1、,不等式、推理與證明,第 六 章,第38講數(shù)學歸納法,欄目導航,一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行： (1)(歸納奠基)證明當n取n0(n0N*)時命題成立； (2)(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN*)時命題成立，證明當nk1時命題也成立,1思維辨析(在括號內(nèi)打“”或“”) (1)用數(shù)學歸納法證明問題時，第一步是驗證當n1時結(jié)論成立() (2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題都必須用數(shù)學歸納法證明() (3)不論是等式還是不等式，用數(shù)學歸納法證明時，由nk到nk1時，項數(shù)都增加了一項() (4)用數(shù)學歸納法證明不等式“12222n22n31”，驗證n1時，左邊式子應(yīng)該為1222

2、23.(),解析 (1)錯誤用數(shù)學歸納法證明問題時，第一步是驗證當n為初始值時結(jié)論成立，不一定是n1. (2)錯誤不一定所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題都必須用數(shù)學歸納法證明 (3)錯誤不論是等式還是不等式，用數(shù)學歸納法證明時，由nk到nk1時，項數(shù)的增加根據(jù)題目而定 (4)正確用數(shù)學歸納法證明等式“12222n22n31”，驗證n1時，左邊式子應(yīng)為122223是正確的,C,3用數(shù)學歸納法證明“12222n12n1(nN*)”的過程中，第二步nk時等式成立，則當nk1時，應(yīng)得到() A12222k22k12k11 B12222k2k12k12k1 C12222k12k12k11 D12222k12k

3、2k11 解析 由條件知，左邊從20,21到2n1都是連續(xù)的，因此當nk1時，左邊應(yīng)為12222k12k，而右邊應(yīng)為2k11.,D,B,5用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除”，當?shù)诙郊僭O(shè)n2k1(kN*)時命題為真，進而需證n_時，命題亦真 解析 因為n為正奇數(shù)，所以與2k1相鄰的下一個奇數(shù)是2k1.,2k1,數(shù)學歸納法證明等式的思路和注意點 (1)思路：用數(shù)學歸納法證明等式問題，要“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是多少 (2)注意點：由nk時等式成立，推出nk1時等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標；二要充分利用歸納假

4、設(shè)，進行合理變形，正確地寫出證明過程，不利用歸納假設(shè)的證明，就不是數(shù)學歸納法,一數(shù)學歸納法證明等式,【例1】 求證：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*) 證明 當n1時，左邊12223，右邊3，等式成立 假設(shè)nk(k1，kN*)時，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1) 當nk1時，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1時，等式也成立由得，等式對任意nN*都成立,二數(shù)學歸納法證明不等式,(1)當遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等

5、式證明時，應(yīng)用其他辦法不容易證明，則可考慮應(yīng)用數(shù)學歸納法 (2)數(shù)學歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk成立，推證nk1時也成立，證明時用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、作差(作商)比較法、放縮法等方法證明,三歸納猜想證明,“歸納猜想證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學歸納法綜合應(yīng)用的解題模式其一般思路是：通過觀察有限個特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學歸納法證明這種方法在解決與正整數(shù)n有關(guān)的探索性問題、存在性問題中有著廣泛的應(yīng)用，其關(guān)鍵是歸納、猜想出公式,3將正整數(shù)作如下分組：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,

6、20,21)，分別計算各組包含的正整數(shù)的和如下，試猜測S1S3S5S2n1的結(jié)果，并用數(shù)學歸納法證明 S11， S2235， S345615， S47891034， S5111213141565， S6161718192021111， ,解析 由題意知，當n1時，S1114；當n2時，S1S31624； 當n3時，S1S3S58134；當n4時，S1S3S5S725644； 猜想：S1S3S5S2n1n4.下面用數(shù)學歸納法證明： 當n1時，S1114，等式成立 假設(shè)當nk(kN*)時等式成立，即S1S3S5S2k1k4， 那么，當nk1時，S1S3S5S2k1S2k1 k4(2k2k1)(2k2k2)(2k2k2k1) k4(2k1)(2k22k1)k44k36k24k1(k1)4， 所以當nk1時，等式也成立 根據(jù)和，可知對于任意的nN*，S1S3S5S2n1n4都成立,4已知函數(shù)f(x)xxln x，數(shù)列an滿足00，故f(x)在x(0,1)時為單調(diào)遞增函數(shù) 下面用數(shù)學歸納法證明：對任意nN*，不等式0a10，且有a2f(a1)a1a1ln a1f(1)1，即0a21，不等式也成