1、2011-2012 學年第一學期概率論與數(shù)理統(tǒng)計（多概）期末考試試題（A 卷）參考答案及評分標準天津科技大學 2011-2012 學年第一學期概率論與數(shù)理統(tǒng)計（多概）期末考試試題（A 卷）參考答案及評分標準一、填空題（共 21 分，每小題 3 分）1. 設(shè) A、B 是兩個隨機事件，若 P( A) = 0.5、P( A - B) = 0.2 ，則 P( AB) =0.7.2. 若隨機變量 X 服從泊松分布 P(2) ，則概率 P( X 1) =1 - 3e-2 0.5940.-x1e4則 P(4 X 0x 00，4.若隨機變量 X 的概率分布列為則 E( X 2 ) = 37/12 5. 若隨機

2、變量 X與 Y 滿足D( X ) = D(Y ) = 1，且相關(guān)系數(shù) R( X，Y ) = -1，則 D(3X + 2Y ) =7 _.26.設(shè) X1，X2，X3，X4 是來自總體 X 的樣本，若 m = q ( X1 + 2 X 2+ X 3 + X 4 ) 是總體均值m 的一個無偏估計，則q =1/5 .7. 在假設(shè)檢驗中，當原假設(shè) H0 為真時拒絕 H0 ，這類錯誤稱為第一類錯誤（或棄真錯誤）.二、單項選擇題（共 15 分，每小題 3 分）1. 設(shè)每次試驗成功的概率都為 p (0 p 1) ，現(xiàn)在獨立地進行 10 次這樣的試驗，記 X 為試驗成功的次數(shù)，則 P( X = 4) = （C）

3、.(A)p4 (1 - p)6(B)p6 (1 - p)4(C)C 4 p4(1 - p)6(D) C4 p6 (1 - p)41010sin x， x 0，A則 A = ( B2. 若隨機變量 X 的概率密度為 f (x) = x 0，A).0，(A)p / 4(B) p / 2(C) p(D) 3p / 23若隨機變量 X 的分布函數(shù)為 F(x) ，則隨機變量Y = 3X + 1 的分布函數(shù)為（A ）.(A) F(y -1)(B)F(3y +1)312011-2012 學年第一學期概率論與數(shù)理統(tǒng)計（多概）期末考試試題（A 卷）參考答案及評分標準(C) 3F( y) +1(D)1F( y)

4、+1334若隨機變量 X 的概率密度為 f (x) =1e-( x+3)24，則服從標準正態(tài)分布的隨機變量是2p（ B ）.（A）X + 3（B）X+3（C）X - 3（D）X-322225 設(shè)隨機變量 X t(n) ，則隨機變量Y= X 2 （D）.（A） c 2 (n)（B） F(n，n)（C） F(n，1)（D） F(1，n)三、某燈泡廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線，它們各自出產(chǎn)的燈泡中壽命大于 2500 小時的分別占有80%和 90%，從它們出產(chǎn)的燈泡中各自隨機地抽取一個，（1）求兩個燈泡壽命都大于 2500 小時的概率；（2）求兩個燈泡中至少有一個壽命大于 2500 小時的概率.（本題 8 分

5、）解：用 A, B 分別表示從甲、乙兩個流水線上的產(chǎn)品中抽取的燈泡壽命大于 2500 小時，則它們相互獨立. 2 分(1) P( AB) 3 分 = P( A)P(B) 4 分 = 0.8 0.9 = 0.72 ；5 分(2) P( A B) 6 分 = P( A) + P(B) - P( AB) 7 分= 0.8 + 0.9 - 0.72 = 0.98 . 8 分四、若連續(xù)型隨機變量 X 的分布函數(shù) F(x) = A + B arctan x (x +) ，（1）求 A、B 的值；（2）求概率密度 f (x) ；（3）求 P(x 1) .（本題 8 分）解：（1）由連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)的

6、性質(zhì)， lim F(x) = A - pB / 2 = 03 分有x-= A + pB / 2 = 1， lim F(x)x+解得 A =1, B =1，于是 F ( x ) =1+1arctan x ； 3 分22pp（2）由于在F(x)的可導點F (x) = f (x)，得隨機變量X的概率密度為f (x) =1（x + ）； 5 分p (1 + x2 )22011-2012 學年第一學期概率論與數(shù)理統(tǒng)計（多概）期末考試試題（A 卷）參考答案及評分標準（3） P( x 1) = -11 f (x)dx 7 分11dx111pp1= -1=arctan x-1=(+) =.8 分p1 + x2

7、pp442或 P( x 1) = F(1) - F(-1) 7 分 = p1 p4 - (- p4 ) = 12 . 8 分五、若二維隨機變量( X，Y ) 的聯(lián)合概率密度為kxy， 0 x y 1f (x，y) = 0，其它，（1）求k 值；（2）求概率 P( X + Y 1) .（本題 8 分）解：（1）由1 = -+dx -+ f (x, y)dy 2 分= k 01dx x1 xydy = k8 ，得k = 8 ；4 分（2） P( X + Y 1) = f (x, y)dxdy 5 分x+ y1= 11/ 2 dy 1y- y 8xydx 7 分 = 4 11/ 2 (2 y 2 -

8、 y)dy = 56 . 8 分x，0 x 1，1 90) = 1 - P( X 90) 2 分 = 1 - F(90 - 75) 1 - F(1.67) 5 分9= 1 - 0.9525 = 0.0475 ，7 分即數(shù)學成績“優(yōu)秀”的學生大致占總?cè)藬?shù)的4.75% . 8 分32011-2012 學年第一學期概率論與數(shù)理統(tǒng)計（多概）期末考試試題（A 卷）參考答案及評分標準八、某供電站供應 10000 戶居民用電，設(shè)在用電高峰時每戶用電的概率都為 0.8，且每戶是否用電是相互獨立的，求在同一時刻有 8100 戶以上用電的概率（本題 8 分）解：用 X n 表示 10000 戶居民中在同一時刻用電

9、的戶數(shù)，則 X n B(10000，0.8) ，2 分于是np = 10000 0.8 = 8000 ，np(1 - p)=8000 0.2= 40 .3 分所求概率為P(8100 X n 10000) =P(8100 - 8000X n - np10000 - 8000)5 分4040np(1 - p)X n- np= P(2.5 50) F(50) - F(2.5)7 分 1- 0.9938 = 0.0062 .8 分np(1 - p)九、某種蝦的身長 X （單位：cm）服從正態(tài)分布 N(m，s 2 ) ，現(xiàn)在隨機抽取 9 只，算得平均身長為 x = 6 （cm），樣本標準差 s = 0.

10、5745 (cm)，求 m 的置信水平為0.95 的置信區(qū)間（本題 8 分）解：由于s 未知，故 m 的置信區(qū)間為(x - s tan/ 2 ，x + s tan/ 2 ) ，3 分而 a = 0.05 ，n = 9 ，查t 分布表得t0.025 = 2.31 5 分，又 x = 6，s = 0.5745 ，所以所求置信區(qū)間為（6 -2.31 0.5745, 6+2.31 0.5745），7 分33即（5.5576，6.4424）. 8 分十、某車間生產(chǎn)鋼絲的折斷力 X （單位：N）服從正態(tài)分布現(xiàn)從某天的產(chǎn)品中隨機抽取 9根檢測折斷力，算得平均折斷力為 x = 575 （N），樣本方差 s2 = 72 ，問可否據(jù)此相信該車間這天生產(chǎn)的鋼絲的折斷力的方差為64 ？（取顯著性水平a = 0.05 ）（本題 8 分）解：由已知要檢驗的假設(shè)是 H ：s 2= s 2= 64，H ：s 2 64 ， 1 分001由于總體均值未知，故選取檢驗統(tǒng)計量 c 2 = (n -1)S 2 ，3 分s 02當 H0 成立時， c 2 c 2 (n -1) ，4 分由已知條件計算可得統(tǒng)計量 c 2 的觀測值 c 2 = (9 - 1) 72 = 9 ，5 分6442011-2012 學年第一學期概率論與數(shù)理統(tǒng)計（多概）期末考試試題（A 卷）參考答案及評分標準查表得 c12-a / 2 (n