1、二、第二類(lèi)換元法,第二節(jié),一、第一類(lèi)換元法,換元積分法,第四章,第二類(lèi)換元法,第一類(lèi)換元法,基本思路,設(shè),可導(dǎo),則有,一、第一類(lèi)換元法,定理1.,則有換元,公式,(也稱(chēng)配元法,即, 湊微分法),例1. 求,解: 令,則,故,原式 =,注: 當(dāng),時(shí),注意換回原變量,例2. 求,解:,令,則,想到公式,例3. 求,想到,解:,(直接配元),例4. 求,解:,類(lèi)似,例5. 求,解:, 原式 =,常用的幾種配元形式:,萬(wàn)能湊冪法,例6. 求,解: 原式 =,例7. 求,解: 原式 =,例8. 求,解: 原式 =,例9. 求,解法1,解法2,兩法結(jié)果一樣,例10. 求,解法1,解法 2,同樣可證,或,(

2、P199 例18 ),例11. 求,解: 原式 =,例12 . 求,解:,例13. 求,解:,原式 =,例15. 求,解: 原式,例14. 求,解: 原式 =,分析:,小結(jié),常用簡(jiǎn)化技巧:,(1) 分項(xiàng)積分:,(2) 降低冪次:,(3) 統(tǒng)一函數(shù): 利用三角公式 ; 配元方法,(4) 巧妙換元或配元,萬(wàn)能湊冪法,利用積化和差; 分式分項(xiàng);,利用倍角公式 , 如,思考與練習(xí),1. 下列各題求積方法有何不同?,2. 求,提示:,法1,法2,法3,二、第二類(lèi)換元法,第一類(lèi)換元法解決的問(wèn)題,難求,易求,若所求積分,易求,則得第二類(lèi)換元積分法 .,難求，,定理2 . 設(shè),是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù) , 且,具有原函

3、數(shù) ,證:,令,則,則有換元公式,例16. 求,解: 令,則, 原式,例17. 求,解: 令,則, 原式,例18. 求,解:,令,則, 原式,令,于是,原式,例19. 求,解: 令,則,原式,當(dāng) x 0 時(shí), 類(lèi)似可得同樣結(jié)果 .,小結(jié):,1. 第二類(lèi)換元法常見(jiàn)類(lèi)型:,令,令,令,或,令,或,令,或,第四節(jié)講,2. 常用基本積分公式的補(bǔ)充 (P205 P206),7) 分母中因子次數(shù)較高時(shí), 可試用倒代換,令,解: 原式,(P206 公式 (20) ),例20. 求,例21. 求,解:,(P206 公式 (23) ),例22. 求,解: 原式 =,(P206 公式 (22) ),例23. 求,

4、解: 原式,(P206 公式 (22) ),例24. 求,解: 令,得,原式,例25. 求,解: 原式,令,例16,思考與練習(xí),1. 下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡(jiǎn)便 ?,令,令,令,2. 已知,求,解: 兩邊求導(dǎo), 得,則,(代回原變量),P207 2 (4) , (5) , (9) , (11) , (12) , (16) , (20) , (21) , (23) , (28) , (29) , (30) , (32) , (33) , (35) , (36) , (38), (40) , (42) , (44),作業(yè),P207 2 (4) , (5) , (9) , (11) , (12) , (16) , (20) , (21) , (23) , (28) , (29) , (30),作業(yè),P207 2 (32) , (33) , (35) , (36) , (38), (40) , (42) , (44