1、微專題36 向量的數(shù)量積尋找合適的基底 在高考中經(jīng)常會(huì)遇到幾何圖形中計(jì)算某兩個(gè)向量數(shù)量積的問題，如果無法尋找到計(jì)算數(shù)量積的要素（模長，夾角）那么可考慮用合適的兩個(gè)向量（稱為基底）將兩個(gè)向量表示出來，進(jìn)而進(jìn)行運(yùn)算。這也是在幾何圖形中處理向量數(shù)量積的一個(gè)重要方法一、基礎(chǔ)知識(shí)：（一）所涉及的平面向量定理及數(shù)量積運(yùn)算法則：1、平面向量基本定理：若向量為兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于平面上任意的一個(gè)向量，均存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)，使得。其中成為平面向量的一組基底。（簡(jiǎn)而言之，不共線的兩個(gè)向量可以表示所有向量）2、向量數(shù)量積運(yùn)算，其中為向量的夾角3、向量夾角的確定：向量的夾角指的是將的起點(diǎn)重合所成的角，其中：同向

2、：反向 ： 4、數(shù)量積運(yùn)算法則：（1）交換律： （2）系數(shù)結(jié)合律：（3）分配律：因?yàn)橄蛄繑?shù)量積存在交換律與分配律，才使得有些向量數(shù)量積運(yùn)算的展開式與實(shí)數(shù)因式相乘的展開式規(guī)律相同：例如： 5、若，則由此可見，只要知道基底的模與數(shù)量積，以及將用基底表示出來，則可計(jì)算（二）選擇合適基底解題的步驟與技巧：1、如何選擇“合適”的基底：題目中是否有兩個(gè)向量模長已知，數(shù)量積可求呢？如果有，那就是它們了。所以在此類題目中首先可先確定那些向量的數(shù)量積與模長已知。常見的可以邊所成向量作基底的圖形有：等邊三角形，已知兩邊的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等。2、向量的表示：嘗試所求數(shù)量積的兩個(gè)向量是否能被你所選中的基

3、底進(jìn)行表示，常用的方法有：（1）向量的加減運(yùn)算（2）“爪”字型圖：在中，是上的點(diǎn)，如果，則，其中知二可求一。特別的，如果是邊上的中線，則3、計(jì)算數(shù)量積：將所求向量用基地表示后，代入到所求表達(dá)式計(jì)算即可，但在計(jì)算過程中要注意基底的夾角二、例題精煉例1:如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，則_思路：模長未知（尚可求出），夾角未知，所以很難直接求出數(shù)量積?？紤]是否有合適基底，可計(jì)算出,進(jìn)而對(duì)于,模長均已知，數(shù)量積已求，條件齊備，適合作為基底。用表示：,答案：例2：如圖，已知在中，則_思路：觀察條件，很難直接利用公式求解.考慮選擇兩個(gè)向量表示,條件中(數(shù)量積有了），（模長有了），所以考慮用作為基底。下一步只需將表

4、示出來，（底邊比值聯(lián)想到“爪”字型圖）,解得：所以答案：例3:在邊長為1的正三角形中，設(shè)，則_思路：如圖，等邊三角形三邊已知，夾角已知，由此對(duì)于三邊所成的向量，兩兩數(shù)量積均可計(jì)算，所以考慮用三邊向量進(jìn)行表示，表示的方法很多，例如觀察“爪”字形圖可得,(注意向量夾角）答案：小煉有話說：這道題由于是等邊三角形，故可以建系去做，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸。坐標(biāo)完成之時(shí)，就是計(jì)算的完成之日，且此法在計(jì)算上更為簡(jiǎn)便。例4：如圖，在中，已知，點(diǎn)分別在邊上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則的值是（ ）A. B. C. D. 思路：在本題中已知及兩個(gè)向量的夾角，所以考慮將作為一組基底。則考慮將用進(jìn)行表示，再做數(shù)

5、量積即可解： 且，所以有：由已知可得：答案：C例5：已知向量的夾角是，且，若，且，則實(shí)數(shù)的值是_思路：題中模長夾角已知，所以選擇它們作為基底，表示，再根據(jù)求出即可解： 即 式變?yōu)椋航獾?答案： 例6：在邊長為的正三角形中，則的最大值為_答案： 思路：所給為等邊三角形，則三邊所成向量?jī)蓛蓴?shù)量積可解。所以用三邊向量將表示出來，再作數(shù)量積運(yùn)算并利用消元即可求出最值解： 且 等號(hào)成立條件： 答案：小煉有話說：（1）本題在最后求最值時(shí)還可以利用均值不等式迅速把問題解決：（2）在消元時(shí)要注意，如果所消去的元本身有范圍，則這個(gè)范圍由主元來承擔(dān)，比如本題中用把消掉，則所滿足的條件除了已知的之外，還有，即 例7

6、：如圖，在四邊形中，是等邊三角形，則的值為_思路：從條件中可分析，的邊所成的向量?jī)蓛芍g數(shù)量積可求，其公共邊為，所以以作為突破口，所求數(shù)量積中只有需要轉(zhuǎn)換，可得，所以，進(jìn)而可解解：在中， 在等邊三角形中， 答案： 小煉有話說：（1）在求時(shí)要注意夾角不是，而是它的補(bǔ)角?。?）在求也可以用投影定義來解，即在上的投影為，所以例8：如圖，四邊形滿足，若是的中點(diǎn)，則（ ）A. B. C. D. 思路：本題要抓住這個(gè)條件，所求表達(dá)式中主要解決。從圖中可發(fā)現(xiàn)分別是的中線，從而可用條件中的向量進(jìn)行表示：，從而求得表達(dá)式的值解： 答案：D例9：菱形邊長為，點(diǎn)分別在上，且，若，則（ ）A. B. C. D. 思路：本題已知菱形邊長和兩邊夾角，所以菱形四條邊所成向量?jī)蓛蓴?shù)量積可求，所以可以考慮將題目中所給的所涉及的向量用菱形的邊和進(jìn)行表示，進(jìn)而列出關(guān)于的方程，解出方程便可求出解： 答案：D例10：已知向量滿足條件：，且，點(diǎn)是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則_思路：本題已知模長，可對(duì)進(jìn)行變形得到更多條件：，同理，從而可將所求式子中的向量均用表示再進(jìn)行計(jì)算即可。解：，代入可得：，同理 答案： 小煉有話說：（1）本題在處理關(guān)系時(shí)，從入手兩邊同時(shí)模長平方，得到數(shù)量積的關(guān)系，這也是“向量等式數(shù)量積等式”的常見變形方法（2）在處理關(guān)系時(shí)也可以通過數(shù)形結(jié)合，從和中發(fā)現(xiàn)在圖像上的特點(diǎn)，推斷出兩兩夾角從而計(jì)算出它們的數(shù)量積（3