1、5.3 統(tǒng)計(jì)量及其分布,1,5.3.1 統(tǒng)計(jì)量及其分布,定義5.3.1 統(tǒng)計(jì)量:設(shè)x1,x2,xn為取自某總體的樣本,若樣本函數(shù)T=T(x1,x2,xn)中不含有任何未知參數(shù),則稱T為統(tǒng)計(jì)量. 抽樣分布: 統(tǒng)計(jì)量的分布成為抽樣分布.,2,3,注:統(tǒng)計(jì)量不依賴于未知參數(shù),但是它的分布一般是依賴與未知參數(shù)的.,4,5.3.2 樣本均值及其抽樣分布,定義5.3.2 設(shè)x1,x2,xn為取自某總體的樣本,其算術(shù)平均值稱為樣本均值，一般用 表示,即 在分組樣本場(chǎng)合,樣本均值的近似公式為 其中k為組數(shù),xi為第i組的組中值, fi為第組的頻數(shù).,5,例5.3.1 某單位收集到20名青年人的某月的娛樂(lè)支出費(fèi)

2、用數(shù)據(jù): 79 84 84 88 92 93 94 97 98 99 100 101 101 102 102 108 110 113 118 125 則該月這20名青年的平均娛樂(lè)支出為,6,將這20個(gè)數(shù)據(jù)分組可以得到如下頻數(shù)頻率分布: 組序分組區(qū)間組中值頻數(shù)頻率,7,定理5.3.1 若把樣本中的數(shù)據(jù)與樣本均值之差稱為偏差,則樣本所有偏差之和為0,即,8,定理5.3.2 數(shù)據(jù)觀察值與均值的偏差平方和最小, 即在形如 的函數(shù)中, 最小,其中c為任意給定常數(shù).,9,證明: 為任意給定常數(shù)c,10,定理5.3.3 設(shè)x1,x2,xn是來(lái)自某個(gè)總體的樣本，為樣本均值 1) 若總體分布為 ，則 2) 若總

3、體分布未知或者不是正態(tài)分布,但 則n較大時(shí),11,證明: 1) 證明見p210,習(xí)題13.（提示：用特征函數(shù)的性質(zhì)證） 2)由中心極限定理,12,例5.3.3 求樣本容量為30,總體分布如下的樣本均值的漸進(jìn)分布: 1)總體分布為均勻分布U(1,5); 2)總體分布密度函數(shù)為(倒三角分布) 3)總體分布為指數(shù)分布Exp(1)；,13,解: 1) 均勻分布U(1,5)的均值和方差分別為3和4/3,所以樣本均值的漸進(jìn)分布為,2) 容易算出該分布均值和方差分別為3和2,所以樣本均值的漸進(jìn)分布為,3) 指數(shù)分布Exp(1)的均值和方差都為1, 所以樣本均值的漸進(jìn)分布為,14,5.3.3 樣本方差和 樣本

4、標(biāo)準(zhǔn)差,15,稱為樣本方差.,稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.,也稱為樣本方差(也稱無(wú)偏方差),也稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.,.,16,說(shuō)明：,稱為偏差平方和 的自由度,自由度的含義是：,17,分組樣本場(chǎng)合，樣本方差的近似計(jì)算公式為,練習(xí):例5.3.4,18,證明:,19,20,5.3.4 樣本矩及其函數(shù),21,定義5.3.4 設(shè)x1,x2,xn是樣本,則統(tǒng)計(jì)量,請(qǐng)回答：,定義5.3.5 設(shè)x1,x2,xn是樣本,則統(tǒng)計(jì)量,稱為樣本偏度.,22,說(shuō)明:,說(shuō)明數(shù)據(jù)是對(duì)稱的.,稱為樣本偏度.,23,說(shuō)明數(shù)據(jù)中有幾個(gè)較大的數(shù)，反映總體分布是正偏的或右偏的.,說(shuō)明數(shù)據(jù)中有幾個(gè)較小的數(shù)，反映總體分布是負(fù)偏的或左偏的.,24,25

5、,26,27,28,5.3.5 次序統(tǒng)計(jì)量及其分布,29,一、次序統(tǒng)計(jì)量的定義及性質(zhì),30,例5.3.6 設(shè)總體X的分布為僅取0,1.2的離散均勻分布,分布列為,31,32,33,二、次序統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布,34,練習(xí)：請(qǐng)寫出最小次序統(tǒng)計(jì)量和最大次序統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù).（p157）,35,例5.3.7,解：由總體密度函數(shù)求出總體分布函數(shù)為:,36,例5.3.8,設(shè)總體分布為,37,例5.3.9,設(shè)總體分布為,極差,38,5.3.6 樣本中位數(shù)與 樣本分位數(shù),39,40,41,42,5.3.7 五數(shù)概括與箱線圖,所謂五數(shù)概括就是用,這五個(gè)數(shù)來(lái)大致描述一批數(shù)據(jù)的輪廓,43,5.3.7 五數(shù)概括與箱線圖,一、單批數(shù)據(jù)箱線圖 二、多批數(shù)據(jù)箱線圖,44,用箱線圖初步考察測(cè)驗(yàn)成績(jī)的分布 sas程序如下:,1) 單批數(shù)據(jù)箱線圖,45,46,47,48,2) 多批數(shù)據(jù)箱線圖,對(duì)于多批數(shù)據(jù)，