1、2013考研數(shù)學春季基礎班線性代數(shù)輔導講義- 主講：湯家鳳第一講 行列式一、基本概念定義1 逆序設是一對不等的正整數(shù)，若，則稱為一對逆序。定義2 逆序數(shù)設是的一個排列，該排列所含逆序總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)，記為，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。定義3 行列式稱稱為階行列式，規(guī)定 。定義4 余子式與代數(shù)余子式把行列式中元素所在的行元素和列元素去掉，剩下的行和列元素按照元素原來的排列次序構(gòu)成的階行列式，稱為元素的余子式，記為，稱為元素的代數(shù)余子式。二、幾個特殊的高階行列式1、對角行列式形如稱為對角行列式，。2、上（下）三角行列式稱及為上（下）三角行列式，。3、，。4、范

2、得蒙行列式形如稱為階范得蒙行列式，且?！咀⒔狻康某浞直匾獥l件是兩兩不等。三、行列式的計算性質(zhì)（一）把行列式轉(zhuǎn)化為特殊行列式的性質(zhì)1、行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等，即。2、對調(diào)兩行（或列）行列式改變符號。3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。推論1行列式某行（或列）元素全為零，則該行列式為零。推論2行列式某兩行（或列）相同，行列式為零。推論3行列式某兩行（或列）元素對應成比例，行列式為零。4、行列式的某行（或列）的每個元素皆為兩數(shù)之和時，行列式可分解為兩個行列式，即。5、行列式的某行（或列）的倍數(shù)加到另一行（或列），行列式不變，即，其中為任意常數(shù)?！纠}1】設為4維列向量,且，求?！?/p>

3、例題2】用行列式性質(zhì)15計算。【例題3】計算行列式。【例題4】計算，其中。（二）行列式降階的性質(zhì)6、行列式等于行列式某行（或列）元素與其對應的代數(shù)余子式之積的和，即，。7、行列式的某行（或列）元素與另一行（或列）元素的代數(shù)余子式之積的和為零?！纠}1】用行列式按行或列展開的性質(zhì)計算?！纠}2】設，求（1）；（2）。四、行列式的應用克萊姆法則對方程組 （） 及 （）其中稱為非齊方程組，稱為對應的齊次方程組或的導出方程組。令，其中稱為系數(shù)行列式，我們有定理1 只有零解的充分必要條件是；有非零解（或者有無窮多個解）的充分必要條件是。定理2 有唯一解的充分必要條件是，且；當時，要么無解，要么有無窮多個

4、解。第二講 矩陣一 、基本概念及其運算（一）基本概念1、矩陣形如稱為行列的矩陣，記為，行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣稱為方陣，元素全為零的矩陣稱為零矩陣。（1）若矩陣中所有元素都為零，該矩陣稱為零矩陣，記為。（2）對，若，稱為階方陣。（3）稱為單位矩陣。（4）對稱矩陣設，若，稱為對稱矩陣。（5）轉(zhuǎn)置矩陣設，記，稱為矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。2、同型矩陣及矩陣相等若兩個矩陣行數(shù)與列數(shù)相同，稱兩個矩陣為同型矩陣，若兩個矩陣為同型矩陣，且對應元素相同，稱兩個矩陣相等。3、伴隨矩陣設為矩陣，將矩陣中的第行和列去掉，余下的元素按照原來的元素排列次序構(gòu)成的階行列式，稱為元素的余子式，記為，同時稱為元素的代數(shù)余子式，這樣矩陣中

5、的每一個元素都有自己的代數(shù)余子式，記，稱為矩陣的伴隨矩陣。（二）矩陣的三則運算1、矩陣加減法設，則。2、數(shù)與矩陣的乘法設，則。3、矩陣與矩陣的乘法：設，則，其中（）。【注解】（1）推不出。（2）。（3）矩陣多項式可進行因式分解的充分必要條件是矩陣乘法可交換。若，則，再如。（4）方程組的三種形式形式一：基本形式（）與（）（）（）分別稱為齊次與非齊線性方程組。記則方程組（）、（）可改寫為形式二：方程組的矩陣形式 ， （） ， （）令，則有形式三：方程組的向量形式 （） （）二、矩陣的兩大核心問題矩陣的逆矩陣與矩陣的秩【背景】初中數(shù)學問題：對一元一次方程，其解有如下幾種情況（1）當時，兩邊乘以得。（

6、2）當時，方程的解為一切實數(shù)。（3）當時，方程無解。矩陣形式的線性方程組解的聯(lián)想：對線性方程組，其解有如下幾種情況（1）設為階矩陣，對方程組，存在階矩陣，使得，則。（此種情況產(chǎn)生矩陣的逆陣理論）（2）設為階矩陣，對方程組，不存在階矩陣，使得，方程組是否有解？（3）設是矩陣，且，方程組是否有解？（后兩種情況取決于方程組的未知數(shù)個數(shù)與方程組約束條件的個數(shù)即矩陣的秩）（一）逆矩陣1、逆矩陣的定義設為階矩陣，若存在，使得，稱可逆，稱為的逆矩陣，記為?！纠}1】設為階矩陣，且，求。【例題2】設為階矩陣，且，求。2、關于逆矩陣的兩個問題【問題1】 設為階矩陣，何時可逆？【問題2】 若可逆，如何求？3、逆陣

7、存在的充分必要條件定理 設為階矩陣，則矩陣可逆的充分必要條件是。4、逆陣的求法（1）方法一：伴隨矩陣法 。（2）初等變換法 。5、初等變換法求逆陣的思想體系第一步，方程組的三種同解變形（1）對調(diào)兩個方程；（2）某個方程兩邊同乘以非零常數(shù)；（3）某個方程的倍數(shù)加到另一個方程，以上三種變形稱為方程組的三種同解變形。第二步，矩陣的三種初等行變換（1）對調(diào)矩陣的兩行；（2）矩陣的某行乘以非零常數(shù)倍；（3）矩陣某行的倍數(shù)加到另一行，以上三種變換稱為矩陣的三種初等行變換。若對矩陣的列進行以上三種變換，稱為矩陣的初等列變換，矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。第三步，三個初等矩陣及性質(zhì)（1）將

8、的第行與第行或者單位矩陣的第列與第列對調(diào)所得到的矩陣，如。性質(zhì)： 1）；1）；3）即為矩陣的第行與第行對調(diào)，即為矩陣的第列與第列對調(diào)，即是對進行第一種初等行變換，是對進行第一種初等列變換。（2）將的第行乘以非零常數(shù)或的第列乘以非零常數(shù)所得到的矩陣，如。性質(zhì)：1）；2）；3）即為矩陣的第行非零常數(shù)，即為矩陣的第列非零常數(shù)，即為對進行第二種初等行變換，為對進行第二種初等列變換。（3）將第行的倍加到第行或的第列的倍加到第列所得到的矩陣。性質(zhì)：1）即第行的倍加到第行，即第列的倍加到第列；2）；3）。第四步，三個問題【問題1】 設是階可逆矩陣，可都經(jīng)過有限次初等行變換化為？【問題2】 設是階不可逆矩陣，

9、是否可以經(jīng)過有限次初等行變換化為？【問題3】設是階不可逆矩陣，是否可以經(jīng)過有限次初等變換化為？第五步，初等變換法求逆陣的理論定理1 設是階可逆矩陣，則經(jīng)過有限次初等行變換化為，且。定理2設是階不可逆矩陣，則存在階可逆矩陣和，使得。6、逆矩陣的性質(zhì)（1）。（2）。（3），更進一步。（4）。（5），?！纠}1】設可逆矩陣的行對調(diào)所得的矩陣為。（1）證明：可逆。 （2）求?！纠}2】設分別為階可逆矩陣，求。【例題3】設可逆陣的兩行對調(diào)得矩陣，討論與之間的關系?！纠}4】設，則 （ ） 【例題5】設，且，求。（二）矩陣的秩1、矩陣秩的定義設是矩陣，中任取行和列且元素按原有次序所成的階行列式，稱為的階子

10、式，若中至少有一個階子式不等于零，而所有階子式（如果有）皆為零，稱為矩陣的秩，記為。2、矩陣秩的求法將用初等行變換化為階梯矩陣，階梯矩陣的非零行數(shù)即為矩陣的秩?！咀⒔狻浚?）設為矩陣，則。（2）的充分必要條件為。（3）的充分必要條件為。（4）的充分必要條件是至少有兩行不成比例。（5），則。3、矩陣秩的性質(zhì)（1）?！纠}1】設是矩陣，證明：若，則。（2）?！纠}2】設，證明：。（3），等價于。（口訣：即矩陣的乘法不會使矩陣的秩升高）【例題3】設分別為與矩陣，且，求。（4）設，且，則?！纠}4】設為可逆矩陣，證明其逆矩陣唯一?！纠}5】設，證明：。（5）設為可逆矩陣，則。（6）。（7）。（8）存在

11、非零向量，使得。第三講 向量一、向量基本概念1、向量個實數(shù)所構(gòu)成的一個數(shù)組稱為向量，其中稱為維行向量，稱為維列向量，構(gòu)成向量的所有元素皆為零的向量稱為零向量。2、向量的內(nèi)積：。注解（1）； （2）；（3）； （4）。（5）當，即時，稱向量與正交，記為，注意零向量與任何向量正交。【注解】方程組的向量形式齊次線性方程組可以表示為；非齊線性方程組可以表示為，其中。3、線性相關與線性無關對齊次線性方程組，（1）當且僅當時成立，即齊次線性方程組只有零解，稱向量組線性無關；（2）若有不全為零的常數(shù)，使得成立，即齊次線性方程組有非零解，稱線性相關。4、向量的線性表示對非齊線性方程組，（1）存在一組常數(shù)，使得

12、成立，即非齊線性方程組有解，稱可由線性表示；（2）若不能成立，即非齊線性方程組無解，稱不可由線性表示。5、向量組的秩與矩陣的秩的概念（1）向量組的極大線性無關組與向量組的秩設為一個向量組，若中存在個線性無關的子向量組，但任意個子向量組（如果有）線性相關，稱個線性無關的子向量組為向量組的一個極大線性無關組，稱為向量組的秩。注解（1）若一個向量組中含有零向量，則該向量組一定線性相關。（2）兩個向量線性相關的充分必要條件是兩個向量成比例。（3）向量組的極大線性無關組不一定唯一。6、向量組的等價設與為兩個向量組，若，則稱向量組可由向量組線性表示，若兩個向量組可以相互線性表示，稱兩個向量組等價。二、向量

13、的性質(zhì)（一）向量組的相關性與線性表示的性質(zhì)1、若線性相關，則其中至少有一個向量可由其余向量線性表出。2、設線性無關，而線性相關，則可由線性表出，且表示方法唯一。3、若一個向量組線性無關，則其中任意一個部分向量組也必然線性無關；4、若一個向量組的一個部分向量組線性相關，則此向量組一定線性相關；5、設為個維向量，則線性無關。6、若一個向量組的個數(shù)多于維數(shù)。則此向量組一定線性相關。7、若為一個兩兩正交的非零向量組，則線性無關。8、設為兩兩正交的非零向量組，則線性無關，反之不對?！纠}1】 設線性無關，線性相關，證明：可由線性表示?！纠}2】設線性無關，令，討論的相關性。【例題4】設線性無關，令，討論

14、的相關性。（二）向量組的秩的性質(zhì)1、設為兩個向量組，若組可由線性表出，則組的秩不超過組的秩。2、等價的向量組由相等的秩。3、矩陣的秩、矩陣的行向量組的秩、矩陣的列向量組的秩三者相等。【注解】（1）設線性無關，線性無關的充分必要條件是不可由向量組線性表示，等價于。（2）設，若向量組可由向量組線性表示，而向量組不可由向量組線性表示，則。第四講 方程組一、線性方程組的基本概念方程組（），稱（）為元齊次線性方程組。方程組（）稱（）為元非齊線性方程組，方程組（）又稱為方程組（）對應的齊次線性方程組或者導出方程組。二、線性方程組解的結(jié)構(gòu)1、設為齊次線性方程組的解，則為的解，其中為任意常數(shù)。特殊情形，及（為

15、任意常數(shù)）都是的解。2、設為齊次線性方程組的解，為非齊線性方程組的解，則為方程組的解。3、設為非齊線性方程組的解，則為的解。4、設為的一組解，則為的解的充分必要條件是。三、線性方程組解的基本定理定理1 （1）齊次線性方程組只有零解的充分必要條件是；（2）齊次線性方程組有非零解（或者無窮多個解）的充分必要條件是。定理2 （1）非齊線性方程組無解的充分必要條件是。（2）有解的充分必要條件是。更進一步地，當時，方程組有唯一解；當時，方程組有無窮多個解。四、線性方程組的通解（一）齊次線性方程組的基礎解系與通解【例題1】求方程組的通解?！纠}2】求方程組?！咀⒔狻魁R次線性方程組基礎解的的三大條件一個向量

16、組為齊次線性方程組的基礎解系的充分必要條件是（1）該向量組為方程組的解。（2）該向量組線性無關。 （3）該向量組的向量個數(shù)與方程組自由變量個數(shù)相等。（二）非齊線性方程的通解【例題1】設方程組無解，求?！纠}2】取何值時，方程組有解，并求出其解?！纠}3】（1）設為階陣，且的各行元素之和為0，求的通解。 （2）設為階陣，且，求的通解。（3）設為四元非齊方程組，為其3個解向量，且，求的通解。（4）設為4維列向量組，線性無關，求的一個基礎解系。（5）設線性無關，且，求的通解?！纠}3】設為維向量組，且線性無關，為的非零解，問線性相關性。方程組補充（一）理論拓展定理1 若，則的列向量組為方程組的解?！?/p>

17、例題1】設，證明：。【例題2】設為三階非零矩陣，的第一行元素不全為零，且，求方程組的通解。定理2 若與同解，則?！纠}1】證明：。【例題2】設為矩陣，是矩陣，且，證明：。（二）方程組的公共解定理 與的公共解即為的解。【例題1】設都是階矩陣，且，證明：與有公共的非零解?！纠}2】設線性方程組（1）與方程組（2）。（1）求兩個方程組的基礎解系。 （2）求兩個方程組的公共解。第五講 特征值與特征向量一、基本概念1、矩陣的特征值、特征向量設為階矩陣，若存在和非零向量，使得，稱為矩陣的特征值，稱為矩陣的屬于特征值的特征向量?！締栴}1】設為階矩陣，如何求的特征值？【問題2】設為階矩陣，為的特征值，如何求矩

18、陣的屬于的特征向量？2、特征多項式、特征方程令，稱為矩陣的特征多項式，稱為矩陣的特征方程。【注解】（1）設為實矩陣，則的特征值不一定是實數(shù)。（2）。（3）。（4）的充分必要條件是?！纠}1】設，求的特征值及每個特征值對應的線性無關的特征向量。【例題2】設，求的特征值及每個特征值對應的線性無關的特征向量?！締栴}1】設，則是的特征值，問的非零特征值個數(shù)是否與的秩相等？【問題2】問每個特征值的重數(shù)與其對應的線性無關的特征向量個數(shù)是否一致？3、矩陣相似設為兩個階陣，若存在可逆陣，使得，則稱與相似，記為?！咀⒔狻浚?）。 （2）若，則。 （3）若，則。（4），反之不對。（5），反之不對。（6）（其中可逆

19、）。（7）若，則，。4、矩陣的對角化若一個矩陣和對角矩陣相似,則稱矩陣可以對角化，設是階矩陣，所謂可對角化，即存在可逆矩陣，使得，其中為對角矩陣。二、特征值與特征向量的性質(zhì)（一）一般矩陣特征值與特征向量的性質(zhì)1、（重要性質(zhì)）不同特征值對應的特征向量線性無關。2、設為階矩陣，是矩陣的特征值，是矩陣的對應于的特征向量，則（1）若可逆，則是矩陣的特征值，是矩陣的對應于的特征向量。（2）若可逆，則為矩陣的特征值，是矩陣的對應于的特征向量。（3）設為一元次多項式，稱為關于矩陣的矩陣多項式，則有為矩陣的特征值，是矩陣的對應于的特征向量。3、矩陣可對角化的充分必要條件是有個線性無關的特征向量。（二）實對稱矩

20、陣特征值特征向量的性質(zhì)1、設為實對稱陣，則的特征根都是實數(shù)。2、設為實對稱陣，則的不同特征根對應的特征向量正交。3、可對角化有個線性無關的特征向量。4、設為實對稱陣，為其特征根，則存在正交陣，使得。三、矩陣的對角化（一）非實對稱矩陣（二）實對稱矩陣典型問題（一）特征值、特征向量的性質(zhì)【例題1】設為四階矩陣，且的特征值為，則?！纠}2】設為可逆矩陣，為的一個特征值，則的一個特征值為?！纠}3】設為的兩個不同的特性根，分別為所對應的特征向量，則不是特征向量。（二）特征值、特征向量的求法【思路分析】特征值的求法常見有三種方法：（1）公式法，即通過求的特征值。（2）定義法（3）關聯(lián)矩陣法【例題1】設矩

21、陣的每行元素之和分別為，其中可逆。（1）求的每行元素之和；（2）求的每行元素之和。【例題2】設為階矩陣，且，求的特征值?！纠}3】設，且，令，求的特征值及重數(shù)?！纠}4】是三階矩陣，線性無關，求矩陣的特征值。（三）矩陣對角化問題【思路分析】判斷矩陣對角化常見思路有：（1）矩陣的特征值是否為單值。（2）矩陣是否存在個線性無關的特征向量。（3）矩陣是否為實對稱矩陣?！纠}1】設且，證明可對角化?！纠}2】設，證明不可以對角化?！纠}3】，求的特征根、特征向量，以及是否可以對角化？【例題4】設為非零矩陣，且存在正整數(shù)，使得，證明不可以對角化。【例題5】設有三個線性無關的特征向量，求滿足的條件?！纠}6】,有解但不唯一,(1)求的值;(2)求可逆陣,使得為對角陣;(3)求正交陣,使得為對角陣。（四）求矩陣【思路分析】特征值與特征向量部分求未知矩陣的思路為：（1）求的特征值。（2）求的不同特征值對應的線性無關的特征向量（注意：實對稱矩陣不同特征值對應的特征向量正交）（3）令，由得