中國(guó) 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號(hào) ) 愿與您共建真實(shí)的中國(guó)高考數(shù)學(xué)母題 (楊培明 利用定積分思想 證明數(shù)列和型 不等式 的 新路 證明“不等式ni (0,則 :若 f(x)為 單調(diào) 遞減 的 凹 函 數(shù) ,則對(duì)任 意的 n 1,有 11 )(n 曲邊梯形 f(k), 1 )(kk ni ii )(= 11 )(n 理可證 可 得到凸 函數(shù) 的有關(guān)結(jié)論 . 子題類型 :(2012 年天津高考試題 )已知函數(shù) f(x)=x+a)的最小值為 0,其中 a0. ( )求 a 的值 ; ( )若對(duì)任意的 x 0,+ ),有 f(x) 求實(shí)數(shù) k 的最小值 ; ( )證明 : ni 22n+1)0;又因 f(x) ln(x+1)(函數(shù) y=y=ln(x+1)均過(guò)點(diǎn) O(0,0),只需函數(shù) y=0,單調(diào)遞增的速度不大于 y=ln(x+1)的單調(diào)遞增速度 ) 當(dāng) x (0, ,11x 當(dāng) x (0, ,2k(x+1) 1 2k 1 21; ( )令 g(x)=122x,則 g(x)在 (1,+ )上恒為正 ,且是單調(diào)遞 減 的 凹 函數(shù) ni 22=2+ ni 220; f(x)的單調(diào)性 ; f(x)的凸凹性 ;其 f(x)凸凹性的判定是關(guān)鍵 ,對(duì)于簡(jiǎn)單的函數(shù)可利用其圖像判定其凸凹性 . 子題類型 :(2011 年 四川 高考試題 )已知 函數(shù) f(x)=32x+21,h(x)= x . ( )設(shè)函數(shù) F(x)=f(x)-h(x),求 F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值 ; () 設(shè) a R,解關(guān)于 x 的方程 ;3f(43= () 試比較 f(100)h(100)-1001 )(k 解析 :( )由 F (x)=32F(x)的 遞減 區(qū)間 是 (0,169 ),遞增 區(qū)間 是 (169 ,+ ),F(x)的極 小 值 F(169 )=81 ; () 由 3f(43= a+4=0 當(dāng) 45 時(shí) ,無(wú)解 ; () 由 h(x)= x 在 (0,+ )上恒為正 ,且是單調(diào) 遞增 的 凹 函數(shù) 1001 )(k 0123 61. 點(diǎn)評(píng) :通過(guò) 利用 黎曼和 子題類型 :(2003年 江蘇 高考試題 )設(shè) a0,如圖 ,己知直線 l:y=:y=上的點(diǎn) 0)的圖像在點(diǎn) (1,f(1)處的切線方程為 y=( )用 a 表示出 b,c; ( )若 f(x) 1,+ )上恒成立 ,求 a 的取值范圍 ; ( )證明 :1+21+31+ +n1ln(n+1)+)1(2 nn(n 1). 2.(2014年 陜西 高考試題 )設(shè)函數(shù) f(x)=+x),g(x)=(x),x 0,其中 f (x)是 f(x)的導(dǎo)函數(shù) . ( )令 g1(x)=g(x),(x)=g(gn(x),n N+,求 gn(x)的表達(dá)式 ; ( )若 f(x) ag(x)恒成立 ,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 ; ( )設(shè) n N+,比較 g(1)+g(2)+ +g(n)與 n)的大小 ,并加以證明 . 3.(2004年復(fù)旦大學(xué)自主招生試題 )求證 :1+221+331+ +g(x)在 (1,)上遞減 g(x)1+21+ 13 )(n +21+13n= 1+21+ln(n+1)ln(n+1)+23ln(n+1)+)1(2 ( )由 g(x)=(x 0),用數(shù)學(xué)歸納可證明 :gn(x)=;( )設(shè) h(x)=f(x)x)(x 0),則 h (x)=x11( h (0) 0 a 1;當(dāng) a 1 時(shí) ,h (x)=2)1( 1x 0 h(x) h(0)=a 的取值范圍是 (- ,1; ( )由 g(x)=在 0,+ )上恒大于零且單調(diào) 遞增 的 凸 函數(shù) g(1)+g(2)+ +g(n)n (= n 111(=x+ 1)|n0=n+1)=n). 令 f(x)= f(x)在 1,+ )上恒大于零且單調(diào)遞減 的 凹 函數(shù) 1+221+331+ + ,令函數(shù) f(x)=1211,+ )上恒大于零且單調(diào)遞減 的 凹 函數(shù) nk k 1=21+ nk k 1 11 )(n 1x| 11n =2122 nn=22 ( nk k 1)原不等式成立 . 令 xi=ni,f(x)= 21 x (0 x 1),則 )1(1 n+2)2(1 n+ +2)1(1 =(f( (f( +(f(+2)1(1 n+2)2(1 n+ +2)1(1 =(f(0)+(f(f(+(f(所以 ,)1(1 n+2)2(1 n+ +2)1(1 a+2)1(1 n+2)2(1 n+ +2)1(1 )1(1 n+2)2(1 n+ +2)1(1 ba (+2)1(1 n