1、4 個(gè)量的關(guān)系。最新 料推薦數(shù)論之同余問(wèn)題余數(shù) 是數(shù) 知 板 中另一個(gè)內(nèi)容豐富， 目 度 大的知 體系，也是各大杯 小升初考 必考的奧數(shù)知 點(diǎn)，所以學(xué)好本 于學(xué)生來(lái) 非常重要。 多孩子都接觸 余數(shù)的有關(guān) ，并有不少孩子 “遇到余數(shù)的 就基本 菜了！”余數(shù) 主要包括了 余除法的定 ，三大余數(shù)定理（加法余數(shù)定理，乘法余數(shù)定理，和同余定理），及中國(guó)剩余定理和有關(guān)棄九法原理的 用。知 點(diǎn) ：一、帶余除法的定義及性質(zhì)：一般地，如果a 是整數(shù)， b 是整數(shù)（ b 0） , 若有 a b=q r ，也就是a b q r,0 r b；我 稱上面的除法算式 一個(gè) 余除法算式。 里：(1) 當(dāng) r 0 ：我 稱

2、a 可以被 b 整除， q 稱 a 除以 b 的商或完全商(2) 當(dāng) r 0 ：我 稱 a 不可以被 b 整除， q 稱 a 除以 b 的商或不完全商一個(gè)完美的 余除法 解模型 :如 ， 是一堆 ，共有a 本， 個(gè)a 就可以理解 被除數(shù)， 在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除數(shù)的角色， 打包后共打包了c 捆，那么 個(gè)c 就是商，最后 剩余d 本， 個(gè)d 就是余數(shù)。 個(gè) 能 學(xué)生清晰的明白 余除法算式中并且可以看出余數(shù)一定要比除數(shù)小。二、三大余數(shù)定理：1. 余數(shù)的加法定理a 與 b 的和除以 c 的余數(shù)，等于 a,b 分 除以 c 的余數(shù)之和，或 個(gè)和除以c 的余數(shù)。例如： 23， 16 除

3、以 5 的余數(shù)分 是3 和 1，所以 23+16=39 除以 5 的余數(shù)等于 4，即兩個(gè)余數(shù)的和 3+1.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大 ，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c 的余數(shù)。例如： 23， 19 除以 5 的余數(shù)分 是3 和 4，故 23+19=42 除以 5 的余數(shù)等于 3+4=7 除以 5 的余數(shù)，即2.2. 余數(shù)的乘法定理a 與 b 的乘 除以 c 的余數(shù)，等于a,b 分 除以 c 的余數(shù)的 ，或者 個(gè) 除以c 所得的余數(shù)。例如： 23， 16 除以 5 的余數(shù)分 是3 和 1，所以 23 16 除以 5 的余數(shù)等于 3 1=3。當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大 ，所求的余數(shù)等于余數(shù)之 再除以c 的余數(shù)。例

4、如： 23，19 除以 5 的余數(shù)分 是3 和 4，所以 23 19除以 5 的余數(shù)等于3 4 除以 5 的余數(shù)，即 2.1最新 料推薦3. 同余定理若兩個(gè)整數(shù)a、b 被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱 a、b 對(duì)于模 m同余，用式子表示為：a b ( modm ) ，左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a 同余于 b，模 m。由同余的性質(zhì)，我們可以得到一個(gè)非常重要的推論：若兩個(gè)數(shù)a， b 除以同一個(gè)數(shù)m得到的余數(shù)相同，則a， b 的差一定能被m整除用式子表示為：如果有a b ( mod m )，那么一定有a b mk,k 是整數(shù)，即m|(a b)三、棄九法原理：在公元前9 世紀(jì)，有個(gè)印度數(shù)學(xué)家名

5、叫花拉子米，寫(xiě)有一本花拉子米算術(shù)，他們?cè)谟?jì)算時(shí)通常是在一個(gè)鋪有沙子的土板上進(jìn)行，由于害怕以前的計(jì)算結(jié)果丟失而經(jīng)常檢驗(yàn)加法運(yùn)算是否正確，他們的檢驗(yàn)方式是這樣進(jìn)行的：例如：檢驗(yàn)算式123418981789028899231234 除以 9 的余數(shù)為11898 除以 9 的余數(shù)為818922 除以 9 的余數(shù)為 4678967 除以 9 的余數(shù)為7178902 除以 9 的余數(shù)為0這些余數(shù)的和除以9 的余數(shù)為2而等式右邊和除以9 的余數(shù)為3，那么上面這個(gè)算式一定是錯(cuò)的。上述檢驗(yàn)方法恰好用到的就是我們前面所講的余數(shù)的加法定理，即如果這個(gè)等式是正確的，那么左邊幾個(gè)加數(shù)除以9 的

6、余數(shù)的和再除以9 的余數(shù)一定與等式右邊和除以9 的余數(shù)相同。而我們?cè)谇笠粋€(gè)自然數(shù)除以9 所得的余數(shù)時(shí)，常常不用去列除法豎式進(jìn)行計(jì)算，只要計(jì)算這個(gè)自然數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和除以9 的余數(shù)就可以了，在算的時(shí)候往往就是一個(gè)9 一個(gè) 9 的找并且劃去，所以這種方法被稱作“棄九法” 。所以我們總結(jié)出棄九發(fā)原理：任何一個(gè)整數(shù)模9 同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。以后我們求一個(gè)整數(shù)被9 除的余數(shù)，只要先計(jì)算這個(gè)整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和，再求這個(gè)和被9 除的余數(shù)即可。利用十進(jìn)制的這個(gè)特性，不僅可以檢驗(yàn)幾個(gè)數(shù)相加，對(duì)于檢驗(yàn)相乘、相除和乘方的結(jié)果對(duì)不對(duì)同樣適用注意：棄九法只能知道原題一定是錯(cuò)的或有可能正確，但不能保證一定正確

7、。例如：檢驗(yàn)算式9+9=9 時(shí)，等式兩邊的除以9 的余數(shù)都是0，但是顯然算式是錯(cuò)誤的但是反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)算式一定是正確的，那么它的等式2 兩端一定滿足棄九法的規(guī)律。這個(gè)思想往往可以幫助我們解決一些較復(fù)雜的算式迷問(wèn)題。2最新 料推薦四、中國(guó)剩余定理：1. 中國(guó)古代趣 ：中國(guó)數(shù)學(xué)名著 子算 里有 的 ：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二， 物幾何？”答曰：“二十三?！贝?我 可以稱 “物不知其數(shù)” 型，又被稱 “ 信點(diǎn)兵”。 信點(diǎn)兵又稱 中國(guó)剩余定理，相 高祖劉邦 大將 信 御兵士多少， 信答 ，每3 人一列余 1 人、 5 人一列余 2 人、 7 人一列余 4 人

8、、 13 人一列余 6 人。劉邦茫然而不知其數(shù)。我 先考 下列的 ：假 兵不 一萬(wàn)，每5 人一列、 9 人一列、 13 人一列、 17 人一列都剩 3 人， 兵有多少？首先我 先求 5、 9、 13、 17 之最小公倍數(shù) 9945（注：因 5、 9、 13、 17 兩兩互 的整數(shù)，故其最小公倍數(shù) 些數(shù)的 ） ，然后再加 3，得 9948（人）。 子算 的作者及確 著作年代均不可考，不 根據(jù)考 ，著作年代不會(huì)在晉朝之后，以 個(gè)考 來(lái) 上面 種 的解法，中國(guó)人 得比西方早，所以 個(gè) 的推廣及其解法，被稱 中國(guó)剩余定理。中國(guó)剩余定理（ Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象

9、代數(shù)學(xué)中占有一席非常重要的地位。2. 核心思想和方法： 于 一 ，我 有一套看似繁 但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我 就以 子算 中的 例，分析此方法:今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二， 物幾何？ 目中我 可以知道，一個(gè)自然數(shù)分 除以3，5，7 后，得到三個(gè)余數(shù)分 2，3，2. 那么我 首先構(gòu)造一個(gè)數(shù)字，使得 個(gè)數(shù)字除以3 余 1，并且 是5 和 7 的公倍數(shù)。先由 5735，即 5 和 7 的最小公倍數(shù)出 ，先看35 除以 3 余 2，不符合要求，那么就 看5 和7 的“下一個(gè)”倍數(shù)35 270 是否可以，很 然70 除以 3 余 1 似的，我 再構(gòu)造一

10、個(gè)除以5 余 1，同 又是3 和 7 的公倍數(shù)的數(shù)字， 然21 可以符合要求。最后再構(gòu)造除以7 余 1，同 又是3， 5 公倍數(shù)的數(shù)字，45 符合要求，那么所求的自然數(shù)可以 算：270321245k3,5,7233k3,5,7 ，其中 k 是從 1 開(kāi)始的自然數(shù)。也就是 足上述關(guān)系的數(shù)有無(wú) 多，如果根據(jù) 情況 數(shù)的范 加以限制，那么我 就能找到所求的數(shù)。例如 上面的 加上限制條件“ 足上面條件最小的自然數(shù)”，那么我 可以 算2703212452 3,5,723 得到所求如果加上限制條件“ 足上面條件最小的三位自然數(shù)”,3最新 料推薦我們只要對(duì)最小的23 加上 3,5,7即可，即23+105=1

11、28。例題精講：【模塊一：帶余除法的定義和性質(zhì)】【例 1 】( 第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)報(bào)競(jìng)賽決賽) 用某自然數(shù)a 去除 1992 ，得到商是46，余數(shù)是 r ，求 a 和 r 【解析】因 為 1992 是 a 的 46 倍還多 r , 得到 19924643.14，得 1992464314 ，所以 a43 ，r14 【鞏固】 (清華附中小升初分班考試 )甲、乙兩數(shù)的和是 1088，甲數(shù)除以乙數(shù)商 11余 32 ，求甲、乙兩數(shù)【解析】 ( 法 1) 因?yàn)?甲 乙 11 32 ，所以 甲 乙 乙 11 32 乙 乙 12 32 1088；則乙(108832)1288 ，甲1088乙1000( 法 2) 將

12、余數(shù)先去掉變成整除性問(wèn)題，利用倍數(shù)關(guān)系來(lái)做：從1088 中減掉 32 以后， 1056 就應(yīng)當(dāng)是乙數(shù)的 (11 1) 倍，所以得到乙數(shù)1056 1288，甲數(shù)1088881000【鞏固】一個(gè)兩位數(shù)除310，余數(shù)是37，求這樣的兩位數(shù)?！窘馕觥勘绢}為余數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)題型，需要學(xué)生明白一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，就是把余數(shù)問(wèn)題- 即“不整除問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為整除問(wèn)題。方法為用被除數(shù)減去余數(shù)，即得到一個(gè)除數(shù)的倍數(shù)；或者是用被除數(shù)加上一個(gè)“除數(shù)與余數(shù)的差”，也可以得到一個(gè)除數(shù)的倍數(shù)。本題中310-37=273 ，說(shuō)明273 是所求余數(shù)的倍數(shù)，而273=37 13，所求的兩位數(shù)約數(shù)還要滿足比 37 大，符合條件的有39，

13、91.【例 2】 (年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題) 有兩個(gè)自然數(shù)相除，商是17，余數(shù)是13，已知被除數(shù)、2003除數(shù)、商與余數(shù)之和為，則被除數(shù)是多少？2113【解析】被除數(shù)除數(shù) 商余數(shù)被除數(shù)除數(shù) +17+13=2113，所以被除數(shù)除數(shù) =2083，由于被除數(shù)是除數(shù)的17 倍還多13，則由“和倍問(wèn)題”可得：除數(shù)=（ 2083-13 ）（ 17+1） =115，所以被除數(shù)=2083-115=1968 【鞏固】用一個(gè)自然數(shù)去除另一個(gè)自然數(shù)，商為40，余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和是933，求這 2 個(gè)自然數(shù)各是多少？【解析】本題為帶余除法定義式的基本題型。根據(jù)題意設(shè)兩個(gè)自然數(shù)分別為x,y ，可

14、以得到x40 y 16, 解方程組得x856856，21.xy40 16y，即這兩個(gè)自然數(shù)分別是93321【例 3 】(2000 年“祖沖之杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題) 三個(gè)不同的自然數(shù)的和為2001，它們分別除以19,23,31所得的商相同，所得的余數(shù)也相同，這三個(gè)數(shù)是_， _， _ ?！窘馕觥吭O(shè)所得的商為a，除數(shù)為b (19a b) (23ab) (31ab)2001，73a3b，由b 19，2001可求得a27，b 10所以，這三個(gè)數(shù)分別是19a b523，23a b，31a b847。6314最新 料推薦【鞏固】 ( 2004 年福州市“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué) )一個(gè)自然數(shù)，除以11 所得到的商

15、和余數(shù)是相等的，除以9 所得到的商是余數(shù)的3 倍， 個(gè)自然數(shù)是_【解析】 設(shè) 個(gè)自然數(shù)除以11 余 a (0a11) ，除以 9 余 b (0b9) ， 有 11aa93bb ，即 3a7b ，只有 a7， b3 ，所以 個(gè)自然數(shù) 12784?！纠?4 】(1997 年我 數(shù)學(xué)少年數(shù)學(xué)夏令 ) 有 48 本 分 兩 小朋友，已知第二 比第一 多5人如果把 全部分 第一 ，那么每人4 本，有剩余；每人 5 本， 不 如果把 全分 第二 ，那么每人3 本，有剩余；每人4 本， 不 ：第二 有多少人?【解析】由 48 4 12 ， 485 9.6 知，一 是10 或 11 人同理可知48 3 16

16、， 484 12 知，二 是13、 14 或 15 人，因 二 比一 多 5人，所以二 只能是15 人，一 10 人【鞏固】一個(gè)兩位數(shù)除以 13 的商是6，除以 11 所得的余數(shù)是 6，求 個(gè)兩位數(shù)【解析】因 一個(gè)兩位數(shù)除以13 的商是 6，所以 個(gè)兩位數(shù)一定大于 13 678 ，并且小于 13 (6 1)91；又因 個(gè)兩位數(shù)除以11余 6，而 78 除以 11 余 1， 個(gè)兩位數(shù) 78 5 83 【模塊二：三大余數(shù)定理的應(yīng)用】【例 5 】有一個(gè)大于1 的整數(shù)，除45,59,101 所得的余數(shù)相同，求 個(gè)數(shù).【解析】這個(gè) 沒(méi)有告 我 ， 三個(gè)數(shù)除以 個(gè)數(shù)的余數(shù)分 是多少，但是由于所得的余數(shù)相同

17、，根據(jù)同余定理，我 可以得到： 個(gè)數(shù)一定能整除 三個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是 它是任意兩數(shù)差的公 數(shù) 101 45 56 ， 59 45 14， (56,14) 14 ， 14 的 數(shù)有 1,2,7,14 ，所以 個(gè)數(shù)可能 2,7,14 ?！眷柟獭坑幸粋€(gè)整數(shù)，除39,51,147所得的余數(shù)都是3，求 個(gè)數(shù) .【解析】 ( 法 1) 39 336， 147 3144 ， (36,144)12 ， 12 的 數(shù)是 1,2,3,4,6,12，因 余數(shù) 3 要小于除數(shù)， 個(gè)數(shù)是4,6,12 ；( 法 2) 由于所得的余數(shù)相同，得到 個(gè)數(shù)一定能整除 三個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是 它是任意兩數(shù)差的公

18、數(shù)513912 ， 14739108 ， (12,108)12 ，所以 個(gè)數(shù)是4,6,12 【鞏固】在小于 1000 的自然數(shù)中，分 除以18 及 33 所得余數(shù)相同的數(shù)有多少個(gè)?( 余數(shù)可以 0)【解析】 我 知道 18， 33 的最小公倍數(shù) 18 ， 33=198 ，所以每198 個(gè)數(shù)一次1 198 之 只有1， 2， 3， 17， 198( 余 O)這 18 個(gè)數(shù)除以18 及 33 所得的余數(shù)相同，5最新 料推薦而 999 198=5 9，所以共有5 18+9=99 個(gè) 的數(shù)【鞏固】 ( 2008 年仁 考 ) 一個(gè)三位數(shù)除以17 和 19 都有余數(shù)，并且除以17 后所得的商與余數(shù)的和等

19、于它除以 19 后所得到的商與余數(shù)的和那么 的三位數(shù)中最大數(shù)是多少，最小數(shù)是多少？【解析】 設(shè) 個(gè)三位數(shù) s，它除以 17 和 19的商分 a 和 b ，余數(shù)分 m 和 n ， s17am 19b n 根據(jù) 意可知 ambn ，所以 samsbn，即 16a18b，得 8a9b所以 a 是 9的倍數(shù)， b 是 8 的倍數(shù)此 ，由ambn 知 nmaba81aa99由于 s 三位數(shù)，最小 100，最大 999，所以 10017am999 ，而 1m16，所以 17a 1 17a m999 ， 10017am17a16 ，得到 5a58，而 a 是 9 的倍數(shù)，所以 a最小 9，最大 54當(dāng) a5

20、4 ， nm16，而 n18 ，所以 m12 ，故此 s 最大 17 5412930 ；a9當(dāng) a9 ， n11 ，由于 m1，所以此 s最小 1791 154 ma9所以 的三位數(shù)中最大的是930，最小的是 154【例 6 】 兩位自然數(shù) ab 與 ba 除以 7 都余 1，并且 ab ，求 abba 【解析】 abba 能被 7 整除，即 (10ab) （10ba ) 9 （ab）能被7 整除所以只能有 a b 7 ，那么 ab可能 92 和 81， 算可得當(dāng) ab92 ， ba29 足 目要求，abba92292668【鞏固】學(xué)校新 來(lái)118 個(gè) 球， 67 個(gè) 球拍和33 個(gè) 球網(wǎng)，

21、如果將 三種物品平分 每個(gè)班 ，那么 三種物品剩下的數(shù)量相同 學(xué)校共有多少個(gè)班？【解析】 所求班 數(shù)是除以 118,67,33余數(shù)相同的數(shù)那么可知 數(shù) 118 67 51和 67 33 34的公 數(shù)，所求答案 17【鞏固】 ( 2000 年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克 ) 在除 13511，13903 及 14589 能剩下相同余數(shù)的最大整數(shù)是 _ 【解析】 因 為 13903 13511392 , 1458913903686 ，由于 13511， 13903，14589 要被同一個(gè)數(shù)除 ，余數(shù)相同，那么，它 兩兩之差必能被同一個(gè)數(shù)整除 (392,686)98 ，所以所求的最大整數(shù)是98【例 7 】

22、(2003 年南京市少年數(shù)學(xué)智力冬令 )220032的和除以 7 的余數(shù)是 _ 與 2003【解析】 找 律用7 除 2， 22 ， 23 ， 24 ， 25 ， 26 ， 的余數(shù)分 是2， 4，1， 2， 4，1，2，4，1， ,26最新 料推薦的個(gè)數(shù)是3 的倍數(shù)時(shí)，用7 除的余數(shù)為1； 2 的個(gè)數(shù)是3 的倍數(shù)多 1 時(shí)，用7 除的余數(shù)為 2；2 的個(gè)數(shù)是 3 的倍數(shù)多2 時(shí)，用 7 除的余數(shù)為4因?yàn)?2 2003236672 ，所以 22003 除以 7 余 4又兩個(gè)數(shù)的積除以7 的余數(shù)，與兩個(gè)數(shù)分別除以7 所得余數(shù)的積相同而2003 除以 7 余 1，所以 2003 2 除以 7 余 1

23、故 22003 與 20032 的和除以7 的余數(shù)是 4 15 【鞏固】 ( 2004 年南京市少年數(shù)學(xué)智力冬令營(yíng)試題) 在 1995，1998 ，2000，2001， 2003 中，若其中幾個(gè)數(shù)的和被 9 除余 7，則將這幾個(gè)數(shù)歸為一組這樣的數(shù)組共有_組【解析】1995， 1998， 2000 ，2001， 2003 除以 9 的余數(shù)依次是6，0， 2， 3， 5因?yàn)?2 52 5 0 7 ， 2 5 3 6 02 5 3 6 7 9 ，所以這樣的數(shù)組共有下面4 個(gè)：2000,2003 ， 1998,2000,2003，2000,2003,2001,1995， 1998,2000,2003,

24、2001,1995 【例 8 】(2005 年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題) 有一個(gè)整數(shù)，用它去除70， 110， 160 所得到的3 個(gè)余數(shù)之和是 50，那么這個(gè)整數(shù)是 _【解析】(70110160)50 290， 503 16.2，除數(shù)應(yīng)當(dāng)是290 的大于 17 小于 70 的約數(shù)，只可能是 29 和 58， 110581.52， 5250，所以除數(shù)不是5870292，110293.，160295.，12231550，所以除數(shù)是29.122315【鞏固】(2002 年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題) 用自然數(shù) n 去除 63， 91， 129 得到的三個(gè)余數(shù)之和為25，那么 n=_【解析】n 能整除

25、639112925258因?yàn)?53 8.1，所以 n 是 258 大于 8 的約數(shù)顯然， n不能大于 63符合條件的只有43【鞏固】號(hào)碼分別為 101,126,173,193的 4 個(gè)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽, 規(guī)定每?jī)扇吮荣惖谋P(pán)數(shù)是他們號(hào)碼的和被 3除所得的余數(shù) . 那么打球盤(pán)數(shù)最多的運(yùn)動(dòng)員打了多少盤(pán)?【解析】 本題可以體現(xiàn)出加法余數(shù)定理的巧用。計(jì)算101，126， 173， 193 除以 3 的余數(shù)分別為2， 0，2，1。那么任意兩名運(yùn)動(dòng)員的比賽盤(pán)數(shù)只需要用2， 0， 2， 1 兩兩相加除以 3 即可。顯然 126 運(yùn)動(dòng)員打 5 盤(pán)是最多的?！纠?9 】(2002 年小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題

26、) 六名小學(xué)生分別帶著14 元、 17 元、 18 元、 21 元、26 元、 37 元錢(qián)，一起到新華書(shū)店購(gòu)買(mǎi)成語(yǔ)大詞典一看定價(jià)才發(fā)現(xiàn)有5 個(gè)人帶的錢(qián)不夠，但是其中甲、 乙、丙 3 人的錢(qián)湊在一起恰好可買(mǎi)2 本，丁、戊 2 人的錢(qián)湊在一起恰好可買(mǎi)1 本這7最新 料推薦種成語(yǔ)大詞典的定價(jià)是_元【解析】 六名小學(xué)生共帶錢(qián)133 元 133 除以 3 余 1，因?yàn)榧?、乙、丙、丁、戊的錢(qián)恰好能買(mǎi)3 本，所以他們五人帶的錢(qián)數(shù)是3 的倍數(shù)，另一人帶的錢(qián)除以3 余 1易知，這個(gè)錢(qián)數(shù)只能是37 元，所以每本成語(yǔ)大詞典的定價(jià)是(1417182126)332 ( 元)【鞏固】 ( 2000 年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克

27、試題) 商店里有六箱貨物，分別重15，16，18，19，20，31 千克，兩個(gè)顧客買(mǎi)走了其中的五箱已知一個(gè)顧客買(mǎi)的貨物重量是另一個(gè)顧客的2 倍，那么商店剩下的一箱貨物重量是_ 千克【解析】 兩個(gè)顧客買(mǎi)的貨物重量是3 的倍數(shù)(151618192031)(12)119339.2 ，剩下的一箱貨物重量除以3 應(yīng)當(dāng)余 2，只能是20千克【例 10 】求 2461 1356047 11的余數(shù)【解析】 因?yàn)?2461 11 223.8， 135 11 12.3， 6047 11 549.8，根據(jù)同余定理 ( 三 ) ， 2461 135 6047 11的余數(shù)等于 8 3 8 11的余數(shù)，而 8 3 8 1

28、92，192 11 17.5，所以 2461 135 6047 11的余數(shù)為 5【 鞏固】 ( 華羅庚金杯賽模擬試題 ) 求 478 296 351除以 17 的余數(shù)【解析】先求出乘積再求余數(shù)，計(jì)算量較大可先分別計(jì)算出各因數(shù)除以17 的余數(shù)，再求余數(shù)之積除以 17 的余數(shù) 478,296,351 除以 17 的余數(shù)分別為2， 7 和 11， (2711)179.1 【鞏固】 求 31997 的最后兩位數(shù)【解析】 即考慮 31997 除以 100 的余數(shù)由于1004 25，由于 3327 除以 25 余 2，所以 39 除以 25 余 8，10202除以 420203 除以 25 余 24，那么

29、3 除以 25余 1；又因?yàn)?3余 1，則 3 除以 4 余 1；即 31 能被 4和 25 整除，而4 與 25互質(zhì)，所以202031 能被 100 整除，即 3 除以 100 余 1，由于199720 991997176729 除以 100 余17，所以 3 除以100 的余數(shù)即等于 3 除以100 的余數(shù)，而 329， 35243 除以 100余 43，317(36 )2 35 ，所以 317 除以100 的余數(shù)等于 2929 43 除以 100的余數(shù)，而 2929 433616319971997的最后兩位數(shù)為除以 100 余 63，所以 3除以 100 余 63，即 363【鞏固】 2

30、222 除以 13 所得余數(shù)是 _.2000個(gè) 2【解析】 我們發(fā)現(xiàn) 222222 整除 13， 2000 6 余 2，所以答案為22 13 余 9。8最新 料推薦【鞏固】求 14389 除以 7 的余數(shù)【解析】 法一：由于 1433 mod 7(143被 7 除余 3) ，所以14389389 mod 7 (14389 被 7 除所得余數(shù)與389 被 7 除所得余數(shù)相等 )而 36729 ，7291 mod 7（ 729 除以 7 的余數(shù)為 1），所以3893636L3635355 mod 7 1 4 4 24 4314個(gè)故 14389 除以 7 的余數(shù)為 5.法二：計(jì)算 389 被 7 除

31、所得的余數(shù)可以用找規(guī)律的方法，規(guī)律如下表：31323334353637Lmod73264513L于是余數(shù)以 6 為周期變化所以389355 mod7【鞏固】（ 20072222L22002除以 7 的余數(shù)是多少？年實(shí)驗(yàn)中學(xué)考題） 1320012222220022003400510012003 1335 ，而 1001 是 7 的倍數(shù)，【解析】 由于 123 L200120026所以這個(gè)乘積也是7 的倍數(shù)，故222L22除以 7 的余數(shù)是0；12320012002【鞏固】 31303031被 13 除所得的余數(shù)是多少？【解析】 31 被 13 除所得的余數(shù)為 5，當(dāng) n 取 1， 2， 3， L

32、時(shí) 5n 被 13 除所得余數(shù)分別是 5，12， 8，1， 5，12，8，1L以 4 為周期循環(huán)出現(xiàn)， 所以 530 被 13 除的余數(shù)與52 被 13 除的余數(shù)相同， 余 12，則 3130除以 13 的余數(shù)為12；30 被13 除所得的余數(shù)是 4，當(dāng) n 取 1，2，3， L時(shí)， 4n 被 13 除所得的余數(shù)分別是 4，3，12，9，10， 1， 4，3， 12， 9， 10， L L 以 6 為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以431 被 13 除所得的余數(shù)等于 41 被 13除所得的余數(shù)，即4，故 3031 除以 13 的余數(shù)為4；所以31303031被 13 除所得的余數(shù)是 12 4133【鞏固】

33、( 2008 年奧數(shù)網(wǎng)杯 ) 已知 a 20082008L 2008 ，問(wèn)： a 除以 13 所得的余數(shù)是多少？ 1 4 44 2 4 4 432008 個(gè) 2008【解析】 2008 除以 13 余 6，10000 除以 13 余 3，注意到 200820082008 100002008；9最新 料推薦20082008200820082008 100002008；2008200820082008 200820082008 100002008 ；L L根據(jù) 的 推 律求出余數(shù)的 化 律：20082008 除以 13 余 6 3 61311，200820082008 除以 13 余 11 3 6

34、 390 ，即 200820082008是 13 的倍數(shù)而 2008除以 3 余 1，所以 a20082008L2008 除以 13 的余數(shù)與 2008除以 13 的余數(shù)相同， 6.1444 244432008 個(gè) 2008【鞏固】除以 41 的余數(shù)是多少？147772 43771996 個(gè) 7【解析】 找 律： 741 7 ， 77 41 36， 777 41 39， 777741 28，77777 410，所以 77777 是 41 的倍數(shù)， 而 19965 399L177777 可以分，所以 14 2 431996 個(gè) 7成 399 段 77777 和1 個(gè) 7 成，那么它除以41 的余

35、數(shù) 7【鞏固】 11223344L L20052005 除以 10 所得的余數(shù) 多少？【解析】 求 果除以 10的余數(shù)即求其個(gè)位數(shù)字從1 到 2005 這 2005 個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是10 個(gè)一循 的，而 一個(gè)數(shù)的 方的個(gè)位數(shù)，我 知道它 是4 個(gè)一循 的，因此把所有加數(shù)的個(gè)位數(shù)按每20個(gè) (20是 4 和 10的最小公倍數(shù) ) 一 ， 不同 中 的個(gè)位數(shù)字 是一 的首先 算 11223344L L2020 的個(gè)位數(shù)字，為 1476563690163 6 5 6 749 094 的個(gè)位數(shù)字， 4，由于2005 個(gè)加數(shù)共可分成 100 另 5個(gè)數(shù)， 100 的個(gè)位數(shù)字和是4100400 的個(gè)位數(shù)即

36、0，另 外 520012002200320042005， 它 們 和 的 個(gè) 位 數(shù) 字 是個(gè) 數(shù) 為 2001、2002、 2003、 2004、 20051 4 7 6 523的個(gè)位數(shù)3 ，所以原式的個(gè)位數(shù)字是3，即除以10 的余數(shù)是 3【例 11 】求所有的 數(shù)P，使得4 p21 與6 p 21也是 數(shù)【解析】 如果 p5 ， 4 p21101，6 p 21151 都是 數(shù)，所以5 符合 意如果P 不等于 5，那么 P除以 5 的余數(shù) 1、 2、3 或者22222除以 5 的余數(shù)，即4， p 除以 5 的余數(shù)即等于1 、 2 、 3或者41、4、9 或者 16 除以 5 的余數(shù)， 只有

37、1 和 4 兩種情況 如果 p 2 除以 5 的余數(shù) 1，那么 4p 21 除以 5 的余數(shù)等于4 115 除以 5 的余數(shù)， 0，即此 4 p 21 被 5 整除，而4 p 2 1 大于 5，所以此 4 p21 不是 數(shù)； 如果 p2 除以 5 的余數(shù) 4，同理可知 6 p21 不是 數(shù)，所以 P 不等于 5，10最新 料推薦4 p 21 與 6 p21 至少有一個(gè)不是 數(shù)，所以只有p5 足條件【鞏固】 在 表的第二行中，恰好填上8998 十個(gè)數(shù)，使得每一 列上下兩個(gè)因數(shù)的乘 除以11所得的余數(shù)都是 3因數(shù)89909192939495969798【解析】因 兩個(gè)數(shù)的乘 除以 11的余數(shù)，等于

38、因數(shù)兩個(gè)數(shù)分 除以 11 的余數(shù)之 因此原 中的8998可以改 110 ， 上下兩數(shù)的乘 除以11 余 3 就容易 算了我 得到下面的 果：因數(shù)89909192939495969798 而得到本 的答案是：因數(shù)37195621048因89909192939495969798數(shù)因91958997939490989296數(shù)【鞏固】 ( 2000 年“ 杯 ” 試題 )3 個(gè)三位數(shù)乘 的算式abc bca cab234235286( 其中 abc ) ， 在校 ， 右 的 的數(shù)字 序出 ，但是知道最后一位6 是正確的， 原式中的abc 是多少？【解析】 由 于 23423528623 42 3528

39、68(mod9) ， abcbca cab(abc) 3 (mod9)，于是 (ab c)38(mod9)，從而 ( 用 abc0,1,2,.,8(mod9)代入上式 )a bc2,5,8(mod9) (1) ， a 行 ：如果 a9，那么 bc2,5,8(mod9) (2) ，又 ca b 的個(gè)位數(shù)字是6，所以 bc 的個(gè)位數(shù)字 4 ， bc 可能 41 、 72 、 83 、 64 ，其中只有 (b, c)(4,1),(8,3) 符合 (2) ， 只有983 839398328245326 符合 意如果a8，那么 bc3,6,0(mod9) (3) ，又bc的個(gè)位數(shù)字 2 或 7， bc可

40、能 2、3、1 46 2 、 76、 71，其中只有 (b, c)(2,1)符合 (3) ， ，abc821 不合 意如果 a7，那么 bc4,7,1(mod9) (4) ， bc 可能 42、63，其中沒(méi)有符合 (4)的 (b, c) 如果 a6，那么 b5， c 4 ， abcbcacab700 600500210000000222334586 ，因此這時(shí) abc 不可能符合 意 上所述，abc983 是本 唯一的解【例 12 】一個(gè)大于 1 的數(shù)去除290，235，200 ，得余數(shù)分 a ，a2，a 5 ， 個(gè)自然數(shù)是多少？【解析】 根據(jù) 意可知， 個(gè)自然數(shù)去除290，233， 195 ，得到相同的余數(shù)（都 a ）既然余數(shù)相同，我 可以利用余數(shù)定理，可知其中任意兩數(shù)的差除以 個(gè)數(shù)肯定余0那么