 是擺在我們面前的主要問題. 考慮如下的模型 yt=et, (1.10) 它的標(biāo)準(zhǔn)化的模型(0.12)為 yt=S(yt-1,yt-2,)t. (1.11) 這一模型幾乎含蓋了所有的條件異方差模型.接著發(fā)現(xiàn)相關(guān)性分析和譜分析不能對(1.1)式的序列作出更深刻的分析. 為了進(jìn)一步獲得它的深入的結(jié)構(gòu)特征, 必須引入新的概念和新的方法.,(ARCH-Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) Engle(1982)引入條件方差的概念來分析方差變化的原因，首先提出并使用了如下的模型: yt=S(yt-1, yt-2, )t ht1/2 t, (

6、2.1) ht=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2, (2.2) 00, i0, i=1,2,p. 其中t為i.i.d.的序列, tN(0, 1), 且t與yt-1, yt-2, 獨 立, 為了簡化記號, 記ht=S2(yt-1, yt-2, ). 此模型被稱為自回歸條件異方差模型, 簡記ARCH(p),其 中p表示模型的階數(shù).,二、ARCH模型,其一, 限定t為i.i.d.序列，這是很強的限制, 這是由于現(xiàn)有理論的基楚所限. 其二, 限定條件方差有2.2式的簡單形式, 即ht=S2(yt-1, yt-2, )=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2,是為了統(tǒng)計分析方便. 其三

7、, 限定t服從正態(tài)分布, 是為了求極大似然估計方便. 限制 tN(0, 1), 而不用 tN(0, 2), 是因為t滿足標(biāo)準(zhǔn)化的1.8模型式. 其四, 限制 00, i0, i=1,2,p, 是為了保證條件方差函數(shù)ht=S2(yt-1, yt-2, )0. 限制 00, 而不是00, 這是為了保證模型(1.5)(1.6)有平穩(wěn)解.,在對ARCH模型的理論研究和應(yīng)用中, 人們自然會發(fā)問: 在2.2式中, yt的條件方差S2(yt-1, yt-2, ) ht=0+1yt-12+2yt- 22+pyt-p2, 只依賴于p個歷史值, 能否考慮依賴全部歷史值 的情況? Bollerslev(1986)給

8、出了回答, 他提出了如下的更廣的模型, 即 GARCH模型: yt=S(yt-1, yt-2, )t ht1/2 t, (2.3) ht=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2+1ht-1+qht-q, (2.4) 00, i0, i=1,2,p; j0, j=1,2,q. (2.5) 其中t為i.i.d.的N(0,1)分布, 且t與 yt-1, yt-2, 獨立.,GARCH模型,其一, 利用(1.12)式反復(fù)迭代可得知, ht= S2(yt-1, yt-2, )確實依賴序列的全部歷史值, 但是, ht僅依賴有限個參數(shù). 其二, 在1997年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎, 被兩位研究期權(quán)定價理論的B

9、lack-Scholes方程的學(xué)者獲得. 從理論上人們發(fā)現(xiàn), Black-Scholes方程的解是連續(xù)時間變化的隨機過程, 對它進(jìn)行等間隔離散化采樣, 所得到的序列, 恰好滿足GARCH模型. 于是, GARCH模型更被認(rèn)可, 而且, 金融界特別偏愛GARCH模型. 其三, 如前所述, (1.13)式的條件 00, 仍不能放寬為 00. 而且, (1.13)式中的條件 i0, i=1,2,p, 還應(yīng)附加一個限制: 1+2+ p0,你擁有序列觀測值y1,y2,yn , 如果要為它們建立ARCH （GARCH)模型, 將面對著下列問題: （1）為什么要建立GARCH模型? （2）用多少階數(shù)的模型?

10、 （3）怎樣獲得模型的參數(shù)值? 回答了這些問題, 就解決了為GARCH模型建模的問題.,最小二乘法估計 極大似然估計,三、ARCH模型參數(shù)估計,根據(jù)觀測數(shù)據(jù)y1,y2,yn , 判斷所要擬合的模型是否適用, 稱為模型檢驗. 模型檢驗, 有在建立模型前進(jìn)行的, 有在之后進(jìn)行的. 對于GARCH模型來說, 在為數(shù)據(jù)y1,y2,yn建立GARCH模型前, 首先應(yīng)當(dāng)判斷有沒有必要. 如前言所說到, 平穩(wěn)序列的條件方差S(yt,yt-1,)可能是常數(shù)值, 此時就不必建立GARCH模型. 于是判斷條件方差S(yt,yt-1,)是否為常數(shù), 就應(yīng)當(dāng)在建模前完成. 即使經(jīng)判斷后, 條件方差不是常數(shù), 它也未必滿足GARCH模型. 然而目前GARCH模型是比較熟知的條件異方差