1、含參數(shù)的一元二次不等式的解法 解含參數(shù)的一元二次不等式，通常情況下，均需分類討論，那么如何討論呢？對(duì)含參一元二次不等式常用的分類方法有三種： 一、按項(xiàng)的系數(shù)的符號(hào)分類，即;例1 解不等式： 分析：本題二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，故只需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論。 解：解得方程 兩根當(dāng)時(shí),解集為當(dāng)時(shí)，不等式為,解集為當(dāng)時(shí), 解集為 例2 解不等式分析 因?yàn)?，所以我們只要討論二次?xiàng)系數(shù)的正負(fù)。解 當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為二、按判別式的符號(hào)分類，即；例3 解不等式分析 本題中由于的系數(shù)大于0,故只需考慮與根的情況。解： 當(dāng)即時(shí)，解集為；當(dāng)即0時(shí)，解集為；當(dāng)或即,此時(shí)兩根分別為，顯然, 不等式的解集為 例4

2、解不等式 解 因，所以當(dāng)，即時(shí)，解集為；當(dāng)，即時(shí)，解集為；當(dāng)，即時(shí)，解集為R。三、按方程的根的大小來分類，即；例5 解不等式分析：此不等式可以分解為：，故對(duì)應(yīng)的方程必有兩解。本題只需討論兩根的大小即可。解：原不等式可化為：，令，可得：，當(dāng)或時(shí)， ，故原不等式的解集為；當(dāng)或時(shí)，,可得其解集為；當(dāng)或時(shí), ,解集為。例6 解不等式， 分析 此不等式，又不等式可分解為，故只需比較兩根與的大小.解 原不等式可化為：，對(duì)應(yīng)方程的兩根為 ，當(dāng)時(shí)，即，解集為；當(dāng)時(shí)，即，解集為一元二次不等式 參考例題（2）1(1)解不等式 （） (2)不等式的解集為，求的值. （）2解下列關(guān)于的不等式： （1） （2） （3）

3、 （4） （5） （6） 3（1）若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（） （2）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（）4（1）已知， 若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.；（）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.；（）若為僅含有一個(gè)元素的集合，求的值.（） （2）已知，求實(shí)數(shù)的取值范圍. （） (3) 關(guān)于的不等式與的解集依次為與，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍. （） （4）設(shè)全集，集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍. （）（5）已知全集，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（ ） 一元二次不等式及其解法1二次函數(shù)的圖象及性質(zhì):二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是2二次函數(shù)的解析式的三種形式：（一般式）；（零點(diǎn)式）；（頂點(diǎn)式）3一元二次不等式

4、的解法一元二次不等式的解集：設(shè)相應(yīng)的一元二次方程的兩根為，則不等式的解的各種情況如下表： 二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根 無實(shí)根 R 4解一元二次不等式的步驟：(1)將二次項(xiàng)系數(shù)化為“+”：A=0(或0)；(2)計(jì)算判別式，分析不等式的解的情況；(3)寫出解集5討論二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題：(1)注意對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置一般分為三種情況討論，即：對(duì)稱軸在區(qū)間左邊，函數(shù)在此區(qū)間上具有單調(diào)性；對(duì)稱軸在區(qū)間之內(nèi)；對(duì)稱軸在區(qū)間右邊（2）函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性要注意系數(shù)的符號(hào)對(duì)拋物線開口的影響6二次函數(shù)的區(qū)間根的分布情況一般需從三方面考慮：判別式；區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)；對(duì)

5、稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置三、典型例題選講題型1：考查一元二次函數(shù)的性質(zhì)例1 函數(shù)是單調(diào)函數(shù)的充要條件是（ ）A B C D解：函數(shù)的對(duì)稱軸為，函數(shù)）是單調(diào)函數(shù)，故選A歸納小結(jié)：二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是和，結(jié)合開口方向就可得出所需的條件，從而求出的范圍例2 已知二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，截軸上的弦長(zhǎng)為，且過點(diǎn)，求函數(shù)的解析解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，可設(shè)所求函數(shù)為，截軸上的弦長(zhǎng)為，過點(diǎn)和，又過點(diǎn)，解之得，歸納小結(jié)：求二次函數(shù)的解析式一般采用待定系數(shù)法，但要注意根據(jù)已知條件選擇恰當(dāng)?shù)慕馕鍪叫问剑阂话闶?、零點(diǎn)式和頂點(diǎn)式，正確的選擇會(huì)使解題過程得到簡(jiǎn)化題型2：簡(jiǎn)單不等式的求解問題例3 求下列不等式的解集（1）；（2）解

6、法一：因?yàn)樗?，原不等式的解集是解法二：整理，得因?yàn)闊o實(shí)數(shù)解，所以不等式的解集是從而，原不等式的解集是歸納小結(jié)：解一元二次不等式要抓住“三個(gè)二次”的關(guān)系，按照解一元二次不等式的步驟求解，必要時(shí)要畫出二次函數(shù)的圖象進(jìn)行觀察例4 不等式的解集為，求與的值解法一：設(shè)的兩根為、，由韋達(dá)定理得： 由題意得，此時(shí)滿足，解法二：構(gòu)造解集為的一元二次不等式：，即，此不等式與原不等式應(yīng)為同解不等式，故，歸納小結(jié)：此題為一元二次不等式逆向思維題，要使解集為，不等式需滿足條件，的兩根為，在解題時(shí)要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的關(guān)系題型3：含參不等式的求解問題例5 解關(guān)于的不等式證：分以下情況討論(1)當(dāng)時(shí)，

7、原不等式變?yōu)椋?，即不等式的解集?2)當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)椋?當(dāng)時(shí)，式變?yōu)?，不等式的解為或即不等式的解集為；?dāng)時(shí)，式變?yōu)椋?dāng)時(shí)，此時(shí)的解為即不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，此時(shí)的解為當(dāng)時(shí)，即不等式的解集為歸納小結(jié)：解本題要注意分類討論思想的運(yùn)用，關(guān)鍵是要找到分類的標(biāo)準(zhǔn)，就本題來說有三級(jí)分類：分類應(yīng)做到使所給參數(shù)的集合的并集為全集，交集為空集，要做到不重不漏另外，解本題還要注意在討論時(shí)，解一元二次不等式應(yīng)首選做到將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)再求解題型4：一元二次不等式的應(yīng)用例6 （1）已知函數(shù)，則不等式的解集是（ ）A BC D解：依題意得所以，選C（2）若函數(shù)f(x) =的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍為_解：函數(shù)的

8、定義域?yàn)镽，對(duì)一切都有恒成立，即恒成立，成立，即，故選A歸納小結(jié)：解一元二次不等式往往與分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)結(jié)合進(jìn)行綜合考查，一般是借助于函數(shù)的性質(zhì)和圖象進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相應(yīng)一元二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)“三個(gè)二次”之間的緊密聯(lián)系，這也是一元二次不等式的重要考點(diǎn)之一例7 已知函數(shù)的最大值為，求的值解：令，對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，得或（舍去）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，得（舍去）綜上可得，的值為或歸納小結(jié)：令，問題就轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的區(qū)間最值問題，再由對(duì)稱軸與區(qū)間的三種位置關(guān)系的討論就可求得的值此題中要注意的條件例8 設(shè)不

9、等式的解集為，如果，求實(shí)數(shù)的取值范圍？解：有兩種情況：其一是=，此時(shí)0；其二是M，此時(shí)=0或0，分三種情況計(jì)算a的取值范圍設(shè)，有=，當(dāng)0時(shí)，12，=；當(dāng)=0時(shí)，=1或2；當(dāng)=1時(shí)=；當(dāng)=2時(shí)，=當(dāng)0時(shí)，a1或a2設(shè)方程的兩根，且，那么M=，M1x1x24，即解得2，M1，4時(shí)，的取值范圍是(1，)一元二次不等式解法應(yīng)試能力測(cè)試1不等式的解集是( )A B C D2設(shè)集合Mx|0x2，則有MN( )Ax|0x1 Bx|0x2 Cx|0x1 Dx|0x23對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )A1a0 B1a0 C1a0 D1a04不等式的解集為( )Ax|2x2 Bx|x2或x

10、2 Cx|2x2或x6 Dx|x25已知，則AB的非空真子集個(gè)數(shù)為( )A2 B3 C7 D86已知，且ABR，ABx|3x4，則p、q的值為( )Ap3，q4 Bp3，q4 Cp3，q4 Dp3，q47若關(guān)于x的二次不等式的解集是x|7x1，則實(shí)數(shù)m的值是( )A1 B2 C3 D48不等式ax0 Ca0且b0 Db0且a0)的解集是_1 為使周長(zhǎng)為20cm的長(zhǎng)方形面積大于，不大于，它的短邊要取多長(zhǎng)？2 解不等式3解關(guān)于x的不等式(a0)4 k為何值時(shí)，關(guān)于x的不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立參考答案一、1D 2B 3C 4C 5A 提示：因?yàn)锳B3，46A 提示：因Bx|x3，由已知得Ax|1x41，4是的兩根，p3，q47C 8A，提示：因的解為，只有a0且b0時(shí)，axb解為二、1x5 提示：原不等式化為，|x|52x|32，1a2 ，提示：Ax|1x2，Bx|(x1)(xa)0，a24x|xa，提示：原不等式可化為(