1、第八節(jié)定積分的應(yīng)用平面圖形的面積體積經(jīng)濟(jì)應(yīng)用小結(jié)一、平面圖形的面積1.選x為積分變量yy =f ( x)xoab曲邊梯形的面積bS =f (x)dxacdebbS =-f (x)dx +f (x)dx -f (x)dx=f (x)dxf (x) dxacdeayy =f2 ( x)曲邊梯形的面積bS =fy =bf( x)(x) - f(x)dx1x21aoaA1A3acA2deA4b2.選y為積分變量ydx = j(y)d=j(y)dySxocabcydx = j2 (y)x = j1 (y)d=j1 (y) - j2 (y)dyScocxab例 1 計(jì)算由兩條拋物線y 2 = x 和y =

2、 x 2 所圍成的圖形的面積.,1)解1A =x - x2 )dx(012- x332=x33 0= 1 .3x = y2(1y = x2計(jì)算由曲線y 2= 2 x 和直線y = x - 4所圍例2成的圖形的面積.兩曲線的交點(diǎn)解4 y2 = 2 x (2,-2), (8,4). y = x - 4( y + 4 - 1 y 2 )dy = ( y 2164S =+ 4 y -y) |= 1834-22-2y = x -y2 = 2xx22+ y= 1的面積.例 3求橢圓a2b2解由對(duì)稱(chēng)性知總面積等于4倍第一象限部分面積ba= 4 b 1 pa2 = pab.aA = 4a2- x2dxa40二

3、、體積1、旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓錐圓臺(tái)(1)y = f (x), x = a, x = b圍成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為yy =f ( x)取積分變量為x ，x a, b在a, b上任取小區(qū)間 x, x + dx，oxx + dxx取以dx 為底的窄邊梯形繞x 軸旋轉(zhuǎn)而成的薄dV= p f ( x)2 dx片的體積為體積元素，bV= pf 2 (x)dx旋轉(zhuǎn)體的體積為xay1= f (x), y2= g(x), x = a, x = b圍成圖形繞(2)x軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為bV= p(f 2 (x) - g2 (x)dxxa

4、(3)x = j(y), y = c, y = d圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為dV= pj2 (y)dyydycx = j ( y)coxx1= f(y), x2= j(y), y = c, y = d圍成圖形繞(4)y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為dV= p(f2 (y) - j2 (y)dyyc(5)y = f (x), x = a, x = b, y = 0圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為特殊:f(x)為直線bVy = 2px |f ( x) | dxaf (x)x + Dxxx2y 2+= 1例1求(1)繞x軸,(2)繞y軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)a2b2生的旋轉(zhuǎn)體體積y = ba-aV= py 2dxa2- x2

5、解: (1)繞x軸xa)dx =2pb2a b24p1= 2p02- x2(ax -x) |0323a=ab 32(aa2a2(2)繞y軸a b24pa= 4p0a- xdx =222Vy= 2 2pxab3x | f (x) | dxa20例2求y = x2 , x = y2圍成平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積.1V= p(x)2- (x2 )2 dxx0= 3p111= p(x - xdx = p4x-x |2510251002、平行截面面積為已知的立體的體積如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算.A( x) 表示過(guò)點(diǎn)

6、ox 且垂直于x 軸xx + dxaxbA( x)為x 的已知連續(xù)函數(shù)b的截面面積，立體體積 V=dV= A( x)dx,A( x)dx.a三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用1。已知生產(chǎn)某產(chǎn)品固定成本為c0 ,邊際成本為 C(x)xC(x)dx + c0C(x) =x為產(chǎn)量，則總成本函數(shù)為02。已知銷(xiāo)售某產(chǎn)品的邊際收益為R(x)，x為銷(xiāo)售量，xR(x)dxR(x) =則總收益函數(shù)為0Q(t)3。已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量Q的變化率為，則tQ(x) =Q (t)dtQ(x) =（1）總產(chǎn)量函數(shù)為t2 Q(t)dt0t 到t 時(shí)間內(nèi)的總產(chǎn)量（2）從12t1L(x) ，則4.已知設(shè)利潤(rùn)函數(shù)的變化率為（1）總利潤(rùn)函數(shù)為xL(x)dx

7、 - c0L(x) =0（2）從 產(chǎn)量x1變到x2時(shí)的利潤(rùn)增量為xL(x)dxL(x) =2x1例1設(shè)固定成本為50萬(wàn)元, R(Q) = 100 - 2Q,C(Q) = Q2= 14Q + 11,試確定廠商的最大利潤(rùn)例2某煤礦投資2000萬(wàn)建成,在時(shí)刻t的追加成本為22C(t) = 6 + 2t 3 (百萬(wàn)元/ 年),增加收益為R(t) = 18 - t 3試確定該礦何時(shí)停止生產(chǎn)方可獲最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)為多少?四、小結(jié)求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積.（注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡(jiǎn)化積分運(yùn)算）繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周y旋轉(zhuǎn)體的體積繞 軸旋轉(zhuǎn)一周 繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周平行截面面

8、積為已知的立體的體積6 曲線y = x 2 與它兩條相互垂直的切線所圍成平面圖 形的面積S ，其中一條切線與曲線相切于點(diǎn) A( a , a 2 )，a 0 ，則當(dāng)a = 時(shí)，面積S 最小 .二、求 由下列各曲線所圍成的圖形的面積：1、y = 1 與直線y = x 及x = 2；x2、y = x 2 與直線y = x 及y = 2 x ；3 、 r = 2a ( 2 + cosq)；4、擺線x = a(t - sin t ) , y = a(1 - cos t )(0 t 2p ) 及x 軸；5、r = 3 cosq 及r = 1 + cosq 的公共部分；+ y 3 + 3axy.6、笛卡爾葉

9、形線x 3練 習(xí) 題一、填 空題：1、由 曲線 y = e x , y = e 及y軸所圍成平面區(qū)域的面積是 _ .2、由 曲線y = 3 - x 2 及直線y = 2 x 所圍成平面區(qū)域的面積是 .曲 線 y = x1 - x 2 , y = 1 , x = -1 , x = 1所圍成3、由 平面區(qū)域的面積是_ .4、計(jì) 算y 2 = 2 x 與y = x - 4 所圍的區(qū)域面積時(shí)，選用 作變量較為簡(jiǎn)捷 .5、由 曲線 y = e x , y = e - x 與直線x = 1 所圍成平面區(qū)域的面積是 .三、 求拋物線 y = - x 2 + 4 x - 3 及其在點(diǎn)( 0 ,-3 )和( 3 , 0 )處的切線所圍成的圖形的面積 .四、 求位于曲線 y = e x 下方，該曲線過(guò)原點(diǎn)的切線的左方以及 x 軸上方之間的圖形的面積 .五、 求由拋物線 y 2 = 4ax 與過(guò)焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形面積的最