1、F萬(wàn)=F向=GMm/r2= (r=R地+h),要點(diǎn)一 人造衛(wèi)星的繞行速度、角速度、周期、向心加速度與半徑的關(guān)系,名師支招： GM=gR2稱(chēng)為“黃金代換”，純粹是四個(gè)常數(shù)G、M、g、R間的數(shù)值關(guān)系，因此在任何時(shí)候都能進(jìn)行等量代換，不過(guò)一定要注意g和R的對(duì)應(yīng)性，即g是離天體M球心R處的重力加速度值。,應(yīng) 用,越 高 越 慢,mg=GMm/R2地(近地時(shí))GM=gR2地(黃金代換)推廣 GM行=g行表R2行 GM=g(h)(R+h)2,學(xué)案4 萬(wàn)有引力與航天,1.衛(wèi)星的超重與失重 衛(wèi)星發(fā)射過(guò)程中，衛(wèi)星上的物體處于超重狀態(tài)，衛(wèi)星進(jìn)入軌道后正常運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，衛(wèi)星具有的加速度等于軌道處的重力加速度g軌，衛(wèi)星上的

2、物體完全失重，返回時(shí)，衛(wèi)星減速運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星上的物體處于超重狀態(tài)。 2.衛(wèi)星的能量 軌道半徑越大，速度越小，動(dòng)能越小，但重力勢(shì)能越大，且總機(jī)械能也越大，也就是軌道半徑越大的衛(wèi)星，運(yùn)行速度雖小，但發(fā)射速度越大。 3.衛(wèi)星變軌問(wèn)題 人造衛(wèi)星在軌道變換時(shí)，總是主動(dòng)或由于其他原因使速度發(fā)生變化，導(dǎo)致萬(wàn)有引力與向心力相等的關(guān)系被破壞，繼而發(fā)生近心運(yùn)動(dòng)或者離心運(yùn)動(dòng)，發(fā)生變軌。在變軌過(guò)程中，由于動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，可能出現(xiàn)萬(wàn)有引力與向心力再次相等，衛(wèi)星即定位于新的軌道。,要點(diǎn)二 與衛(wèi)星相關(guān)的幾個(gè)問(wèn)題,4.同步衛(wèi)星 同步衛(wèi)星就是與地球同步運(yùn)轉(zhuǎn)，相對(duì)地球靜止的衛(wèi)星，因此可用來(lái)作為通訊衛(wèi)星，同步衛(wèi)星有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

3、 (1)周期一定：同步衛(wèi)星在赤道正上方相對(duì)地球靜止，它繞地球的運(yùn)動(dòng)與地球自轉(zhuǎn)同步，它的運(yùn)動(dòng)周期就等于地球自轉(zhuǎn)的周期，T=24 h。 (2)角速度一定：同步衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的角速度等于地球自轉(zhuǎn)的角速度。 (3)軌道一定： 因提供向心力的萬(wàn)有引力指向圓心，所有同步衛(wèi)星的軌道必在赤道平面內(nèi)。 由于所有同步衛(wèi)星的周期相同，由 知，所有同步衛(wèi)星的軌道半徑都相同，即在同一軌道上運(yùn)動(dòng)，其確定的高度約為3.6104 km。 (4)環(huán)繞速度大小一定：所有同步衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的線(xiàn)速度的大小是一定的，都是3.08 km/s，環(huán)繞方向與地球自轉(zhuǎn)相同。 5.幾種衛(wèi)星的軌道 (1)赤道軌道：衛(wèi)星的軌道在赤道平面內(nèi)。同步衛(wèi)星就

4、是其中的一種。 (2)極地軌道：衛(wèi)星的軌道過(guò)南北兩極，即在垂直于赤道的平面內(nèi)，如定位衛(wèi)星系統(tǒng)中的衛(wèi)星軌道。 (3)其他軌道：除以上兩種軌道外的衛(wèi)星軌道。 一切衛(wèi)星的軌道的圓心，與地心重合。,1.基本方法：把天體的運(yùn)動(dòng)看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其所需向心力完全由萬(wàn)有引力提供。 GMm/r2=mv2/r=m2r=m(2/T)2r=m(2f)2r 應(yīng)用時(shí)可根據(jù)實(shí)際情況選用適當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行分析計(jì)算。 2.天體質(zhì)量和密度的估算 方法一：利用萬(wàn)有引力定律計(jì)算被圍繞天體(中心天體)的質(zhì)量和密度。 如圖4-4-1所示，某一行星m繞太陽(yáng)M運(yùn)轉(zhuǎn)，其向心力是由太陽(yáng)對(duì)行星 的萬(wàn)有引力提供的，則有GMm/r2=m(42/T2)

5、r 故M=42r3/(GT2)，而=M/(4/3r30)=3r3/(GT2r30)，其中r0為太陽(yáng) 的半徑，r為行星的軌道半徑，兩者不可混淆。特別地，當(dāng)r=r0(即貼近被測(cè)天體表面飛行)時(shí)，有=3/(GT2) 這給我們提供了測(cè)量未知天體密度的一種簡(jiǎn)便方法。 值得注意的是，用環(huán)繞天體(或衛(wèi)星)的周期、軌道半徑測(cè)質(zhì)量的方法，只適用于測(cè)定其中心天體(即處于軌道中心處天體)的質(zhì)量，不能測(cè)定在圓軌道上運(yùn)行著的天體的質(zhì)量。 方法二：利用重力與萬(wàn)有引力近似相等，估算天體的質(zhì)量和密度。 對(duì)在天體表面上的物體有 mg=GMm/R2 式中g(shù)為天體表面的重力加速度，R為天體的半徑，則M=gR2/G 相應(yīng)地=M/(4

6、/3R3)=3g/(4GR) 卡文迪許就是利用這種方法第一次估算出地球的質(zhì)量和平均密度的。,名師支招： 1.解決萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用問(wèn)題，盡管題目很多，但其基本方法是不變的，即把天體的運(yùn)動(dòng)看成圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力。選擇合適的表達(dá)式求解。 2.高考考查該類(lèi)問(wèn)題常結(jié)合一些自然現(xiàn)象、航天技術(shù)、地理知識(shí)、數(shù)學(xué)幾何關(guān)系、雙星模型等，著重考查學(xué)生的理解、推理、分析綜合能力。,要點(diǎn)三 應(yīng)用萬(wàn)有引力定律分析天體問(wèn)題,圖4-4-1,【例1】2009年高考浙江理綜卷在討論地球潮汐成因時(shí)，地球繞太陽(yáng)運(yùn)行軌道 與月球繞地球運(yùn)行軌道可視為圓軌道。已知太陽(yáng)質(zhì)量約為月球質(zhì)量的2.7107 倍，地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道半徑

7、約為月球繞地球運(yùn)行的軌道半徑的400倍。關(guān) 于太陽(yáng)和月球?qū)Φ厍蛏舷嗤|(zhì)量海水的引力，以下說(shuō)法正確的是( ) A.太陽(yáng)引力遠(yuǎn)大于月球引力 B.太陽(yáng)引力與月球引力相差不大 C.月球?qū)Σ煌瑓^(qū)域海水的吸引力大小相等 D.月球?qū)Σ煌瑓^(qū)域海水的吸引力大小有差異,熱點(diǎn)一 萬(wàn)有引力定律,【名師支招】本題考查萬(wàn)有引力定律在實(shí)際中的作用，正確理解定律內(nèi)容并能應(yīng)用公式計(jì)算，了解潮汐成因是解答本題的思路。,【解析】由萬(wàn)有引力定律F=GMm/R2可知，F(xiàn)M/R2，太陽(yáng)與月球?qū)ο嗤|(zhì)量海水的引力之比F太陽(yáng)/F月球=1.687 5102，故A對(duì)；月球與不同區(qū)域海水的距離不同，故吸引力大小有差異，D對(duì)。,A D,一探月衛(wèi)星在

8、地月轉(zhuǎn)移軌道上運(yùn)行，某一時(shí)刻正好處于地心和月心的連線(xiàn)上，衛(wèi)星在此處所受地球引力與月球引力之比為4:1。已知地球與月球的質(zhì)量之比約為81:1，則該處到地心與到月心的距離之比約為_(kāi)。,1,9:2,【例2】中子星是恒星演化過(guò)程的一種可能結(jié)果，它的密度很大，現(xiàn)有一中子星， 觀測(cè)到它的自轉(zhuǎn)周期為T(mén)=130 s。問(wèn)該中子星的最小密度應(yīng)是多少才能維持該 星的穩(wěn)定，不致因自轉(zhuǎn)而瓦解。計(jì)算時(shí)星體可視為均勻球體。(引力常量 G=6.6710-11 Nm2/kg2),熱點(diǎn)二 測(cè)天體的質(zhì)量和密度,【名師支招】求天體的質(zhì)量或密度的問(wèn)題有兩種情況。 (1)已知天體表面的重力加速度g和半徑R，利用g=GM/R2，得出M=g

9、R2/G。 (2)圍繞天體做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星(或行星)，利用GMm/r2=m(42/T2)r，可得中心天體的質(zhì)量M=42r3/(GT2)。,【解析】設(shè)中子星的密度為，質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為，位于赤道處的小物塊質(zhì)量為m，則有 GMm/R2=m2R，=2/T，M=4/3R3 由以上各式得=3/(GT2)， 代入數(shù)據(jù)解得：=1.271014 kg/m3。,【答案】1.271014 kg/m3,2,2007年4月24日，歐洲科學(xué)家宣布在太陽(yáng)系之外發(fā)現(xiàn)了一顆可能適合人類(lèi)居住的類(lèi)地行星Gliese 581c。這顆圍繞紅矮星Gliese 581運(yùn)行的星球有類(lèi)似地球的溫度，表面可能有液態(tài)水存在，距離地

10、球約為2光年，直徑約為地球的1.5倍，質(zhì)量約為地球的5倍，繞紅矮星Gliese 581運(yùn)行的周期約為13天。假設(shè)有一艘宇宙飛船飛臨該星球表面附近軌道，下列說(shuō)法正確的是( ) A.飛船在Gliese 581c表面附近運(yùn)行的周期約為13天 B.飛船在Gliese 581c表面附近運(yùn)行時(shí)的速度大于7.9 km/s C.人在Gliese 581c上所受重力比在地球上所受重力大 D.Gliese 581c的平均密度比地球平均密度小,B C,【例3】土星周?chē)性S多大小不等的巖石顆粒，其繞土星的運(yùn)動(dòng)可視為圓周運(yùn)動(dòng)。其中有兩個(gè)巖石顆粒A和B與土星中心的距離 分別為rA=8.0104 km和rB1.2105 k

11、m。忽略所有巖石顆粒間的相互作用。(結(jié)果可用根式表示) (1)求巖石顆粒A和B的線(xiàn)速度之比； (2)求巖石顆粒A和B的周期之比； (3)土星探測(cè)器上有一物體，在地球上重為10 N，推算出它在距土星中心3.2105 km處受到土星的引力為0.38 N。已知地 球的半徑為6.4103 km，請(qǐng)估算土星質(zhì)量是地球質(zhì)量的多少倍？,【名師支招】解決衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)問(wèn)題最基本的公式是萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力，即GMm/r2=mv2/r=mr2=mr(42/T2)=G重，在解題時(shí)根據(jù)題目中的條件合理選擇公式，能使求解簡(jiǎn)單。,【答案】(1) (2) (3) 95,【解析】(1)設(shè)土星的質(zhì)量為M0，顆粒的質(zhì)量為m，顆粒距土星

12、中心的距離為r，線(xiàn)速度為v，根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得 GM0m/r2mv2/r 解得v= 對(duì)于A、B兩顆粒分別有 vA= 和vB= ，得 vA/vB= (2)設(shè)顆粒繞土星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，則 T=2r/v 對(duì)于A、B兩顆粒分別有 TA=2rA/vA和TB=2rB/vB 得TA/TB= (3)設(shè)地球的質(zhì)量為M，地球的半徑為r0，地球上物體的重力可視為萬(wàn)有引力，探測(cè)器上物體質(zhì)量為m0，在地球表面重力為G0，距土星中心的距離r03.2105 km處的引力為G0，根據(jù)萬(wàn)有引力定律 G0=Gm0M/r02 G0Gm0M0/r02 由得M0/M=95倍。,熱點(diǎn)三 人造衛(wèi)星、宇宙速度,3,如圖4

13、-4-2是“嫦娥一號(hào)奔月”示意圖，衛(wèi)星發(fā)射后通過(guò)自帶的小型火箭多次變軌，進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道，最終被月球引力捕獲，成為繞月衛(wèi)星，并開(kāi)展對(duì)月球的探測(cè)，下列說(shuō)法正確的是( ) A.發(fā)射“嫦娥一號(hào)”的速度必須達(dá)到第三宇宙速度 B.在繞月圓軌道上，衛(wèi)星周期與衛(wèi)星質(zhì)量有關(guān) C.衛(wèi)星受月球的引力與它到月球中心距離的平方 成反比 D.在繞月軌道上，衛(wèi)星受地球的引力大于受月球 的引力,C,圖4-4-2,【例4】天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的兩顆恒星稱(chēng)為雙星。雙星系統(tǒng)在銀 河系中很普遍。利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運(yùn)動(dòng)特征可推算出它們的總質(zhì)量。已知某雙星系 統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線(xiàn)上的某一固定點(diǎn)分別做勻

14、速圓周運(yùn)動(dòng)，周期均為T(mén)，兩顆恒星之 間的距離為r，試推算這個(gè)雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量。(引力常量為G),熱點(diǎn)四 雙星問(wèn)題,【名師支招】根據(jù)“雙星”有共同角速度的隱含條件，及其圓周運(yùn)動(dòng)的半徑間的關(guān)系，建立方程求解即可。,【解析】設(shè)兩顆恒星的質(zhì)量分別為m1、m2，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為r1、r2，角速度分別為1、2。根據(jù)題意有1=2 r1+r2=r 根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律，有 Gm1m2/r2=m112r1 Gm1m2/r2=m222r2 聯(lián)立以上各式解得 m1+m2=12 (r1+r2)r2/G 根據(jù)角速度與周期的關(guān)系知 1=2=2/T 聯(lián)立式解得 m1+m2=42r3/T2G。,【答案】42r

15、3/T2G,4,【答案】(1) m=m23/(m1+m2)2 (2) m23/(m1+m2)2=v3T/(2G) (3)暗星B有可能是黑洞,神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星系統(tǒng)，它由可見(jiàn)星A和不可見(jiàn)的暗星B構(gòu)成。將兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線(xiàn)上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖4-4-3所示。引力常量為G，由觀測(cè)能夠得到可見(jiàn)星A的速率v和運(yùn)行周期T。 (1)可見(jiàn)星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m的星體(視為質(zhì)點(diǎn))對(duì)它的引力，

16、 設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m1、m2，試求m(用m1、m2表示)； (2)求暗星B的質(zhì)量m2與可見(jiàn)星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m1之間的關(guān)系式； (3)恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽(yáng)質(zhì)量ms的2倍，它將有可能成為黑洞。若可見(jiàn)星A的 速率v=2.7105 m/s，運(yùn)行周期T=4.7104 s，質(zhì)量m1=6ms，試通過(guò)估算來(lái)判斷暗星B有可 能是黑洞嗎？(G=6.6710-11 Nm2/kg2,ms=2.01030 kg),圖4-4-3,【例5】2009年高考天津理綜卷2008年12月，天文學(xué)家們通過(guò)觀測(cè)的數(shù)據(jù)確認(rèn)了銀河系中 央的黑洞“人馬座A*”的質(zhì)量與太陽(yáng)質(zhì)量的倍數(shù)關(guān)系。研究發(fā)現(xiàn)，有一星體S2

17、繞人馬座A* 做橢圓運(yùn)動(dòng)，其軌道半長(zhǎng)軸為9.50102天文單位(地球公轉(zhuǎn)軌道的半徑為一個(gè)天文單位)， 人馬座A*就處在該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。觀測(cè)得到S2星的運(yùn)行周期為15.2年。 (1)若將S2星的運(yùn)行軌道視為半徑r=9.50102天文單位的圓軌道，試估算人馬座A*的質(zhì)量 MA是太陽(yáng)質(zhì)量MS的多少倍(結(jié)果保留一位有效數(shù)字)； (2)黑洞的第二宇宙速度極大，處于黑洞表面的粒子即使以光速運(yùn)動(dòng)，其具有的動(dòng)能也不 足以克服黑洞對(duì)它的引力束縛。由于引力的作用，黑洞表面處質(zhì)量為m的粒子具有的 勢(shì)能為Ep=-GMm/R (設(shè)粒子在離黑洞無(wú)限遠(yuǎn)處的勢(shì)能為零)，式中M、R分別表示黑洞的 質(zhì)量和半徑。已知引力常量G

18、=6.710-11 Nm2/kg2，光速c=3.0108 m/s，太陽(yáng)質(zhì)量 MS=2.01030 kg，太陽(yáng)半徑RS=7.0108 m，不考慮相對(duì)論效應(yīng)，利用上問(wèn)結(jié)果，在經(jīng) 典力學(xué)范圍內(nèi)求人馬座A*的半徑RA與太陽(yáng)半徑RS之比應(yīng)小于多少(結(jié)果按四舍五入保 留整數(shù))。,【答案】(1)4106 (2)17,熱點(diǎn)五 萬(wàn)有引力與天體運(yùn)動(dòng)的綜合應(yīng)用,【解析】本題考查萬(wàn)有引力定律與航天科技相結(jié)合的知識(shí)，是現(xiàn)代科技與物理知識(shí)相結(jié)合的問(wèn)題，要求學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)應(yīng)用到解決實(shí)際問(wèn)題中去，從實(shí)際中抽象出物理模型，從而加以解決，本題考查學(xué)生綜合分析能力和應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，難度較大。 (1)S2星繞人馬座A*做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由人馬座A*對(duì)S2星的萬(wàn)有引力提供，設(shè)S2星的質(zhì)量為mS2,角 速度為,周期為T(mén)，則GMAmS2/r2=mS22r 其中=2/T 設(shè)地球質(zhì)量為mE，公轉(zhuǎn)軌道半徑為rE，周期為T(mén)E，則GMSmE/rE2=mE(2/TE)2rE 綜合上述三式得MA/MS=（r/rE)3(T