1、最新資料推薦高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)與積分經(jīng)典例題以及答案一 . 教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)與積分二 . 重點、難點：1. 導(dǎo)數(shù)公式：yf (x)cf( x)0yf (x)xnf ( x)n x n 1yf (x)sin xf( x)cos xyf (x)cos xf( x)sin xyf (x) a xf( x)ax ln ayf (x)log a xf( x)1log a ex2. 運算公式 f ( x) f ( x)f ( x) g( x)g (x)f (x)g (x)g( x)f ( x) g (x)f ( x)g (x)f ( x)g (x) f (x)g ( x) g2 ( x)3. 切線，過P（ x0

2、, y0 ）為切點的yf (x) 的切線， yy0f ( x0 )( xx0 )4. 單調(diào)區(qū)間不等式 f (x)0，解為 yf ( x) 的增區(qū)間，f (x)0 解為 yf ( x) 的減區(qū)間。5. 極值（ 1） x(a, x0 ) 時， f (x) 0 ， x( x0 ,b) 時， f ( x)0f ( x0 ) 為 yf ( x) 極大值（ 2） x(a, x0 ) 時 f (x) 0 ， x(x0 , b) 時， f ( x)0f ( x0 ) 為 yf ( x) 的極小值。1最新資料推薦【典型例題】 例 1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（ 1） y13x37 x21；3x（ 2） yln | x

3、 |；（ 3） yx；1xx2（ 4） y3x ex2xe ；（ 5） yln x；x 21（ 6） yx cos xsin x 。分析：直接應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則解析：（1） y(1 )(3x3 )(7 x2 )(1)3x14(x 3 ) 3(x3 ) 7( x2 )01 x 39x 214 x3（ 2）當 x0 時， yln x, y1；x當 x0 時， yln(x) ， y( 1 ) (1)11xxyx（ 3） yx (1xx2 )x(1xx 2 )(1x x2 )21xx2x(012x)1x 2(1 x x 2 ) 2(1 x x2 ) 2（ 4） y(3x ex ) (2x )

4、(e)(3x ) ex3 x (ex )(2x )03x ln 3ex3x ex2 x ln 2(3e) x ln 3e2 x ln 2（ 5） y(ln x) ( x21)ln x(x21)( x21)22最新資料推薦1( x21) 2x ln xx 21 2x2 ln xx(x 21) 2x( x 21) 2（ 6） y( xcos x)(sin x)cosxx sin x cosxx sin x 例 2 如果函數(shù) f ( x)2a ln( x1) 的圖象在 x1處的切線 l 過點（ 0，1 ）并且 l 與圓bbC： x 2y 21相離，則點（ a, b）與圓 C 的位置關(guān)系。解： f (

5、 x)2a1 l 切2aln 2abx 1y( x 1)bbl 過（ 0，112a ln 2a）bbbb a1ln 412aa1ln 2bbl 與圓相離b1，1a 2a 2b212bb1a2b 2 a 2b21b2b 點（ a, b ）在圓內(nèi) 例 3 函數(shù) yf ( x), yg( x) 在 a, b 上可導(dǎo)，且 f (x)g ( x) ，則 x(a,b) 時有（）A.f ( x)g( x)B. f ( x) g ( x)C.f ( x)g( a)g (x)f (a)D.f ( x)g(b)g(x)f (b)解： 令 F ( x)f ( x) g (x) F ( x)f( x)g ( x) x

6、 (a,b)F( x)0 x (a,b)F (x)3最新資料推薦 任取 x(a,b)F ( x)F (a)f ( x)g( x)f (a)g(a)即 f ( x)g (a)g( x)f ( a)故選 C 例 4f (x), g (x) 分別為定義在R 上的奇函數(shù)、偶函數(shù)。x0 時， f ( x) g( x)f ( x) g (x) 0, g( 3) 0 ，則不等式 f ( x) g( x)0 的解為。解： 令 F ( x)f ( x) g (x)F ( x)f ( x) g( x)f ( x) g ( x)x(,0)F ( x)0x( 0,)F ( x)f (x) 奇， g (x) 偶F (x

7、) 奇函數(shù)g( 3)0 F ( 3) 0F ( x)0 解為 (, 3)(0,3) 例 5 已知函數(shù) f ( x)ax在 x1處取得極值 2。x 2b（ 1）求 f (x) 的解析式；（ 2） m 滿足什么條件時，區(qū)間（m,2m1 ）為函數(shù)增區(qū)間；（ 3）若 P（ x0 , y0 ）為 yf (x) 圖象上任一點， l 與 yf ( x) 切于點 P 求 l 的傾斜角的正切值的取值范圍。解： f ( x)a( x2b)ax(2x)( x2b)2f (1)2a4f (x)4xf ( x)0b121xf ( x)4(1x2 )0x1(x 21) 2列表 (,1)（ 1， 1）（ 1， +）4最新資

8、料推薦m12m111m 02m1mf( x)4(1x 2 )4( x21)2421( x21)2( x21) 221) 2x 2( x1令1t(0,1x211) 21f( x)4 2t 2t4 2( t1 ,448f(x)2 例 6f (x)1 x31 (b1) x2cx32（ 1） f (x) 在 x=1， x=3 處取得極值，求b,c ；（ 2） f (x) 在 (, x1 ),( x2 ,), ( x1 , x2 )，且 x2x11，求證： b22(b 2c)（ 3）在（ 2）的條件下， tx1 比較 t 2bt c 與 x1 大小關(guān)系。解：（ 1） f(x)x2(b1) xcf(1)0

9、bc0b3f(3)063bc0c3 f ( x)1 x32x23x3（ 2） f ( x)x 2(b 1) x cx1x21 bx1 x2cx2 x11( x2x1 )21(x1x2 ) 24 x1 x2112bb24c1 b22(b2c)（ 3） x 2(b 1) x c( x x1 )( x x2 )t 2btc x1t 2(b 1)tc tx1(tx1 )(tx2 ) (t x1 )(tx1 )(t1x2 ) * x2x11 x2x11 t 15最新資料推薦 * 式 0 t 2bt c x1 例 7 已知拋物線 C1 : yx 22 x 和 C 2 : yx2a 。如果直線 l 同時是

10、C1 和 C 2 的切線，稱 l 是 C1 和 C 2 的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段。（ 1） a 取什么值時， C1 和 C2 有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；（ 2）若 C1 和 C2 有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分。分析：分別利用曲線C1, C2 方程求切線 l 的方程再比較，從而求得a 滿足條件；對于（ 2）兩條公切線段互相平分，也就是兩公切線段的中點坐標相同。解析：（1）函數(shù) yx22x 的導(dǎo)數(shù) y 2x2，曲線 C1 在點 P(x1, x122x1 ) 的切線方程是y (x122x1 ) (2x1 2)( x x1 )即 y (2x1 2

11、) x x12函數(shù) yx 2a的導(dǎo)數(shù) y2x曲線 C2 在點 Q( x2 ,x22a) 的切線方程是y ( x22a)2x2 (x x2 )即 y2x2 x x22a 如果直線l是過 P 和 Q 的公切線，則式和式都是l 的方程x11x2所以x12x22a消去 x2 得方程 2 x122x11a 0442(1a)0 ，即 a11若判別式時解得 x1，此時點 P 與 Q 重合122即當 a時， C1 和 C 2 有且僅有一條公切線21由得公切線方程為yx4（ 2）由（ 1）可知，當 a1時 C1 和 C 2 有兩條公切線2設(shè)一條公切線上切點為P( x1 , y1 ), Q ( x2 , x2 )

12、 ，其中 P 在 C1 上， Q 在 C2上，則有6最新資料推薦x1x21y1y2x122x1( x22a)x122x1( x1 1)2a1 a線段 PQ 的中點為 (1 ,1a)22同理，另一條公切線段P Q 的中點也是 ( 1 ,1 a )22所以公切線段PQ 和 P Q 互相平分 例 8 已知拋物線y ax 2bxc 過點(1,1) ，且在點 (2,1) 處與直線 yx 3 相切，求a, b, c 的值。解析： yf ( x)ax 2bx c y f (x)2axb 拋物線在點(2, 1) 處與直線 yx 3相切 f ( 2)1，且 f (2) 14a2bc1(1)即4ab1(2)又拋物

13、線過點（1， 1）abc1 （ 3）將（ 1）（ 2）（ 3）聯(lián)立解得a3,b11, c9 例 9 設(shè)函數(shù) yax 3bx 2cxd 的圖象與 y 軸的交點為P 點，且曲線在P 點處的切線方程為 12xy40 ，若函數(shù)在x2 處取得極值為0，試確定函數(shù)的解析式。解析： yax3bx2cxd 的圖象與 y 軸交點為 P 點 P 的坐標為 ( 0, d ) 曲線在 P 點處的切線方程為y12x4 ，故 P 點坐標適合此方程，將 P(0, d ) 代入后得 d47最新資料推薦又切線的斜率為k12而 y 3ax22bxc ， y |x 0 c c 12又函數(shù)在 x2 處取得極值0y |x 20 且 f

14、 (2)012a4b120(1)即8a4b200(2)由（ 1）（ 2）解得 a2, b9y2x39x212x41 例 10 已知曲線y。x（ 1）求曲線在點 P（ 1，1）處的切線方程；（ 2）求曲線過點 Q（ 1， 0）的切線方程；（ 3）求滿足斜率為1的曲線的切線方程。3解析：（ 1）y1x2 ，又 P（ 1， 1）是曲線上的點 P 為切點，所求切線的斜率為kf (1)1 曲線在 P 點處的切線方程為y 1(x1) ，即 yx2（ 2）顯然 Q（ 1， 0）不在曲線y11) ，則x上，則可設(shè)過該點的切線的切點為A(a,1a該切線斜率為 k1f(a)a 211則切線方程為yaa 2 ( x

15、 a) （ * ）將 Q（ 1，0）代入方程（ * ）得111aa0。故所求切線方程為aa 2(1 ) 得2y4x 4（ 3）設(shè)切點坐標為A(a,1 ) ，則切線的斜率為k211aa23解得 a3 A(3,3 ) 或 A ( 3,3 ) ，代入點斜式方程得 y31 ( x3) 或33338最新資料推薦y31 (x3)33即切線方程為x3y230 或 x3y230 例 11 已知 a0 ，函數(shù) f ( x)x 3a, x0,) ，設(shè) x10 ，記曲線yf ( x) 在點M ( x1 , f (x1 ) 處的切線為 l 。（ 1）求 l 的方程；（ 2）設(shè) l 與 x 軸交點為 ( x2 ,0)

16、，證明：111x2a 3 ；若 x1a 3 ，則 a 3x2x1 。解析：（1）求 f (x) 的導(dǎo)數(shù)：f (x)3x2 ，由此得切線l 的方程：y(x13a)3x12 ( xx1 )（ 2）依題意，切線方程中令y0x2x1x13a2x13a3x123x12111 x2a 3( 2x13a3x12 a3 )3x121112 ( x1a 3 ) 2 (2x1 a 3 )03x111 x2a 3當且僅當 x1a 3 時等號成立1x13a1 若 x1a 3 ，則 x13a0 ， x2x10 ，且由 x2a 3 ，所以3x121a 3 xx2x1 例 12設(shè)函數(shù) f (x)ax(a1) ln( x1)

17、 ，其中 a1，求 f (x) 的單調(diào)區(qū)間。解析： 由已知得函數(shù)f ( x) 的定義域為 ( 1,) ，且 f ( x)ax1 ( a1)x1（ 1）當1a0 時，由 f( x)0 知，函數(shù) f (x) 在 ( 1,)上單調(diào)遞減9最新資料推薦（ 2）當 a0 時，由 f (x)01，解得 xaf ( x), f ( x) 隨 x 的變化情況如下表：x( 1, 1 )1( 1, )aaaf ( x)0+f ( x)極小值從上表可知當 x( 1,1 ) 時， f (x)0，函數(shù) f ( x) 在 (1,1 ) 上單調(diào)遞減aa當 x( 1 ,) 時， f(x)0 ，函數(shù) f ( x) 在 ( 1,

18、) 上單調(diào)遞增aa綜上所述：當 1a0時，函數(shù) f ( x) 在 ( 1,) 上單調(diào)遞減當 a0 時，函數(shù) f (x) 在 ( 1, 1 ) 上單調(diào)遞減，f ( x) 在 ( 1 ,) 上單調(diào)遞增aa 例 13 已知函數(shù) f (x) ax33x2x1 在 R 上是減函數(shù)，求a 的取值范圍。分析：因為 f ( x) 在 R 上為減函數(shù)， 即 f(x)0 在 R 上恒成立， 再解不等式即可得解。解析： 求函數(shù) f (x) 的導(dǎo)數(shù)： f(x)3ax 26x1（ 1）當 f( x)0(xR) 時，f ( x) 是減函數(shù)3ax 26x10(xR)a0，且3612a0a3所以，當 a3 時，由 f(x)0

19、 知 f ( x)( xR) 是減函數(shù)；（ 2）當 a3 時， f ( x)3x33x 2x13( x1) 3839由函數(shù) yx3 在 R 上的單調(diào)性，可知當 a3 時， f (x)( xR) 是減函數(shù)；（ 3）當 a3 時，在 R 上存在一個區(qū)間，其上有f ( x)0所以，當 a3 時，函數(shù)f (x)( xR) 不是減函數(shù)綜上，所求 a 的取值范圍是(, 310最新資料推薦 例 14 設(shè) a 為實數(shù)，函數(shù)f ( x)x 3ax 2(a21)x 在 (,0) 和 (1,) 上都是增函數(shù)，求 a 的取值范圍。解析：f(x)3x22(a21)ax其判別式4a212a 212128a 2（ 1）若1

20、2 8a 20 ，即 a62當 x(, a ) 或 x( a ,) 時， f( x)0 ， f ( x) 在 (,) 上為增函數(shù)33 a62（ 2）若128a 20 ，恒有 f( x)0 ， f ( x) 在 (,) 上為增函數(shù) a 23即 a (,6 )(6 ,)222（ 3）若12 8a 20 ，即6a6 ，令 f ( x) 022解得 x1a32a 2a32a23， x23當 x(, x1 ) 或 x(x2 ,) 時， f (x)0， f (x) 為增函數(shù)當 x(x1, x2 ) 時， f(x)0， f (x) 為減函數(shù)依題意 x10 得 x21由 x10 得 a32a 2，解得 1a6

21、2由 x21 得 3 2a 23 a解得6a622從而 a1,6 )2綜上， a 的取值范圍為 (,6 6 ,) 1,6 )22211最新資料推薦即 a ( ,6 1, )2【模擬試題】（答題時間： 60分鐘）1. 已知曲線 yx 23 ln x 的一條切線的斜率為1 ，則切點的橫坐標為（）421A. 3B. 2C. 1D.22.設(shè) a0 ， f ( x) ax 2bx c ，曲線 yf (x) 在點 P(x0 , f ( x0 ) 處切線的傾斜角的取值范圍為 0, ，則 P 到曲線 yf (x) 對稱軸距離的取值范圍是（）4A. 0, 1 B.0,1 C. 0,| b |D. 0, | b

22、1 |a2a2a2a3.在函數(shù) yx38x 的圖象上， 其切線的傾斜角小于的點中，坐標為整數(shù)的點的個數(shù)4是（）A. 3B. 2C. 1D. 04.ylnln(lnx) 的導(dǎo)數(shù)為（）A.1B.1x ln(ln x)ln x ln(ln x)C.1D.1x ln xln(ln x)ln(lnx)5.已知函數(shù) f (x) 在 x1處的導(dǎo)數(shù)為3，則 f ( x) 的解析式可能為（）A.f ( x)( x1) 33( x1)B. f (x)2( x1)C.f ( x)2( x1)2D.f ( x)x16.設(shè) f (x), g (x)分 別 為 定 義 在 R 上 的 奇 函 數(shù) 和 偶 函 數(shù) ， 當

23、x0 時 ，f ( x)g ( x)f (x) g (x)0，且 g (3)0 ，則不等式f ( x) g (x)0 的解集是（）A.(3,0)(3,)B.(3,0)( 0,3)C. (,3)(3,)D.(, 3)(0,3)7.函數(shù) y( x2a)( xa)2 的導(dǎo)數(shù)為（）12最新資料推薦A. 2( x2a 2 )B. 3( x2a 2 )C. 3( x2a 2 )D. 2( x2a2 )8. 設(shè) f ( x) 是函數(shù) f (x) 的導(dǎo)函數(shù)， yf (x) 的圖象如下圖所示，則 yf ( x) 的圖象最有可能的是（）9. 函數(shù) y( x1) 2 ( x 1) 在 x1 處的導(dǎo)數(shù)等于（）A. 1

24、B. 2C. 3D. 410.已知 f ( x) 與 g( x) 是定義在 R 上的連續(xù)函數(shù)，如果f (x) 與 g(x) 僅當 x0 時的函數(shù)值為 0，且 f (x)g (x) ，那么下列情形不可能出現(xiàn)的是（）A. 0 是 f ( x) 的極大值，也是g( x) 的極大值B. 0 是 f ( x) 的極小值，也是g ( x) 的極小值C. 0 是 f ( x) 的極大值，但不是g( x) 的極值D. 0 是 f ( x) 的極小值，但不是g( x) 的極值11.已知二次函數(shù)f ( x)ax 2bxc 的導(dǎo)數(shù)為 f (x), f (0)0 ，對于任意實數(shù)，都有f ( x)0 ，則f(1)的最小

25、值為（）f(0)A. 3B.5C. 232D.212.設(shè)函數(shù) f (x) 是 R 上以 5 為周期的可導(dǎo)偶函數(shù)，則曲線yf ( x) 在 x5 處的切線的斜率為（）1B. 01D. 5A.C.5513.已知對任意實數(shù)x，有 f (x)f ( x) ， g( x)g(x) ，且 x 0 時， f (x) 0 ，13最新資料推薦g (x)0，則 x0 時（）A.f (x)0, g ( x) 0B.f (x)0, g ( x) 0C.f (x)0, g (x) 0D.f( x)0, g ( x)014. 若曲線 yx4的一條切線 l 與直線 x4y80 垂直，則 l 的方程為（）A. 4x y 3

26、0B. x 4 y 50C. 4x y 3 0D. x 4 y 3 015. 設(shè) f ( x) 是函數(shù) f ( x) 的導(dǎo)函數(shù)，將 yf (x) 和 y f( x) 的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（）16. 若對任意 xR, f (x)4x3 ， f (1)1，則 f (x) 是（）A.f ( x)x 4B.f ( x)x42C.f ( x)4x 35D.f ( x)x 4217.f (x) 是定義在 (0,) 上的非負可導(dǎo)函數(shù)，且滿足 xf ( x)f ( x)0 任意正數(shù) a, b ，若 ab，則必有（）A.af (a)f (b)B.f (b)f ( a)C. af (b)bf ( a)D.bf (a)af (b)18. 曲線 y1 x3 2 在點 ( 1, 7 ) 處切線的傾斜角為（）33A. 30 B. 45 C. 135D