黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系 關(guān)鍵詞 ： 黎曼積分，勒貝格積分，區(qū)別，聯(lián)系 微積分 勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系 摘 要 本文從微積分的發(fā)展過(guò)程出發(fā)引出了我們已知的黎曼積分，盡管黎曼積分的理論比較完備，但在考慮某些問(wèn)題時(shí)，我們看到了黎曼積分的局限性，并通過(guò)具體的例子給予了說(shuō)明于是就有了改造黎曼積分的必要性，從而提出了勒貝格積分本文的中心任務(wù)就是從我們已學(xué)過(guò)的黎曼積分和勒貝格積分的知識(shí)來(lái)探討和歸納出兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系，通過(guò)具體比較兩者的定義，存在的條件，黎曼積分和勒貝格積分的性質(zhì)、黎 曼可積函數(shù)類和勒貝格可積函數(shù)類、以及與黎曼積分和勒貝格積分相關(guān)的一些定理，并進(jìn)一步用具體的例子來(lái)說(shuō)明勒貝格積分使一些黎曼積分難以解決的問(wèn)題變得迎刃而解，最后總結(jié)兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系并順便指出，勒貝格積分是黎曼積分的推廣，但非黎曼反常積分的推廣 學(xué)畢業(yè)論文 i 目 錄 第 一章 緒 論 . 1 1 積分的發(fā)展史 . 1 1 曼積分和勒貝格積分的引入 . 1 第二章 黎曼積分和勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系 . 5 2 曼積分和勒貝格積分的定義的比較 . 5 2 曼積分和勒貝格積分的存在條件的比較 . 8 2 曼積分和勒貝格積分的性質(zhì)的比較 . 9 2 曼積分函數(shù)類與勒貝格積分函數(shù)類 . 12 2 黎曼積分和勒貝格積分相關(guān)的一些定理的比較 . 12 第三章 實(shí)例 . 15 第四章 總結(jié)和展望 . 16 4 文總結(jié) . 16 4 展望 . 17 參考文獻(xiàn) . 18 致 謝 . 19 學(xué)畢業(yè)論文 1 第一章 緒 論 1積分的發(fā)展史 積分學(xué)的歷史很早，它起源于求積問(wèn)題，早在古代人們就著手計(jì)算由曲邊圍成的圖形的面積我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽力求單位圓的面積，他的方法是用許多不重疊的三角形來(lái)擬合圖形，由于時(shí)代的限制他不能克服“無(wú)窮運(yùn)算”的困難古希臘時(shí)代的窮竭法、中國(guó)的割圓術(shù)和祖暅定理都是早期的積分學(xué)關(guān)于積分的理解因?yàn)槭裁词菬o(wú)窮小，什么是不可分量而遇到困擾古代的窮竭法也只能用于最簡(jiǎn)單的曲線所成圖形的面積如卡瓦列里用數(shù)列求和方法實(shí)際上得到不定積分11 1d x x ，但牛頓將微分學(xué)的思想用到積分問(wèn)題上，看到了積分運(yùn)算是微分運(yùn)算在某種意義下的逆運(yùn)算，也就發(fā)展了不定積分的思想，萊布尼茲主要從定積分思想看出了積分運(yùn)算是微分運(yùn)算的逆總之得到了現(xiàn)在的牛頓 萊布尼茲公式，即設(shè)如果 它一定也是原函數(shù)，且任意兩原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)，所以 ba f x d x F b F a 此公式重要性在于計(jì)算積分再也不用用古希臘的窮竭法那么冗長(zhǎng)了，而有了系統(tǒng)的處理方法因此微積分成了真正可以應(yīng)用的理論了，上述公式被成為微積分基本定理，在當(dāng)時(shí)，積分的概念并不清楚，而且他們遇到的函數(shù)無(wú)非是些簡(jiǎn)單的初等函數(shù)，到柯西發(fā)表他的著名的幾本教科書后也就有了現(xiàn)時(shí)我們所了解的積分理論，現(xiàn)在稱這種積分為黎曼積分其實(shí)應(yīng)該稱為柯西積分 1曼積分和勒貝格積分的引入 柯西積分的對(duì)象是連續(xù)函數(shù)的積分，當(dāng)然許可 ()包括了現(xiàn)在所說(shuō)的反常積分而黎曼考慮的對(duì)象是使得積分和極限存在的函數(shù)類，或如達(dá)布所說(shuō)的上下積分相等也就所謂的黎曼可積類黎曼可積函數(shù)許可更多的不連續(xù)點(diǎn)，極大的擴(kuò)充了可積函數(shù)類現(xiàn)在我們知道()是還要研究具有不連 續(xù)點(diǎn)的函數(shù)，這在數(shù)學(xué)上是十分重要的，一個(gè)直接的來(lái)源是傅立葉級(jí)數(shù)的研究，許多物理問(wèn)題都導(dǎo)致不連續(xù)的傅立葉級(jí)數(shù)問(wèn)勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系 2 題處理這類問(wèn)題需要更有力更細(xì)致的數(shù)學(xué)工具因此積分理論特別是他的發(fā)展在數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)格性方面要求更高，如：當(dāng)僅 ()積分基本定理的證明有了困難而現(xiàn)在通用的證明方法應(yīng)用了微積分中值定理，但其中假設(shè)了 ()布提出了以下的證明 達(dá)布定理： 設(shè) () ,上可積， () ,處處有導(dǎo)數(shù) ()即 F x f x 則有 ( ) ( ) ( )ba f x d x F b F a （ 1） 證明： 作 ,一個(gè)分劃01 na x x x b ， 所以 110( ) ( ) ( ) ( ) b F a F x F x ， 又由拉格朗日中值定理可得，存在1 , i i ie x x ，使得 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i i iF x F x F e x x f e x x 所以 110( ) ( ) ( ) ( )ni i b F a f e x x 由于 () ,可積，因此當(dāng)上述分劃無(wú)限加細(xì)時(shí)，右邊的極限即為 ()ba f x 所以 上述證明在當(dāng) () ( ) ( )F x f x 在有限多個(gè)點(diǎn)上不成立時(shí)也是有效的，只是將這有限多個(gè)點(diǎn)列入分點(diǎn)之內(nèi)即可 上述證明雖然很簡(jiǎn)單，易理解，但并未解決問(wèn)題因?yàn)槔杪煞e函數(shù)只是幾乎處處連續(xù)，而將所有不連續(xù)點(diǎn)均歸入分點(diǎn)之內(nèi)是辦不到的 另一個(gè)例子是關(guān)于二重積分化為累次積分的問(wèn)題，設(shè) ( , )f x y 在長(zhǎng)方形區(qū)域 R ： ,a x b c ( , )f x y 必連續(xù)有著名的富比尼定理成立即 ( , ) ( , ) ( , )b d d ba c c x y d x d y d x f x y d y d y f x y d x ， （ 2） 關(guān)鍵在于若 ( , )f x y 對(duì) ( , )續(xù)，則對(duì)于固定的 x ， ( , )f x y 是 y 的連續(xù)函數(shù)，因此 ( , )dc f x y 存在且作為一個(gè)含參變量的積分，它是 x 的連續(xù)函數(shù)，而 ( , )x f x y d y是有意義的，因此上式是很自然的結(jié)果但若 ( , )f x y 只是黎曼可積時(shí)，則對(duì)于固定的 x ， ( , )f x y 是否為 y 的黎曼可積函數(shù)甚學(xué)畢業(yè)論文 3 至是否對(duì)幾乎所有 x ， ( , )f x y 是否為 y 的黎曼可積函數(shù)均是個(gè)問(wèn)題，因此 ( , )dc f x y 一定有意義，但上下積分仍有意義，因此 ( , )f x y 關(guān)于黎曼可積的的二重積 分，富比尼定理為：若 ( , )f x y 是 ( , ) 中的可積函數(shù)，則有 ( , ) ( , ) ( , ) d b d bc a c x y d x d y d y f x y d x d y f x y d x、 ( , ) ( , ) b d b da c a cd x f x y d y d x f x y d y （ 3） 此式的意思為內(nèi)層的上下積分均是參數(shù)的黎曼可積函數(shù)，而且其積分就等于二重積分，記 ( ) , , 0x f x y d y f x y d y ， () , 也是黎曼可積的，且有 ( ) 0 x ，則由此是否可得到至少幾乎處處有 ( ) 0？即 ( , )dc f x y 幾乎所有的 x 均存在，則（ 3）式就變?yōu)椋?2）式了但是若一個(gè)非負(fù)黎曼可積函數(shù)積分為 0，則此函數(shù)幾乎處處為 0，這證明很難的，而對(duì)勒貝格可積函數(shù)，（ 3）式結(jié)果是成立的在黎曼積分中 重積分化為累次積分所要求的條件比勒貝格積分理論中要多，從副比尼定理中可知只要重積分存在，它就和兩個(gè)累次積分相等，這是勒貝格積分的另一成功之處 從上述兩例子可看出，黎曼積分雖然比較簡(jiǎn)單，但一旦要考慮可能在一個(gè)零測(cè)度集上不連續(xù)的黎曼可積函數(shù)一些本來(lái)很自然的結(jié)果變得很難證明了，甚至可能不成立，尤其是不能在積分號(hào)下求極限，故黎曼可積函數(shù)類缺乏完備性，有其內(nèi)在的局限性 隨著微積分學(xué)的發(fā)展，人們?cè)诶美杪e分時(shí)，感到它有很大的局限性，這要從黎曼積分的起源說(shuō)起，我們知道黎曼積分的思想方法是“分割，近似求和，取極限”第 一個(gè)提出分割區(qū)間做和式極限嚴(yán)格定義積分的是柯西他考察的積分對(duì)象是 ,上的連續(xù)函數(shù)，因此黎曼積分在處理諸于逐段連續(xù)的函數(shù)以及一致收斂的級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)是足夠的然而隨著集合論的一系列工作的創(chuàng)始，出現(xiàn)一些“病態(tài)”函數(shù)，在研究它們的可積性時(shí)黎曼積分理論面臨了新的挑戰(zhàn)特別是考慮可積函數(shù)的連續(xù)性和極限與積分次序交換問(wèn)題以及微積分基本定理和可積函數(shù)空間的完備性方面 如： （ 1）狄里克雷函數(shù) 定義可證 此必須擴(kuò)大積分的范圍 (2) 0 , 0 1 ,() 1 , 1 .n x 在 1x 處不連續(xù)，但它是非一致收斂的，但1100l i m ( ) 0 l i m ( )x d x f x d x 此例子說(shuō)明函數(shù)一致收斂只是極限與 R 積分運(yùn)算交換次序的充分而非必要條件，但一致收斂是非常強(qiáng)的條件，我們要考慮能否將條件減弱呢？ 勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系 4 （ 3）在微積分基本定理中 ( ) ( ) ( ) , , xa f x d x f x f a x a b ， ()必須可積的，但我們知道存在著可微且導(dǎo)數(shù)有界的函數(shù)，但其導(dǎo)數(shù)不是 R 可積的因此限制了微積分基本定理的應(yīng)用范圍 隨著數(shù)學(xué)的向前發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)了許多問(wèn)題在 R 積分中都無(wú)法給出圓滿的解決，科學(xué)不斷的前進(jìn)，積分論在進(jìn)一步革新二十世紀(jì)初勒貝格提出了 L 積分，它為現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)打開(kāi)了大 門， L 積分的提出使許多問(wèn)題變得迎刃而解了 我們知道 L 積分是用勒貝格積分和代替黎曼積分和，引入測(cè)度來(lái)推廣長(zhǎng)度，概率論就是以測(cè)度作為基礎(chǔ)的，與黎曼積分比較，勒貝格積分雖然克服了它的許多缺點(diǎn)，但任何一種理論都不是十全十美的， L 積分也有它的缺點(diǎn)，如在應(yīng)用時(shí)測(cè)度比長(zhǎng)度就要麻煩 學(xué)畢業(yè)論文 5 第二章 黎曼積分和勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系 2曼積分和勒貝格積分的定義的比較 黎曼積分 ( ) ( )f x 勒貝格積分 EL f 定義： ( ) ( )f x 的定義是從求曲邊梯形的面積所引入的其定義為：設(shè) f 在 , 有界，對(duì) , . . . nT a x x x b ， 即 1 , n b E ， 1 0 1 , ,E x x ( , ,3.1k k kx x x ， | | m a （稱為分割 T 的細(xì)度）在分割 T 所屬的各個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)( 1, 2 . )i n ，則 12 , . n 構(gòu)成一個(gè)屬于 T 的介點(diǎn)集，作和式 1，稱此式為 f 在 , 屬于分割 T 的一個(gè)積分和或稱黎曼和，記為 T ，故有 ( ) ( )f x 定義為：設(shè) f 為定義在 , 的函數(shù)， J 是一確定的數(shù)，若對(duì)任意的 0 ，總存在某一 0 ，使得 , 的任意分割 T ，只要 | |T ，屬于分割 T 的所有積分和 T 都滿足 | ，則稱 f 在 , 稱 J 為 f 在 , 的 定 積 分 記 為 J = ( ) ( )f x 關(guān)于 R 積分我們知道它的思想是“分割，近似求和，求極限”，這里的分割是指分割定義域在此定義中 的存在性是統(tǒng)一的，但在應(yīng)用中要求預(yù)先知道 J 的值是不現(xiàn)實(shí)的因此我們提出 R 積分的另一定義，如下： 設(shè) f 在 , 有界，對(duì) , 分割01nT a x x x b ，即1 , n b E 其中令 1s u p ( ) , , i n f ( ) , .k k k k k k kM f x x E m f x x E x x x 1 0 1 , ,E x x ( , ,3,., 勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系 6 11( , ) , ( , ) . k k f T M x S f T m x ( ) ( ) i n f ( , ) , ( ) ( ) s u p ( , )f x d x S f T R f x d x S f T 分別稱為（ R ）上積分和（ R ）下積分，如果（ R ）上，下積分積分相等則稱 () , R 可積將 R 上，下積分的公共值記為 () , R 的積分，記為 ( ) ( )f x 我們已知，測(cè)度是長(zhǎng)度的推廣，上述為)啟發(fā)我們?yōu)橥茝V（ R ）積分可以考慮將區(qū)間 ,分割推廣為測(cè)度空間 ( , , )中具有 有限測(cè)度的集 E 的分劃，而且對(duì)于 , 使 , 積，按照 R 積分的思想，必須使得在分割 , ， 的振幅足夠小，這使得具有較多激烈震蕩的函數(shù)被排除在可積函數(shù)類外因此勒貝格提出了從分割值域入手的 L 積分即任給 0 ，作01 nm y y y M ，其中1， , , 的下界和上界令 1|i i iE x y f x y ，( 1, 2 )，如果10 1y m E 存在，則定義為 ,ab f x 而 對(duì) 于 一 般 可 測(cè) 函 數(shù) 的 積 分 定 義 為 ： 設(shè) 可 測(cè) 集 上 可 測(cè) ， 若 記 m a x , 0 , m a x , 0 f x f x f x f x ，則有 f x f x f x，若 ,x d x f x不同為 ，則稱 上積分確定且有 E E Ef x d x f x d x f x d x ， 當(dāng)此式右端右邊兩個(gè)積分值都有限時(shí)，稱 上 L 可積 L 積分是建立在勒貝格測(cè)度論的基礎(chǔ)上，可以統(tǒng)一處理有界和無(wú)界的情形，而且函數(shù)可定義在更一般的點(diǎn)集上 為了與 R 積分聯(lián)系起來(lái)，我們還給出（ L ）積分的另一定義為：設(shè) ( , , )為測(cè)度空間, ( )E u E ， f 在 E 上有界，對(duì) E 做分劃 T，1，其中所有的且 () k j ，令 s u p ( ) , , i n f ( ) , , k k k kM f x x E m f x x E 學(xué)畢業(yè)論文 7 11( , ) ( ) , ( , ) ( )k k f T M u E S f T m u E 令 ( ) i n f ( , ) , ( ) s u p ( , ) f d u S f T L f d u S f T，分別稱為（ L ）上，下積分如果( ) ( )f d u L f d u，則 f 在 E 上 L 可積，并稱 (L ) 上，下積分的公共值為 f 在 E 上的 L 積分，記為 ()EL 這種定義直觀，易接受，只是它過(guò)分的套用了 R 積分定義的模式，掩蓋了 L 的優(yōu)點(diǎn) 以上是測(cè)度有限可測(cè)集上有界函數(shù)的 L 積分定義，我們看到它在形式上同 R 積分除了“積分區(qū)域”更一般外，主要不同之處在于采用了測(cè)度和分劃的不同，即區(qū)間一律換成了 L 可測(cè)集 注：當(dāng) E 記為 ()EL f x 特別地當(dāng) , E a b ，記為 ()ba f x 比較兩者定義可知，將 ,劃成小區(qū)間是將 ,劃成可測(cè)集必有 ( ) ( ) ( ) ( )b b b ba a a aR f L f L f R f 由此式可知，當(dāng) f 在 , R 可積時(shí)即 ( ) ( )f R f時(shí)必有 ( ) ( )f L f 所以當(dāng) f 在 , R 可積時(shí)，則 f 在 ,必 L 可積，但反之不一定成立如定義在 E =0， 1上的狄利刻 雷函數(shù) 們已知 可積的，但由 L 積分的定義可以證明 可積的，且有 ( ) ( ) 0f x d x 由上述過(guò)程可知， (R )積分的建立是通過(guò)分割定義域，對(duì)和式求極限而得來(lái)的，這只是在每個(gè)小區(qū)間1 , 所取值k的改變而引起的， ()的變化極小或者即使 ()變化較大，但 ()改變較小時(shí)， () L 積分卻改變了這種現(xiàn)象，它是對(duì) ()函數(shù)值相差不大的點(diǎn)結(jié)合在一起，從而擴(kuò)展了可積函數(shù)類，使得好多問(wèn)題變得迎刃而解了因此對(duì)定義域和值域的分割是 R 積分和 L 積分的本質(zhì)區(qū)別實(shí)際上設(shè) f 定義在集 E 上 ( ) ,f x x E ，對(duì) , 作分劃01 . . . nD y y y ， 令1 , ( ) k k kE x E y f x y ， 則當(dāng) f 在 E 上可測(cè)時(shí)所有的 () k j ，1則得到了 E 的相應(yīng)的分劃 T 這時(shí) 111( , ) ( ) , ( , ) ( )k k f T y u E S f T y u E， 因此對(duì) f 的值域 , 作分劃 D 實(shí)質(zhì)仍然是為了對(duì) f 的定義域作分劃 T 勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系 8 2曼積分和勒貝格積分的存在條件的比較 R 可積的條件： （一） () 可積的必要條件是 () ,有界（這說(shuō)明，任何 R 可積函數(shù)必須有界，但有界函數(shù)未必 R 可積，如狄里克雷函數(shù)，這與 L 積分不同， L 積分可以是無(wú)界的） （二） R 可積的充要條件有： 1定義在 ,有界函數(shù) f R 可積的充要條件為 f 在 ,的 R 上積分等于 R 下積分，即 ( ) ( ) ( ) ( )f x d x R f x d x 2定義在 ,有界函數(shù) f R 可積的充要條件為 0，總存在某一分割 T ，使得 1()n i i i i m 3定義在 ,有界函數(shù) f R 可積的充要條件為， 0，總存在某一分割 T ，使得( ) ( )S T S T 4定義在 ,有界函數(shù) f R 可積的充要條件為對(duì)任給正數(shù) ,，總存在某一分割 T ，使得屬于 T 的所有振幅i的小區(qū)間i的總長(zhǎng)不超過(guò) 注 ：由此條件可以證明黎曼函數(shù) 0 ( , 0 )1 ( ( , ) 1 ) px p 在 0,1 上 R 可積 L 可積的條件： 1設(shè) () m E 上的有界函數(shù)，則 () 上 L 可積的充要條件為0，存在 E 的分劃 D 使得 ( , ) ( , ) (i i i i f S D f m E M m )（此條件與 R 積分類似） 2設(shè) () m E 上的有界函數(shù)，則 () 上 L 可積的充要條件為 () 上可測(cè)（即對(duì)于 測(cè)度有限的可測(cè)集上的有界函數(shù)可測(cè)性與可積性等價(jià)） 學(xué)畢業(yè)論文 9 3設(shè) ， () 上的可測(cè)函數(shù)， ( 1 ) n f n ， 則 () 上 L 可積的充要條件為 |nn m E 4設(shè) () , 反常積分存在，則 () , 可積的充要條件為 | , 有 , ba b aL f x d x R f x d x 5 設(shè) 上 L 可 積 函 數(shù) 列 ， li f x f x 在 E 上 幾 乎 處 處 成 立 ， 且 |nE f x d x K （常數(shù)），則 () 上 L 可積 2曼積分和勒貝格積分的 性質(zhì)的比較 R 積分的性質(zhì)： 1如果 f 在 , R 可積， k 為常數(shù)，則 ,也 R 可積，且有 k f 2若 , , R 可積，則 ,f g f g 在 ,也 R 可積（注：有 ,b b ba a af g f g 但 b b ba a f g ） 3有界函數(shù) f 在 , , ,a c c b 上都 R 可積，則 f 在 ,也可積，且有 b c ba a cf f f 4設(shè) , , R 可積，且 ( ) ( ) , , f x g x x a b，則 5若 f 在 , R 可積，則 |f |在 ,也 R 可積，且有 | | | |（注：其逆命題不成立，如 1 ( )1 ( ) 在 0,1 上不 R 可積，但 | | 1在 0,1 上可積 6設(shè) , , R 可積，則 | | | | 0 1l i mn bi i i aT i f g x f g ，其中 ,是 7設(shè) f 在 , R 可積，則在 ,任一內(nèi)閉子區(qū)間 , 上 f 也 R 可 積 8設(shè) f 在 ,連續(xù)且非負(fù)，若有 0ba f x ，則在 , 0f 9設(shè) , , R 可積，則 m a x , , m i n ,M x f x g x m x f x g x在 ,也 R 可積 勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系 10 10設(shè) f 在 , R 可積，且在 ,有 | | 0f x m，則 1 ,也 R 可積 11設(shè) f 在 ,連續(xù)，且對(duì) ,任一連續(xù)函數(shù) g ，有 0ba ，則在 , 0f 12設(shè) f 在 ,連續(xù)，且對(duì)于所有那些在 ,滿足 0g a g b的連續(xù)函數(shù) g 有0ba ，則則在 , 0f 13（黎曼 f 在 , 可積，則 l i m s i n 0ba f x x d x L 積分的性質(zhì)： 1積分區(qū)域的可加性設(shè)在，1 ，式中 互 不相交的可測(cè)集，則1 （注：設(shè)1 ， 互不相交的可測(cè)集，對(duì)于任意的 k ， () E 不能推出()f L E 但有 ()f L E 能得到 () E ，這與 R 積 分 是 有 區(qū) 別 的 ， 在 R 積分中 ( 1, 2 ) E f R E k ） 2零集上的積分若 ( ) 0，則 0（約定當(dāng) () 而 ( ) 0 ( )f x x E 或者() 而 ( ) ( )f x x E 都有 0E f ） 3關(guān)于可積函數(shù)的單調(diào)性：（ 1）設(shè) ,都存在，且 在 E 上幾乎處處成立，則，特別地若 在 E 上幾乎處處成立，則 （ 2）設(shè) ()f L E ， 0f 在 E 上幾乎處處成立，則 0E f （ 3），設(shè) f 在 E 上可測(cè)，若( ) , 0g L E g ， |在 E 上幾乎處處成立，則 ()f L E 4關(guān)于積分區(qū)域的單調(diào)性設(shè) A 是 E 的可測(cè)子集，則在，特別地，若 f 在 E 上非負(fù)可測(cè)，則 5線性性質(zhì) （ 1 ）設(shè) , ( )f g L E ，則12 ()c f c g L E，（ 其 中 12, 常 數(shù) ） 且1 2 1 2E E Ec f c g c f c g （ 2），設(shè) , ( )f g L E ， , ( )f g g L E，則 ()E E Ef g f g 注：若 , ( )f g L E 不能推出 () E ，如取 0,1E ， 學(xué)畢業(yè)論文 11 1 , ( 0 1 )() ( 0 )0, 則 ()f L E ，但 2f 在 E 上不 L 可積 6絕對(duì)可積性 ( ) | | ( )f L E f L E 且 f 在 E 上可測(cè)，且有 | | | |由于可積函數(shù)的絕對(duì)可積性故 L 積分是一種絕對(duì)收斂的積分，而 R 反常積分不必為絕對(duì)收斂，因此 L 積分不是 7（ 1）唯一性定理：設(shè) f 在 E 上可測(cè)，則 | | 0 0E 在 E 上幾乎處處成立 （ 2）設(shè) ()f L E ，若對(duì)于所有有界函數(shù) g ，均有 00E fg f 在 E 上幾乎處處成立（注：0E f 不能推出 0f 在 E 上幾乎處處成立 如取 1,1E ，令 2 , ( 1 0 ) ,() 2 , ( 0 1 ) . x，則 0E f ，但 0f 8，積分的絕對(duì)連續(xù)性設(shè) ()f L E ，則對(duì)于 0 , 0 使得對(duì) E 中任何可測(cè)子集 A ，只要 ( ) | | | | f f 9， L 可積函數(shù)的逼近性質(zhì)設(shè) () ， f 在 E 上有界可積，則對(duì)于 0, E 上可測(cè)的簡(jiǎn)單函數(shù) ,得 g f h在 E 上幾乎處處成立，且 E h g 10， L 積分的平均連續(xù)性設(shè) ( , )距離空間， *u 為距離的外測(cè)度，1 ，其中所有的 集 ， 且 * ( ) , u為由 *u 導(dǎo) 出 的 全 有 限 測(cè) 度 ， ()f L X ，則0l i m | ( ) ( ) | 0xx f y f x d u （簡(jiǎn)單的說(shuō)： 0l i m | | 0 R f x h f x d x ） 11， L 積分弱連續(xù)性，設(shè) 上非負(fù)遞減可積，且 0在 E 上幾乎處處成立，則f （注：逆命題不成立） 12 , R g L R，則 m a x , , m M x f x g x m x f x g x在 可積 13（積分變量的平移變換） R ，則對(duì)任意的 00, f x y R ，且有 勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系 12 0x y f x d x 14（黎曼 格引理的推廣） 若 ,的可測(cè)函數(shù)列且滿足 15 | | ( , )ng x M x a b2，對(duì)任意的 ,c a b 有 ,l i m 0g x d x 則對(duì)任意的 ,f L a b ，有 ,l i m 0f x g x d x 2曼積分函數(shù)類與勒貝格積分函數(shù)類 R 積分函數(shù)類： 1若 f 為 ,的連續(xù)函數(shù)，則 f 在 , R 可積 2若 f 是 ,只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有 界函數(shù)，則 f 在 , R 可積 3若 f 是 ,只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)，則 f 在 , R 可積 4若 f 是 ,的單調(diào)函數(shù)，則 f 在 , R 可積 5設(shè) f 在 ,有界， ,na a b且 l i m , ,nn a c c a b ，若 f 在 ,只有 f 在 , R 可積 L 積分函數(shù)類： R 可積的有界 函數(shù)均是 L 可積的 2黎曼積分和勒貝格積分相關(guān)的一些定理的比較 關(guān)于 R 積分的定理有： R 積分的第一中值定理：若 f 在 ,連續(xù)，則在 ,至少存在一點(diǎn) ， 使得 ( ) ( )ba f f b a 推廣的 R 積分的第一中值定理：若 , ,連續(xù)，且 ,不變號(hào)，則在 ,至少存在一點(diǎn) ，使得 ()g f g R 積分第二中值定理：若在 , f 為非負(fù)的單調(diào)遞減函數(shù)， g 是 R 可積的，則 , , ( )b f g f a g 學(xué)畢業(yè)論文 13 推論 1，若在 , ( ) 0且單增， g 是 R 可積的，則 , , ( )b f g f b g 推論 2，若在 , f 為單調(diào)函數(shù)， g 是 R 可積的 ，則 , , ( ) ( )b f g f a g f b g 關(guān)于 L 積分的相關(guān)定理：關(guān)于 L 積分的最大成功之處在于討論積分與極限交換問(wèn)題時(shí)將會(huì)看到著問(wèn)題在 L 積分范圍內(nèi)得到比在 R 積分范圍內(nèi)遠(yuǎn)為圓滿的解決如，設(shè) ( , , )為測(cè)度空間，, ( )E u E ， 在 E 上幾乎處處成立，我們可知從 可測(cè)性可以推出它的極限函數(shù) 能否從 ( ) ( ) E f L E 呢？先看下述例子 例 1 設(shè) 11 1 , 1 , ( , ) ，令 1 ()()0 ( ) ，且 () E，有 1 , ( 0 )l i m ( ) ( ) ( 0 )0, x f x 因?yàn)?0nE f f，但 | | ,E 在 E 不是 L 可積的 例 2 設(shè) 22 2 2 0 , 1 , ( ) ( ) 0 ( )(1 )f x f x ，但 1l i m 02n u f d f d 上述兩例說(shuō)明，當(dāng)從 () E不一定能推出 ()f L E ，即使 ()f L E 也不一定能保證極限符號(hào)與積分號(hào)能交換次序，我們?cè)谖⒎e分中熟知當(dāng) , a b時(shí)，也不能保證它的極限函數(shù) , f R a b ，往往要加上 ,一致收斂于 f 的苛刻條件，對(duì)于 L 積分，并不要求f ，所加條件弱得多當(dāng)討論一般可積函數(shù)的情形時(shí)，有勒貝格控制收斂定理：設(shè)（ 1） E 上的可測(cè)函數(shù)列（ 2） | | ( ) , 1 , 2 x n在 E 上幾乎處處成立，且 () 上可積（ 3） ( ) ( )nf x f x，則 () 上可積且 l i m ( ) ( )f x d x f x d x 注：（一） 若將條件（ 3）改為 ( ) ( )nf x f x在 E 上幾乎處處成立，定理結(jié)論仍成立 （二） 設(shè) ，若將條件（ 2）改為 | ( ) |nf x k（常數(shù)），若 ( ) ( )nf x f x在 E 上幾乎處處成立或 ( ) ( )nf x f x，定理結(jié)論仍成立 勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系 14 再看非負(fù)可測(cè)函數(shù)類有：列維定理：設(shè) 上的一列非負(fù)可測(cè)函數(shù)，且在 E 上有1( ) ( ) , 1 , 2x f x n（單調(diào)列），令 ( ) )x f x，則 l i m ( ) ( )f x d x f x d x 逐項(xiàng)積分定理：設(shè) ( 1 , 2 ) E k，若有 1 x d x ，則 1 在 E 上幾乎處處收斂，若記和函數(shù)為 f L E ，且有 1 x d x f x d x 積分號(hào)下求導(dǎo)定理：設(shè) ,f x y 是定義在 ,E a b 上的函數(shù)，它作為 x 的函數(shù)在 E 上可積，作為y 的函數(shù)在 ,可微，若存在 F L E ，使得 | , |d f x y F ，則 ,x y d x f x y d xd y d y 通過(guò)以上定理我們可 以發(fā)現(xiàn)在極限運(yùn)算與 (L )積分運(yùn)算交換次序時(shí)，只須滿足存在一個(gè)控制函數(shù) )些條件與一致收斂條件相比弱得多，在這樣的條件下，極限與積分運(yùn)算，微分與積分運(yùn)算，積分與積分運(yùn)算很容易交換次序而在 R 積分中有界收斂定理為： （ 1） ( 1, 2 )nf x n 是定義在 ,的 R 可積函數(shù) （ 2） | | ( 1, 2 , , )nf x M n x a b (3) ,的 R 可 積 函 數(shù) ， 且 有 li f x f x 則 有 l i m f x d x f x d x 這里不僅受到條件（ 2）的限制，而且還必須假設(shè)極限函數(shù) 只是 L 控制收斂定理的一個(gè)特例 學(xué)畢業(yè)論文 15 第三章 實(shí)例 例 1： 求0l n ( )l i m c o e x d 解 l n ( ) l n ( )l i m c o s l i m l i m c o s 0n nx n n x x ne x e xn n n x ， 又 l n ( ) l n ( ) l n 3 l n 3( 1 ) ( 1 )33x n n x x n x xn n n x n 所以 l n ( ) l n 3c o s (1 )3e x x ，又因?yàn)?(1 )3 在 0, ) 上 L 可積， 由控制收斂定理可知，0l n ( )l i m c o e x d =0 而在 R 積分中要證明 ) c o 在 0, ) 上一致收斂是很麻煩的 例 2： 設(shè) 0,1t ， 1 , 0 , 1 , 1 , 21tn x x ，求證： 10l i m 0nn f x d x 證：當(dāng) 1時(shí)， 11 21121 2tn ， 當(dāng) 1時(shí)， 111 11