1、第三節(jié),一、 變力沿直線所作的功,二、 液體的側(cè)壓力,三、 引力問題,定積分在物理學上的應(yīng)用,第六章,一、 變力沿直線所作的功,設(shè)物體在連續(xù)變力 F(x) 作用下沿 x 軸從 x a 移動到,力的方向與運動方向平行,求變力所做的功 .,在其上所作的功元,素為,因此變力F(x) 在區(qū)間,上所作的功為,例1.,一個單,求電場力所作的功 .,解:,當單位正電荷距離原點 r 時,由庫侖定律電場力為,則功的元素為,所求功為,說明:,位正電荷沿直線從距離點電荷 a 處移動到 b 處 (a b) ,在一個帶 +q 電荷所產(chǎn)生的電場作用下,例2.,體,求移動過程中氣體壓力所,解:,由于氣體的膨脹, 把容器中的

2、一個面積為S 的活塞從,點 a 處移動到點 b 處 (如圖),作的功 .,建立坐標系如圖.,由波義耳馬略特定律知壓強,p 與體積 V 成反比 , 即,功元素為,故作用在活塞上的,所求功為,力為,在底面積為 S 的圓柱形容器中盛有一定量的氣,例3.,試問要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?,解: 建立坐標系如圖.,在任一小區(qū)間,上的一薄層水的重力為,這薄層水吸出桶外所作的功(功元素)為,故所求功為,( KJ ),設(shè)水的密度為,(KN),一蓄滿水的圓柱形水桶高為 5 m, 底圓半徑為3m,面積為 A 的平板,二、液體的側(cè)壓力,設(shè)液體密度為 ,深為 h 處的壓強:,當平板與水面平行時,當平板不與水面平

3、行時,所受側(cè)壓力問題就需用積分解決 .,平板一側(cè)所受的壓力為,小窄條上各點的壓強,例4., 的液體 , 求桶的一個端面所受的側(cè)壓力.,解: 建立坐標系如圖.,所論半圓的,利用對稱性 , 側(cè)壓力元素,端面所受側(cè)壓力為,方程為,一水平橫放的半徑為R 的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為,說明:,當桶內(nèi)充滿液體時,小窄條上的壓強為,側(cè)壓力元素,故端面所受側(cè)壓力為,奇函數(shù),三、 引力問題,質(zhì)量分別為,的質(zhì)點 , 相距 r ,二者間的引力 :,大小:,方向:,沿兩質(zhì)點的連線,若考慮物體對質(zhì)點的引力, 則需用積分解決 .,例5.,設(shè)有一長度為 l, 線密度為 的均勻細直棒,其中垂線上距 a 單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點

4、 M,該棒對質(zhì)點的引力.,解: 建立坐標系如圖.,細棒上小段,對質(zhì)點的引力大小為,故鉛直分力元素為,在,試計算,利用對稱性,棒對質(zhì)點引力的水平分力,故棒對質(zhì)點的引力大小為,棒對質(zhì)點的引力的鉛直分力為,說明:,2) 若考慮質(zhì)點克服引力沿 y 軸從 a 處,1) 當細棒很長時,可視 l 為無窮大 ,此時引力大小為,方向與細棒垂直且指向細棒 .,移到 b (a b) 處時克服引力作的功,則有,引力大小為,注意正負號,3) 當質(zhì)點位于棒的左端點垂線上時,內(nèi)容小結(jié),(1) 先用元素法求出它的微分表達式 dQ,一般元素的幾何形狀有:,扇、片、殼 等.,(2) 然后用定積分來表示整體量 Q , 并計算之.,1.用定積分求一個分布在某區(qū)間上的整體量 Q 的步驟