1、目 錄摘要11. 引言32.維納過程32.1獨立增量過程32.2 維納過程的定義42.3維納過程的特點42.4維納過程的性質52.5維納過程在區(qū)間上加權線性組合63.維納過程的應用73.1股票價格的行為模式73.2維納過程下四種死力假設的增額壽險精算模型114. 結束語16參考文獻17維納過程及其應用薛翔南京信息工程大學摘要：本文敘述了維納過程的基本定義和概念，并介紹了維納過程的特點和性質以及與維納過程有關的在生活中的應用。通過對股票價格的行為模式的理論分析，可以看出維納過程作為隨機過程中的一個具體模型在生活中是有重要意義的。通過對在維納過程下，四種常用的死力解析形式的分析，可以看出維納過程對

2、保險實務有一定的理論指導意義。關鍵詞：維納過程； 隨機變量；獨立增量；正態(tài)分布The Wiener process and its applicationXue XiangNanjing University of Information Science and Technology Abstract: This paper describes the Wiener process and the definition of the concept, and introduced the characteristics and the nature of the Wiener process

3、and Wiener process in life application. By means of the theory on stock price behavior pattern analysis, it can be seen that the Wiener process as a stochastic process in a specific model in life is important. Through the analysis of four commonly used to analytical form in the Wiener process, we ca

4、n see Wiener process for the insurance practice has a certain theoretical significance.Key words: Wiener process; random variable; independent increment; normal distribution1. 引言布朗運動的數(shù)學模型就是維納過程。布朗運動就是指懸浮粒子受到碰撞一直在做著不規(guī)則的運動。我們現(xiàn)在用來表示運動中一個微小粒子從時刻到時刻的位移的橫坐標，并令。根據(jù)的理論，我們可以知道微粒之所以做這種運動，是因為在每一瞬間，粒子都會受到其他粒子對它的

5、沖撞，而每次沖撞時粒子所受到的瞬時沖力的大小和方向都不同，又粒子的沖撞是永不停息的，所以粒子一直在做著無規(guī)則的運動。故粒子在時間段上的位移，我們可把它看成是多個小位移的總和。我們根據(jù)中心極限定理，假設位移服從正態(tài)分布，那么在不相重疊的時間段內，粒子碰撞時受到的沖力的方向和大小都可認為是互不影響的，這就說明位移具有獨立的增量。此時微粒在某一個時段上位移的概率分布，我們便能認為其僅僅與這一時間段的區(qū)間長度有關，而與初始時刻沒有關系，也就是說具有平穩(wěn)增量。2.維納過程2.1獨立增量過程維納過程是典型的隨機過程，屬于所謂的獨立增量過程，在隨機過程的理論和應用中起著很重要的作用?，F(xiàn)在我們就來介紹獨立增量

6、過程。定義：是二階矩過程， 那么我們就稱為隨機過程在區(qū)間上的增量。 若對任意的和任意的，個增量是相互獨立的，那么我們就稱為獨立增量過程。我們可以證明出在的條件下，獨立增量過程的有限維分布函數(shù)族可由增量的分布所確定。 如果對和與的分布是相同的，我們就稱增量具有平穩(wěn)性。那么這個時候，增量的分布函數(shù)只與時間差有關，而與和無關(令便可得出)。值得注意的是，我們稱獨立增量過程是齊次的，此時的增量具有平穩(wěn)性。2.2 維納過程的定義 給定二階矩過程，若滿足 (i) 具有獨立增量；(ii) 對t,有增量；(iii) ，則稱此過程是維納過程。 由（ii）我們可得出維納過程增量的分布只依賴于時間差，故維納過程是齊

7、次的獨立增量過程，并且也服從正態(tài)過程。事實上對任意個時刻（記），把寫成 我們由（i）（iii）知，它們都是獨立的正態(tài)隨機變量的和，由維正態(tài)變量的性質可得出是維正態(tài)變量，即是正態(tài)過程。所以其分布依賴于它的期望函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)。 由（ii），（iii）可知，,故維納過程的期望與方差函數(shù)為， 上式中叫做維納過程的參數(shù)，我們通過做實驗得出數(shù)據(jù)值可估計出其大小。得自協(xié)方差函數(shù)為 2.3維納過程的特點（i）它是一個過程。故未來推測所需的數(shù)據(jù)信息就是該過程的當前數(shù)據(jù)值；（ii）維納過程具有獨立增量。即該過程在任意一個時間區(qū)間上變化的概率分布，與其在其他的時間區(qū)間上變化的概率無關；（iii）在任何有限時間上

8、，維納過程的變化服從正態(tài)分布，其方差隨時間區(qū)間長度的增長而呈線性增加。2.4維納過程的性質（1）基本性質對, 一維維納過程在時刻是一個隨機變量，其概率密度函數(shù)是： 這是因為根據(jù)維納過程的定義得出當時，能推出的分布： 它的數(shù)學期望是零： 它的方差是：在維納過程的獨立增量的定義中，令，那么和都是相互獨立的隨機變量，并且故在兩不同時刻： （2）即時最值 維納過程中的即時最大值：而即時最大值的分布所以有即時最大值的數(shù)學期望：因為維納過程是上下對稱的，所以其即時最小值為其即時最大值的相反數(shù)。（3）對稱性質 尺度不變性：對，隨機過程依然是一個維納過程。 時間反轉性：對，可得隨機過程和性質相同。時間反演性：

9、隨機過程也是一個維納過程。空間對稱性：隨機過程也是一個維納過程。（4）時間平移不變性和馬爾可夫性質我們說維納過程具有馬爾可夫性質，即在任意一點之后的走勢僅依賴于當前這一點值，而與先前的取值沒有關系。也即對任何的有界的連續(xù)函數(shù)，所以維納過程具有時間平移不變性：隨機過程也是一個維納過程。而且維納過程還具有強馬爾可夫性：即對，（為有限停時），隨機變量。也就是對任何的有界的連續(xù)函數(shù)， 上述性質明表盡管給出的時間不是一個定時而是一個停時，維納過程在停時之后的走勢依然不依賴于先前。故將停時之后的維納過程上下反轉，仍是一個維納過程。我們用數(shù)學語言來表達，即給定一個停時以后，隨機變量：也是一個維納過程。此性質

10、也被稱為維納過程的反射原理。 作為推論，我們可建立即時最大值與的另一種關系。假設有，停時，所以。我們運用反射原理可證明出。2.5 維納過程在區(qū)間上加權線性組合設：，是實數(shù)且是維納過程，記 為維納過程區(qū)間上的線性組合。3.維納過程的應用3.1股票價格的行為模式通過對股票價格大量的研究和理論分析，在一定程度上推動了證券市場的發(fā)展，并給證券市場其它理論的研究和分析提供了基礎。我們經常應用的假設是股價服從擴散過程，且大部分情況下都是幾何布朗運動。在此條件下，任一時期的復合收益率是服從正態(tài)分布的。此假設的統(tǒng)計特性是很吸引人的且計算上方便很多。由于正態(tài)分布滿足加法的封閉性，所以不管股票的套利組合是什么樣的

11、，它都依然服從正態(tài)分布。如果我們假設風險行為減到零，那么股票收益率的分布同樣也是服從正態(tài)分布的。 (i)經典的假設理論我們先來介紹隨機游走模型，其表達式為： （1）其中：，表示時刻和時刻的股票價格，表示均值為，方差為的獨立正態(tài)分布。股票價格模型我們一般情況下用維納過程來表達，而隨機游走模型所解釋的股價波動走勢，從本質上來說，其實就是一個漂移率為的擴散過程，如果我們令 是股價關于時間的函數(shù)，那么得隨機游走模型： （2）上式中表示標準維納過程。然而，事實上它僅解釋了股價的波動率，僅僅是我們理想情形下的模型。漂移率為也就是說，在未來任何一個時刻，股價的均值等于其當前值。如果我們設時間區(qū)間長度為年，在

12、前一年的股價條件不發(fā)生變化的情形下，那么該年度的股價就等于前一年度的股價均值，在此種情況下，持股人就很難做到持股時間大于年，這顯然與現(xiàn)實生活中的情況不相符。況且我們有充分理由認為，由于上市公司在不斷的經營擴大，所賺取的利潤也在不斷的增長，所以從長遠來看，公司的股價應該呈現(xiàn)出逐漸增長的走勢，故漂移率是不可能為零的。那么我們通過一個一般化的維納過程就能來解釋股票的價格行為（當然該一般化的維納過程的期望漂移率和方差率是定值），然而由于持股人想要來自股票的期望百分比收益不依賴于股票價格，因此假設期望漂移率為一個常數(shù)也是不合乎常理的?，F(xiàn)在我們假設期望漂移率為股票價格的比例，并且其為一個定值，也就是說股價

13、的期望漂移率為，恒等于一個自然數(shù)，在幾何條件下，它的解釋就是股票的期望收益率。在此假設下，經過時間后，的增長均值為，即，其中表示期望算子。當方差率為時，則微分形式的模型： 可得，式中的表示股票的最初價格，由此可看出，當方差率為時，股價的利率為，以連續(xù)復利的方式增長。然而現(xiàn)實生活中，股價的方差率一般是不可能為零的，因此合乎常理的假設應該是股票的百分比收益率的方差不發(fā)生變化。若我們令股價比例變化的方差率為，經過后，股價比例變化的方差為，那么事實上股價真正變化的方差為，所以得到股價波動走勢的模型： （3）上式中表示標準維納過程。我們用隨機分析的理論來說，這就是過程。其中，稱作漂移系數(shù)，稱作擴散系數(shù)。

14、方程能夠在一定程度上描述股票價格行為。我們常把稱為股價波動率，把稱為股價的預期收益率。下面我們先來介紹一下隨機分析理論中的引理：設是關于兩次連續(xù)可導，關于一次可導的函數(shù)，為滿足隨機微分方程的擴散過程，故可得到隨機變量函數(shù)的微分形式 （4）如果我們定義，由則有 （5）上式說明服從一般化的維納過程，當變量表示股價時，我們可看出股價服從對數(shù)正態(tài)分布?，F(xiàn)在我們將式寫成增量形式，則有股票收益過程為 (6)并且令，表示股票的期收益率，為獨立的維納過程，在此條件下是獨立的。若表示股票的初始價格，則有 （7）那么這時候，于是有。綜上所述，股價的分布和收益率的分布是同步的，因此我們想到利用收益率的分布形式來描述

15、股價的波動過程。我們通過研究發(fā)現(xiàn)股市上高頻數(shù)據(jù)的分布，發(fā)現(xiàn)它們要么是波動聚集的,要么是有偏的，要么是尖峰肥尾的。下面我們用模型來描述以上這些統(tǒng)計特征。正態(tài)分布模型由資本市場假設理論得到證券價格是遵循維納擴散過程的，其收益率滿足正態(tài)分布，我們用如下的模型來表示：模型1 （8）上述模型中，表示股票的期收益率，表示均值，表示股票的期收益率的方差，表示樣本容量，為對數(shù)似然函數(shù)，其中為參數(shù)集。模型1，它無法描述樣本數(shù)據(jù)體現(xiàn)出的波動聚集，有偏和尖峰肥尾的特征，只是一種理想情形。一般情況下數(shù)據(jù)的尖峰肥尾這一特征都能用條件異方差來描述。我們選用,和以及所定義的一般模型，此模型包含了的不對稱模型和的二次模型，與

16、此同時，為了修正序列自相關，我們在期望中引入模型。這樣，股票的收益率過程就變?yōu)椋耗Ｐ? （9）其中參數(shù)集為。為了描述股票收益率分布的肥尾性，我們再來介紹幾個非正態(tài)的條件異方差模型，非正太的條件異方差模型是假設股票收益率服從混合高斯分布。根據(jù)提出的理論，混合高斯模型分為兩類，一類是連續(xù)的，另一類是離散的。 (ii)t-分布模型首先我們來介紹連續(xù)混合高斯分布模型。與設高斯分布的方差參數(shù)從一個逆分布中而來，則其在抽樣以后得到的分布是-分布。當能自由變化的自變量個數(shù)處于到這個區(qū)間時，-分布體現(xiàn)出尖峰這一特性，相對于平穩(wěn)高斯分布而言，它能夠描述一部分的高峰度現(xiàn)象；當自變量的個數(shù)趨向于無窮大時，我們可把-

17、分布看作高斯分布。此外，因為-分布的方差和尺度參數(shù)的倒數(shù)成正比，從單支股票的角度來說，指數(shù)具有相對較小的方差與相對較大的尺度估值。我們定義為標準化的獨立-分布過程，則有如下模型：模型 （10）其中參數(shù)集，表示-分布的自由度參數(shù)。如果將-分布與過程組合在一起，就可以得到下面的模型：模型 （11）這里的參數(shù)集(iii)混合正態(tài)分布過程 現(xiàn)在我們來介紹離散的混合高斯分布模型。年創(chuàng)造性的在理論上提出了兩高斯分布的離散混合模型的式子，代表信息事件的較高方差分布與生成非信息隨機變量的分布共同描述了股票收益率的分布。若我們把對股價產生影響的信息分為市場信息，上市信用以及沒有信息，則股票的收益率行為便能用三高

18、斯分布的離散混合模型來解釋。后來給出了用于描述股票日收益率的離散的混合高斯分布模型。如果沒有指出股票的收益率服從哪種分布，那么股票收益率的每個指標值均能視為是以一定的概率由無窮多個期望為，方差為的高斯分布中的一個所產生。對，如果，那么尖峰性在收益率的行為中便體現(xiàn)了出來。如果對，那么我們知道股票收益率的分布是有偏的。現(xiàn)在我們令為標準化混合高斯分布，則得到以下的模型： 模型 （12）（iiii）估計方法與檢驗 為了對模型之間進行分析比較，而且現(xiàn)成的統(tǒng)計軟件基本上都無法處理上述的大部分模型，所以我們采用中的對數(shù)似然方法來進行參數(shù)估計，算法選擇算法，此算法運用反復迭代法來取得對數(shù)似然函數(shù)的最大值。為了

19、比較上述模型哪個是最優(yōu)的，也就是說，哪個模型具有最高的后驗概率，本文使用準則來選擇模型，其本質就是的密度函數(shù)族中維數(shù)不同的模型的后驗概率的大樣本解。準則就是：其中表示需要估計的參數(shù)的數(shù)目。此準則相對于其他準測來說，它最大的優(yōu)點在于它特定的先驗分布。在評價對象數(shù)量巨大的時候，解中的前面一項是極大似然估計，準則中的后一項代表了對高維模型的責罰。我們需要注意的是軟件中所給出的值與式有一些不同，它的表達式為，故我們在選擇模型的時候，應取與最小的值所對應的模型。 3.2 維納過程下四種死力假設的增額壽險精算模型在保險精算中，傳統(tǒng)的壽險模型是假設利率為常數(shù)，但是人壽保險從本質上來說，它與人的生存和死亡有關

20、。在現(xiàn)實生活中，利率長期不變是不可能的，然而未來利率的變化決定了保險公司的應用準備金計劃以及賠付能力估計，影響著公司的競爭力。3.2.1.傳統(tǒng)變額壽險精算模型我們設被保險人在投保險時是歲，保險金在投保人未來壽命時給付，給定金額為，表示在時刻給付一個單位投保時的利息貼現(xiàn)系數(shù)，同時我們定義。對于投保連續(xù)性的保額為年定期壽險，相關函數(shù)為： 以表示某人已活到歲，他在年后任然活著的概率，用表示在歲時的死力，記v=，其中是常數(shù)利息力。所以年定期壽險的躉交純保費為。我們分析可知，當時，保險金額逐年遞增，就可得到保額逐年增加的壽險；同理，當b(t)=時，保險金額以指數(shù)的形式增長，得到的是保額按指數(shù)增長的增額壽

21、險；當 時，保險金額以幾何形式增長，得到的是保額按幾何增長的增額壽險。我們將上述的表達式依次代入躉繳純保費的公式中便可得到各種增額壽險的精算模型。3.2.2.常用的四種死力解析形式 (1)形式 在這種形式下， (),其中0,C1。所以可以推出，有。 （2） 形式 在這種形式下， ),其中是極限年齡。所以可以推出，又，從而得。 (3）形式 在這種形式下，其中B0,C,。所以可以推出。 （4）形式 在這種形式下， 其中。所以可以推出。3.2.3維納過程下不同死力假設的變額壽險精算模型 若利息力累計函數(shù)是，其中是常數(shù)，0，表示維納過程，則。因此有的密度函數(shù)：，所以有在維納過程下年的躉繳純保費是：(1

22、) 形式下各種增額壽險躉繳純保費在這種形式下有，所以當時， 當時， 當時，（2） 形式下各種增額壽險的躉繳純保費 在這種形式下，所以有 當時，有 當時，有 當時，有（3）形式下各種增額壽險的躉繳純保費 在這種形式下，所以有當時，有當時，有當時，有(4) 形式下各種增額壽險的躉繳純保費在這種形式下，所以有當時，有當時，有當時，有把以上式子中的積分上限改為（表示極限年齡），便可得到相對應的終身壽險的躉繳純保費的計算公式。4. 結束語 本文詳細介紹了隨機過程中的維納過程的概念及其基本定義，并且介紹了和維納過程有關的幾個實例，在生活中運用維納過程的基本原理詳細分析了股票價格的行為模式，從而在一定程度上能夠使我們客觀的了解股市中股票價格的波動走勢；其次，我們假定利息力累計函數(shù)遵循維納過程，在此前提下，給出了常見的四種死力解析