中國(guó) 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號(hào) ) 圓錐曲線 內(nèi)接 直角三角形 的性質(zhì) 圓錐曲線 的 弦過(guò)定點(diǎn)的母題 由圓內(nèi)接直角三角形的斜邊恒過(guò)定點(diǎn) (圓心 ),可類比猜 測(cè) 圓錐曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊恒過(guò)定點(diǎn) ;利用構(gòu)造 二 次 齊次方程 的方法易證 猜 測(cè) 正確 ,該 猜 測(cè) 是生成一類高考試題的母題 . 母題結(jié)構(gòu) :過(guò)圓錐曲線 G 上任意一點(diǎn) P(x0,兩條互相垂直的直線 別交圓錐曲線于 A、 B 兩點(diǎn) ,求證 :直線 當(dāng) 曲線 :px(p0)時(shí) ,直線 點(diǎn) M(p, 當(dāng) 曲線 圓 G:222(ab 0)時(shí) ,直線 過(guò) 定 點(diǎn) M(2222ba 2222ba 當(dāng) 曲線 G 是 雙曲線 G:22(a0,b0)時(shí) ,直線 過(guò) 定 點(diǎn) M(2222ba 2222ba 母題 解 析 :僅證 :設(shè) 直線 AB:y=kx+m,則 k(m+1=00 00)()( ; 由222,22020 b2(+a2(=2 b2(+a2(=2( b2(+a2(=-2 b2(+a2(+00022 (k(+00022 (-k(=0 a2(m+00 )2+2(0 +b2(0;由 k=20 00 =m=直線 AB:y=k(2222ba 直線 過(guò) 定 點(diǎn) M(2222ba 2222ba 同理可證 . 子題類型 :(2005 年山東高考試題 )己知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn) (2p,0),且與直線 x=其中 p0. ( )求動(dòng)圓圓心的軌跡 C 的方程 ; ( )設(shè) A、 B 是軌跡 C 上異于原 點(diǎn) O 的兩個(gè)不同點(diǎn) ,直線 傾斜角分別為和 ,當(dāng)、變化且 +為定值(00); ( )設(shè) A(x1,B(x2,直線 AB:y=kx+m,則 1122由 + )= (11122(122又由 y=kx+m與 px( m(2 11221122 (1- m=2 直線 AB:y=k(x+2p)+2恒過(guò)定點(diǎn) (. 0)x=評(píng) :對(duì) 于拋物線 G:px(p0)上的定點(diǎn) P(x0,兩動(dòng)點(diǎn) A,B,當(dāng) 時(shí) ,直線 定點(diǎn) M(當(dāng) ( 0)時(shí) ,直線 定點(diǎn) M(2y, 子題類型 :(2007年山東高考試題 )己知橢圓 心在 原點(diǎn) ,焦點(diǎn)在 橢圓 小值為 1.( )求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程 ; ( )若直線 l:y=kx+m 與橢圓 、 B 兩點(diǎn) (A、 B 不是左右頂點(diǎn) ),且以 直徑的圓過(guò)橢圓 C 的右頂點(diǎn) 直線l 過(guò)定點(diǎn) ,并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo) . 解析 :( )設(shè) 橢圓 C:222(ab0),則 a+c=3, a=2,c=1 橢圓 C:42x+32y=1; ( )由 右頂點(diǎn) N(2,0),直線 l:y=kx+m y=k(m+2k 1=km )2( ;橢圓 C:32 3(+42(0 3(+42(km )2( =0 4(2+122xy+km 63 =0;由 以 的右頂點(diǎn) N 1)2(4 63 km =m=直線 l:y=k(定點(diǎn) (72,0). 點(diǎn)評(píng) :對(duì)于橢圓 G:222(ab0)上的定點(diǎn) P(x0,兩動(dòng)點(diǎn) A,B,當(dāng) (22 ,直線 定點(diǎn) M(2222ba 2222ba 當(dāng) ( 0)時(shí) ,直線 定點(diǎn) M(2y,222 接直角三角形 子題類型 :(2009 年全 國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 陜西 初賽 試題 )如圖 ,已知兩點(diǎn) A(- 5 ,0), B( 5 ,0), 內(nèi)切圓的圓心在直線 x=2 上移動(dòng) . ( )求點(diǎn) C 的軌跡方程 ; ( )過(guò)點(diǎn) M(2,0)作兩條射線 ,分別交 ( )中所求軌跡于 P,且 0,求證 :直線 過(guò)定點(diǎn) . 解析 :( )如圖 ,設(shè) 切圓分別在 C,的切點(diǎn)為 G,F,E,由切線長(zhǎng)定理知 ,|=| |42); ( )設(shè) P(x1,Q(x2,直線 PQ:y=k(m(m 0) 11xy,22=2( ;由 (4(0 (2( =0 4(2021122xy= 02112211 m=直線 PQ:y=k(定點(diǎn) (310,0). 點(diǎn)評(píng) :對(duì)于 雙曲線 G:22(a0,b0)上的定點(diǎn) P(x0,兩動(dòng)點(diǎn) A,B,當(dāng) (22 ,直線 M(2222ba 2222ba 當(dāng) ( 0)時(shí) ,直線 定點(diǎn) M(2y,222 1.(2005 年 山東 高考 文科 試題 )己知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn) (2p,0),且與直線 x=其中 p0. ( )求動(dòng)圓圓心的軌跡 C 的方程 ; ( )設(shè) A、 B 是軌跡 C 上異于原點(diǎn) O 的兩個(gè)不同點(diǎn) ,直線 傾斜角分別為和 ,當(dāng)、變化且 + =4時(shí) ,證明 :直線 過(guò)定點(diǎn) ,并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo) . 2.(2009 年全 國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 河南 初賽 試題 )已知拋物線 C:x,以 M(1,2)為直角頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接直角三角形 )求證 :直線 定點(diǎn) ; ( )過(guò)點(diǎn) M 作 垂線交 點(diǎn) N,求點(diǎn) N 的軌跡方程 . ( )由 ( )知 ,點(diǎn) N 的軌跡是 以 直徑的圓 (除去點(diǎn) (1,2 ),其方程為 (+(x 1). 3.(1999 年 全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 試 題 )已知點(diǎn) A(1,2),過(guò)點(diǎn) (5,2)的直線與拋物線 x 交于另外兩點(diǎn) B,C,那么 , ( ) (A)銳角三角形 (B)鈍角三角形 (C)直角三角形 (D)答案不確定 4.(2012 年 第三屆世界數(shù)學(xué)錦標(biāo)賽 (青年組 )試 題 )已知拋物線 y=(1,1)、 B、 C,滿足 外接圓面積的最小值 . ( )如圖 ,設(shè)動(dòng)圓圓心為 M,點(diǎn) F(2p,0),過(guò)點(diǎn) M 作直線 l:x=垂足為 N,則 | | 點(diǎn) M 的軌跡 是以點(diǎn) F 為焦點(diǎn) ,l 為準(zhǔn)線 的 拋物線 ,方程為 px(p0); ( )設(shè) A(x1,B(x2,直線 AB:y=kx+m,則 1122由 + )= 11122(122又由 y=kx+m 與 px(y m(11221122 1- m=2p 直線 AB:y=k(x+2p)+2p恒過(guò)定 點(diǎn) (p). ( )設(shè) 直線 AB:k(m(m 0) 1=m 1()2( ;由 x (-4(4(0 (-4( m 1()2( +4(m 1()2( =0 (m+4)(12-4(k+1)12k=0441 m=直線 AB:y+ 2=k(定點(diǎn) T(5, 設(shè) 直線 BC:k(m,則 m=m 1()2( ;由 x (-4(4(0 (-4( m 1()2( +4(m 1()2( =0 2-4(k+1)12k=0 (C). 設(shè) B(t,C(a,則 (因 0 (0 (t 1,a) a+1)t+