1、第九節(jié) 曲線與方程（理）,曲線與方程 在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系： (1)曲線上點的坐標都是這個方程的解； (2)以這個方程的解為坐標的點都在曲線上 那么，這個方程叫做 ；這條曲線叫做 ,一、,曲線的方程,方程的,曲線,若曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系中只滿足（2）條會怎樣？,提示：若只滿足“以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點”，則這個方程可能只是部分曲線的方程，而非整個曲線的方程.,二、求動點的軌跡方程的一般步驟 (1)建系建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼?(2)設(shè)點設(shè)軌跡上的任一點P(x，y) (3)列式列出動點P所滿足的關(guān)系

2、式 (4)代換依條件式的特點，選用距離公式、斜率 公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡 (5)證明證明所求方程即為符合條件的動點軌跡 方程,三、曲線的交點 設(shè)曲線C1的方程為F1(x，y)0，曲線C2的方程為F2(x，y) 0，則C1，C2的交點坐標即為方程組的 實數(shù)解，若此方程組 ，則兩曲線無交點,無解,1設(shè)k1，則關(guān)于x，y的方程(1k)x2y2k21表示的曲 線是 () A長軸在y軸上的橢圓 B長軸在x軸上的橢圓 C實軸在y軸上的雙曲線 D實軸在x軸上的雙曲線,解析：原方程可化為 k1，k21 0，k10，方程表示實軸在y軸上的雙曲線,答案：C,2已知點P是直線2xy30上的一個動點，

3、定點M( 1,2)，Q是線段PM延長線上的一點，且|PM|MQ|，則 Q點的軌跡方程是 () A2xy10 B2xy50 C2xy10 D2xy50,解析：設(shè)Q(x，y)，則P為(2x,4y)，代入2xy3 0得2xy50.,答案：D,3已知點F( ，0)，直線l：x ，點B是l上的動點， 過點B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M， 則點M的軌跡是 () A雙曲線 B橢圓 C圓 D拋物線,解析：由已知：|MF|MB|.由拋物線定義知，點M的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線,答案：D,4平面直角坐標系xOy中，若定點A(1,2)與動點P(x，y)滿 足 則點P的軌跡方程是_,解析：

4、設(shè)P(x，y)，由 知x2y4.,答案：x2y4,5平面內(nèi)與定點(1,2)和直線3x4y50的距離相等的 點的軌跡是_,解析：(1,2)在直線3x4y50上， 軌跡是過定點(1,2)且垂直于3x4y50的直線,答案：直線,1直接法：如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何 量的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達， 那么只需把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化成含有數(shù)值的表達式，通過化 簡整理便可得到曲線的方程，這種求曲線方程的方法是 直接法,2用直接法求曲線方程的一般步驟為： (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼?，設(shè)出動點坐標； (2)列出等量關(guān)系； (3)用坐標條件化為方程f(x，y)0； (4)化簡方程； (5)檢驗；

5、 (6)結(jié)論,設(shè)動直線l垂直于x軸，且與橢圓x22y24交于A，B兩點，P是l上滿足 的點，求點P的軌跡 方程,設(shè)點P坐標直接翻譯 即得軌跡方程,【解】設(shè)P點的坐標為(x，y)，則由方程x22y24， 得2y24x2，y A、B兩點的坐標分別為 又 即 又直線l與橢圓交于兩點，2x2， 點P的軌跡方程為,1平面上有三個點A(2，y)，B(0 ， )，C(x，y)若 ，則動點C的軌跡方程為_,解析： y28x.,答案：y28x,1運用解析幾何中一些常用定義(例如圓錐曲線的定義)， 可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出 發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程 2用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是緊扣解

6、析幾何中有關(guān)曲線 的定義，靈活應(yīng)用定義同時用定義法求軌跡方程也是 近幾年來高考的熱點之一,如圖所示，一動圓與圓x2y26x50外切，同時與圓x2y26x910內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線？,利用兩圓的位置關(guān)系相切這一性質(zhì)得到動圓圓心與已知兩圓圓心間的關(guān)系，再從關(guān)系分析滿足何種曲線的定義.,【解】設(shè)動圓圓心為M(x，y)，半徑為R，設(shè)已知圓的圓心分別為O1、O2，將圓的方程分別配方得： (x3)2y24，(x3)2y2100， 當(dāng)動圓與圓O1相外切時，有|O1M|R2， 當(dāng)動圓與圓O2相內(nèi)切時，有|O2M|10R， 將兩式相加，得|O1M|O2M|12|O1O2|，,動圓

7、圓心M(x，y)到點O1(3,0)和O2(3,0)的距離和是常數(shù)12， 所以點M的軌跡是焦點為O1(3,0)、O2(3,0)，長軸長等于12的橢圓， 2c6,2a12，c3，a6， b236927， 圓心軌跡方程為 ，軌跡為橢圓,2本例條件變?yōu)椋阂粍訄A與圓x2y26x50相外切 同時與圓x2y26x80也相外切，問題不變，試 求解,解：設(shè)M(x，y)， |MO1|R2，O1(3,0)，O2(3,0)， |MO2|R1，|MO1|MO2|1， M點的軌跡是以O(shè)1，O2為焦點的雙曲線的右支， 可得方程為,又稱相關(guān)點法，其特點是：動點M(x，y)的坐標取決于已知曲線C上的點(x，y)的坐標，可先用x

8、，y來表示x，y，再代入曲線C的方程，即得點M的軌跡方程,如圖，從雙曲線x2y21上一點Q引直線xy2的垂線，垂足為N，求線段QN的中點P的軌跡方程,設(shè)出點P的坐標，利用代入法進行求解.,【解】設(shè)動點P的坐標為(x，y)，點Q的坐標為(x1，y1)， 則N點的坐標為(2xx1,2yy1) N在直線xy2上， 2xx12yy12. 又PQ垂直于直線xy2， 即xyy1x10， ,、聯(lián)立解得 又點Q在雙曲線x2y21上， 代入，得動點P的軌跡方程是 2x22y22x2y10.,3已知ABC的兩頂點A，B的坐標分別為A(0,0)，B(6,0)， 頂點C在曲線yx23上運動，求 ABC重心的軌跡 方程

9、,解：設(shè)G(x，y)為所求軌跡上任一點，頂點C的坐標為(x，y)，則由重心坐標公式，得 頂點C(x，y)在曲線yx23上， 3y(3x6)23. 即y3(x2)21.,軌跡方程的求法一直是考試的熱點，多考查定義法與直接法求軌跡方程，注意含參數(shù)的曲線方程的討論.2009年寧夏海南卷考查了直接法求軌跡方程并討論曲線形狀有一定的難度.,(2009寧夏海南高考)已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1. (1)求橢圓C的方程； (2)若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點， ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么 曲線,解(1)設(shè)橢

10、圓長半軸長及半焦距分別為a，c， 由已知得 解得a4，c3. 所以橢圓C的標準方程為,(2)設(shè)M(x，y)，其中x4,4 由已知 及點P在橢圓C上可得 整理得(1629)x2162y2112， 其中x4,4, 時，化簡得9y2112. 所以點M的軌跡方程為y (4 x4)，軌跡是兩條平行于x軸的線段 時，方程變形為,其中x4,4 當(dāng)0 時，點M的軌跡為中心在原點，實軸在y軸上的雙曲線滿足4x4的部分； 當(dāng) 1時，點M的軌跡為中心在原點，長軸在x軸上的橢圓滿足4x4的部分； 當(dāng)1時，點M的軌跡為中心在原點，長軸在x軸上的 橢圓,第(2)問易出錯，是弄錯點的坐標之間的關(guān)系求錯軌跡方程是求出軌跡方程后忽視了對軌跡范圍的限制，導(dǎo)致在分類說明軌跡時擴大了范圍是在分類討論方程(1