1、彈性力學(xué)習(xí)題庫(kù),第1章 第2章 第3章,第1章 習(xí)題,1-2 1-4 1-7 1-8,習(xí)題 1-2,一般的混凝土構(gòu)件和鋼筋混凝土構(gòu)件能否作為理想彈性體？一般的巖質(zhì)地基和土質(zhì)地基能否作為理想彈性體？,答：一般的混凝土構(gòu)件可以作為理想的彈性體，而鋼筋混凝土構(gòu)件不可以作為理想的彈性體；一般的巖質(zhì)地基不可以作為理想彈性體，而土質(zhì)地基可以作為理想的 彈性體。,習(xí)題 1-4,應(yīng)力和面力的符號(hào)規(guī)定有什么區(qū)別？,答：應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定：當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的正方向時(shí)（即正面時(shí)），這個(gè)面上的應(yīng)力（不論是正應(yīng)力還是切應(yīng)力）以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。相反，當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)（

2、即負(fù)面時(shí)）這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)向?yàn)檎?，正向?yàn)樨?fù)。 面力的符號(hào)規(guī)定：當(dāng)面力的指向沿坐標(biāo)軸的正方向時(shí)為正，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)為負(fù)。,試分別畫(huà)出正面和負(fù)面上的正的應(yīng)力和正的面力的方向。,習(xí)題 1-4,試分別畫(huà)出正面和負(fù)面上的正的應(yīng)力和正的面力的方向。,負(fù)面,正面,應(yīng)力和面力的符號(hào)規(guī)定有什么區(qū)別？,習(xí)題 1-7,試畫(huà)出圖1-4中矩形薄板的正的體力，面力和應(yīng)力的方向。,習(xí)題 1-8,試畫(huà)出圖1-5中的三角形薄板的正的面力和體力的方向。,第2章 題庫(kù),例題 習(xí)題,第2章 例題,2.1 2.2 2.3 2.4 2.6 2.7 2.8 2.9 習(xí)題課,例 如果某一問(wèn)題中， ，只存在平面應(yīng)力分量 ，且

3、它們不沿z方向變化，僅為x、y的函數(shù)，試考慮此問(wèn)題是否就是平面應(yīng)力問(wèn)題？,例 2.1.1,答：平面應(yīng)力問(wèn)題，就是作用在物體上的外力，約束沿 z 向均不變化，只有平面應(yīng)力分量 ，且僅為 x，y 的函數(shù)的彈性力學(xué)問(wèn)題，因此，此問(wèn)題是平面應(yīng)力問(wèn)題。,例 2.1.2,（本章習(xí)題21） 如圖214，試分析說(shuō)明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中，其應(yīng)力狀態(tài)接近于平面應(yīng)力的情況。,答：在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中，可以認(rèn)為在該薄層的上下表面都無(wú)面力，且在薄層內(nèi)所有各點(diǎn)都有 ，只存在平面應(yīng)力分量 ，且它們不沿z方向變化，僅為x、y的函數(shù)。可以認(rèn)定此問(wèn)題是平面應(yīng)力問(wèn)題。,如圖所示的幾種受

4、力體是否是平面問(wèn)題？若是，則是平面應(yīng)力問(wèn)題，還是平面應(yīng)變問(wèn)題？,平面應(yīng)力問(wèn)題,平面應(yīng)變問(wèn)題,非平面問(wèn)題,例 2.1.3,例2.2.1：如圖所示單位寬度薄板懸梁，跨度為l，其上表面承受三角形分布載荷作用，體力不計(jì)。試根據(jù)材料力學(xué)中的應(yīng)力表達(dá)式，由平衡微分方程導(dǎo)出另兩個(gè)應(yīng)力分量。,例 2.2.1,解:(1)將 代入平衡微分方程第一式,(2)將 代入平衡微分方程第二式,例2.3.1：在負(fù)載結(jié)構(gòu)中，某點(diǎn)O處的等厚平行四面體各面的受力情況如圖所示（平面應(yīng)力狀態(tài)）。試求（1）主應(yīng)力的大小及方向（2）沿與水平面成30傾角的微面上的全應(yīng)力和正應(yīng)力。,例 2.3.1,CB面上,先求應(yīng)力分量 ：,例 2.3.1,

5、先求應(yīng)力分量 ：,AB面上:,方向向量:,（1）求主應(yīng)力的大小及方向,例 2.3.1,（2）沿與水平面成30傾角的微面上的全應(yīng)力和正應(yīng)力。,例 2.3.1,例2.4.1：當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)，ex =a, ey =b , gxy =c ，試求對(duì)應(yīng)的位移分量。,例 2.4.1,例2.4.1：當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)，ex =a, ey =b , gxy =c ，試求對(duì)應(yīng)的位移分量。,例 2.4.1,例2.4.1：當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)，ex =a, ey =b , gxy =c ，試求對(duì)應(yīng)的位移分量。,例 2.4.1,例 2.6.1,試列出圖示問(wèn)題的邊界條件。,(2),(1),例 2.6.1,(3),例 2.6.1,(

6、4),例 2.6.2,試列出圖示問(wèn)題的邊界條件。,左邊界：,右邊界：,上邊界：,下邊界：,例 2.6.2,左邊界：,例 2.6.2,右邊界：,例 2.6.2,上邊界：,例 2.6.2,下邊界：,例 2.6.3,代入邊界條件公式，有,試列出圖示問(wèn)題的邊界條件。,例 2.6.3,例 2.6.3,例2.7.1,圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫(xiě)出水壩的應(yīng)力邊界條件。,左側(cè)面：,代入應(yīng)力邊界條件公式,例2.7.1,右側(cè)面：,代入應(yīng)力邊界條件公式，有,例2.7.1,上端面：,為次要邊界，可由圣維南原理求解。,取圖示微元體，由微元體的平衡求得，,例2.7.1,上端面：,為次要邊界，

7、可由圣維南原理求解。,取圖示微元體，由微元體的平衡求得，,例2.7.1,上端面：,為次要邊界，可由圣維南原理求解。,取圖示微元體，由微元體的平衡求得，,例2.7.1,上端面：,注意：,必須按正向假設(shè)！,如圖所示，列出其邊界條件（固定邊不寫(xiě)）。,左右邊界：,上邊界：,例 2.7.2,習(xí)題2-9（1）,在主要邊界 上，應(yīng)精確滿足下列邊界條件：,例 2.7.3,在小邊界（次要邊界） 上，能精確滿足下列邊界條件:,習(xí)題2-9（1）,例 2.7.3,在小邊界（次要邊界） 上，有位移邊界條件：,習(xí)題2-9（1）,例 2.7.3,這兩個(gè)位移邊界條件可以用圣維南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來(lái)代替，當(dāng)板厚=

8、1時(shí)，,習(xí)題2-9（2）,下邊界：,例 2.7.3,上邊界:,習(xí)題2-9（2）,左邊界,例 2.7.3,習(xí)題2-9（2）,右邊界,例 2.7.3,例2.8.1,習(xí)題2-11： 檢驗(yàn)平面問(wèn)題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？,（1）用位移表示的平衡微分方程（2-18）,（2）用位移表示的位移邊界條件（2-14）,（3）或用位移表示的應(yīng)力邊界條件（2-19）,【答】,1、將問(wèn)題作為一維問(wèn)題處理。有 u=0 , v = v(y)泊松比m=0，代入用位移表示的平衡微分方程，第一式自然滿足，第二式變?yōu)?設(shè)如圖(a)所示的桿件，在y方向的上端固定，下端自由，受自重體力fx=0， fy =rg（r為桿

9、的密度，g為重力加速度）的作用。試用位移法求解此問(wèn)題。,求解上述常微分方程，積分得,例 2.8.2,2、根據(jù)邊界條件來(lái)確定常數(shù) A 和 B,上下邊的邊界條件為： v(y)|y=0=0 和 sy |y=h=0 分別代入位移函數(shù)及式（2-17）的第二式,可求得待定常數(shù) A=rgh/E 和 B=0。從而有：,Chapter 2.8,3、代入幾何方程（2-8）求應(yīng)變 ey,Chapter 2.8,4、代入用位移表示的物理方程（2-17）求應(yīng)力 sy,圖(b)所示的桿件,例 2.8.2(b),位移： 應(yīng)變： 應(yīng)力：,1、用位移表示的平衡微分方程,圖(b)所示的桿件,求解上述常微分方程，積分得,例 2.8

10、.2(b),2、由邊界條件求常數(shù)項(xiàng),圖(b)所示的桿件,例 2.8.2(b),上下邊的邊界條件為： v(y)|y=0=0 和 v(y) |y=h=0,3、代入幾何方程（2-8）求應(yīng)變 ey，,Chapter 2.8,4、代入用位移表示的物理方程（2-17）求應(yīng)力 sy,下面給出平面應(yīng)力問(wèn)題（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)（不計(jì)體力）。,Chapter 2.9,例 2.9.1,Chapter 2.9,解,（1）將式（a）代入平衡方程：,滿足,（2-2）,（a）,Chapter 2.9,將式（a）代入相容方程：,式（a）不是一組可能的應(yīng)力場(chǎng)。,（a）,Chap

11、ter 2.9,（b）,（2）將式（b）代入應(yīng)變表示的相容方程：,式（b）滿足相容方程，（b）為可能的應(yīng)變分量。,在無(wú)體力的情況下，試考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)力分量是否可能存在？ sx =A(x2+y2)，sy = B(x2+y2) ，txy=Cxy,解：彈性體的應(yīng)力，在單連體中必須滿足（1）平衡微分方程（2）應(yīng)力表示的相容方程（3）應(yīng)力邊界條件,1、為了滿足平衡微分方程，代入可得： A = B = -C/2,Chapter 2.9,例 2.9.2,2、為了滿足相容方程，代入可得：AB = 0,顯然上述兩組條件是矛盾的，故此組應(yīng)力分量不存在。,Chapter 2.9,例2.9.3,圖示矩形截面懸臂

12、梁，在自由端受集中力 P 作用，不計(jì)體力。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫(xiě)出彎曲應(yīng)力 和剪應(yīng)力 的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力 ，然后說(shuō)明這些表達(dá)式是否代表正確解。,【解】,材料力學(xué)解答：,是否滿足三個(gè)條件： （1）平衡方程？ （2）相容方程？ （3）邊界條件？,（a）,（1）代入平衡微分方程：,顯然，平衡微分方程滿足。,滿足相容方程。,（2）代入相容方程：,滿足,（3）驗(yàn)證應(yīng)力分量是否滿足邊界條件：,上、下側(cè)邊界：,滿足,（3）驗(yàn)證應(yīng)力分量是否滿足邊界條件：,近似滿足,左側(cè)邊界：, 滿足,（3）驗(yàn)證應(yīng)力分量是否滿足邊界條件：,近似滿足,右側(cè)邊界：,由圣維南原理：,結(jié)論：式(a)為正確解,所以材料力學(xué)所得應(yīng)力表

13、達(dá)式為正確解。,第2章 習(xí)題課,如圖所示的幾種受力體是否是平面問(wèn)題？若是，則是平面應(yīng)力問(wèn)題，還是平面應(yīng)變問(wèn)題？,下列幾種受力體中，哪個(gè)可以考慮為平面應(yīng)力(應(yīng)變)問(wèn)題？,習(xí)題2-16：設(shè)已求得一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，試求,題 2.2,(a),(b),(c),(d),題 2.3,試寫(xiě)出下圖所示各平面物體的位移邊界條件（用直角坐標(biāo)）。,(a),(b),x=0, y= -h/2, u=0 x=0, y=h/2, u=0, v=0,x=0, y= 0, u=0, v=0 x=l, y= 0, u=0, v=0 x=l, y=h/2, v=0,題 2.4,試寫(xiě)出圖示平面物體的應(yīng)力邊界條件。,【解】,題 2.5,

14、試考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)變分量是否可能存在：,其中：A、B、C 為常數(shù)。,(a),(b),(c),判斷是否滿足相容方程（2-20）,(a)相容；,(b)須滿足B=0,2A=C;,(c) 不相容。只有C=0，則,題 2.6,(1),在無(wú)體力情況下（單連通域） ，試考慮下列應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在：,(2),【解】彈性體的應(yīng)力，在單連體中必須滿足: （1）平衡微分方程 （2）應(yīng)力表示的相容方程 （3）應(yīng)力邊界條件,（1）式不滿足平衡微分方程 （2）式，由平衡微分方程得A=B= -C/2, 相容方程得A+B=0,兩者矛盾。,第2章 習(xí)題,2-9 2-14 2-18,習(xí)題 2-14,（a）,【解】

15、彈性體的應(yīng)力，在單連體中必須滿足: （1）平衡微分方程 （2）應(yīng)力表示的相容方程 （3）應(yīng)力邊界條件,(1) 檢驗(yàn)是否滿足平衡微分方程,（2-2）,將應(yīng)力分量代入方程（2-2），得等式左右均等于0。 故該應(yīng)力分量滿足平衡微分方程。,(2)檢驗(yàn)是否滿足應(yīng)力表示的相容方程,結(jié)論：該應(yīng)力分量滿足平衡微分方程，但不滿足相容方程，因此，該應(yīng)力分量不是圖示問(wèn)題的解答。,體力為常數(shù)時(shí)，應(yīng)力表示的相容方程為：,將應(yīng)力分量代入上式，得,等式左邊=,故該應(yīng)力分量不滿足相容方程。,第3章 題庫(kù),3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 習(xí)題課,例3.1.1,判斷 能否作為求解平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)。,可見(jiàn)， 能滿足相容方

16、程，可作為應(yīng)力函數(shù)。,解：,解：按逆解法 1、將代入相容方程，可知其是滿足的。因此，它有可能成為該問(wèn)題的解。 2、將代入式（224），得出應(yīng)力分量：,例3.1.2,習(xí)題3-6,3、由邊界形狀和應(yīng)力分量反推出邊界上的面力：,在主要邊界上：,因此，在y=h/2的邊界面上，無(wú)任何面力作用，即,在 x=0, l 的次要邊界上：,各邊界面上的面力分布如圖所示：,在x=0,l 的次要邊界上，其主失量和主矩如下：,因此上述應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力F 作用的問(wèn)題,習(xí)題3-2,例3.2.1,習(xí)題3-17,例3.3.1,習(xí)題3-12,解：按半逆解法,例3.4.1,習(xí)題3-10,解：按半逆解法 1、將代

17、入相容方程，可知其是滿足的。 2、將代入式（2-24），得出應(yīng)力分量：,例3.4.2,3、考察邊界條件,在主要邊界上，應(yīng)精確滿足式（215）：,第一式自然滿足，由第二式有：,（a）,在次要邊界x=0上，只給出了面力的主失量和主矩，應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分邊界條件代替：,由此得：,（b）,結(jié)合(a)、(b)求解：,代入應(yīng)力分量，得：,如果區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程和相容方程已經(jīng)滿足，且除了最后一個(gè)小邊界外，其余的應(yīng)力邊界條件也都分別滿足。則可以推論出，最后一個(gè)小邊界上的三個(gè)積分應(yīng)力邊界條件（即主失量和主矩條件）必然是滿足的。,推論,【解】采用半逆解法。 （1）判斷應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程 將應(yīng)力函數(shù)

18、,例題3.5.1,代入相容方程,其中,很顯然滿足相容方程。,習(xí)題 3-11,（2）求解應(yīng)力分量表達(dá)式,（3）考察邊界條件：,在主要邊界上，,在次要邊界,圣維南原理,代替,滿足,不滿足,（4）把各應(yīng)力分量代入邊界條件，得,應(yīng)力分量為,第3章 習(xí)題課,習(xí)題3-1,【解答】彈性力學(xué)問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問(wèn)題，而要使邊界條件完全得到滿足，往往遇到很大的困難。這時(shí)，圣維南原理可為簡(jiǎn)化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效（主矢量、主矩均相同），只影響近處的應(yīng)力分布，對(duì)遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以忽略不計(jì)。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個(gè)應(yīng)力邊界條件來(lái)

19、代替精確的邊界條件，式（2-15），就會(huì)影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布，會(huì)使問(wèn)題的解答具有更大的近似性。,習(xí)題3-3,【解答】在m個(gè)主要的邊界上，每個(gè)邊界應(yīng)有兩個(gè)精確的應(yīng)力邊界條件，如式（2-15）。在n個(gè)次要邊界上，每邊的應(yīng)力邊界條件若不能精確滿足式（2-15），可以用三個(gè)靜力等效的積分邊界條件來(lái)替代兩個(gè)精確的應(yīng)力邊界條件。,例：已知函數(shù)=a(x4 -y4)，試檢查它能否作為應(yīng)力函數(shù)？若能，試求出應(yīng)力分量（不計(jì)體力），并求出如圖所示矩形薄板邊界上的面力。,逆解法例,1、將=a(x4-y4)代入相容方程，可知其是滿足的。因此，它有可能作為應(yīng)力函數(shù)。 2、將代入式（2-24），得出應(yīng)力分量：,解：按逆解法,3、由邊界形狀和應(yīng)力分量反推出邊界上的面力：,在主要邊界上：,在次要邊界上：,如圖所示，矩形截面長(zhǎng)柱體（長(zhǎng)度 h 遠(yuǎn)大于深度 2b），寬度為1，遠(yuǎn)小于深度和長(zhǎng)度，在頂部受集中力F和力矩 M=Fb/2 作