2019/5/12,1,中山大學(xué)醫(yī)學(xué)統(tǒng)計與流行病學(xué)系 張晉昕 2008.09.16,第五章 常用概率分布,2019/5/12,2,2019/5/12,3,一、正態(tài)分布的概念,第五章 常用概率分布 第一節(jié) 正態(tài)分布,正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布，若指標 X的頻率分布曲線對應(yīng)于數(shù)學(xué)上的正態(tài)分布曲線， 則稱該指標服從正態(tài)分布。,2019/5/12,4,2019/5/12,5,2019/5/12,6,正態(tài)分布的概率密度函數(shù)（即縱軸的高度）,-X+,2019/5/12,9,3. 正態(tài)分布有兩個參數(shù)，即均數(shù)和標準差。 是位置參數(shù)，是變異度參數(shù)(形狀參數(shù))。常用N(,2)表示均數(shù)為 ，標準差為的正態(tài)分布；用N(0,1)表示標準正態(tài)分布。 4. 正態(tài)曲線下面積分布有一定規(guī)律。橫軸上 正態(tài)曲線下的面積等于1（ 也常寫作100% ） 。,2019/5/12,10,二、正態(tài)曲線下面積的分布規(guī)律 正態(tài)方程的積分式(分布函數(shù))：,F(X)為正態(tài)變量X的累計分布函數(shù)，反映正態(tài)曲線下，橫軸尺度自到X的面積，即下側(cè)累計面積 。,標準正態(tài)分布方程積分式(分布函數(shù))：,(Z)為標準正態(tài)變量 Z的累計分布函數(shù)，反映標準正態(tài)曲線下，橫軸尺度自到Z的面積，即下側(cè)累計面積 。,2019/5/12,11,2019/5/12,12,用查表代替計算必須注意： 1）表中曲線下面積為到Z的面積。 2）當,和X已知時，先求出Z值， 再用Z值查表，得所求區(qū)間占總面積的比例。 當和未知時，要用樣本均數(shù)和樣本標準差S來估計Z值。 3）曲線下對稱于0的區(qū)間，面積相等。 4）曲線下橫軸上的面積為1 （即100% ）。,三、標準正態(tài)分布表,2019/5/12,13,正態(tài)分布是一種對稱分布，其對稱軸為直線X=，即均數(shù)位置，理論上： 1范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的68.27% 1.96范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的95% 2.58范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的99% 實際應(yīng)用中： 1 S范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的68.27% 1.96 S范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的95% 2.58 S范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的99%,2019/5/12,14,2019/5/12,15,標準正態(tài)分布的=0，=1，則 相當于區(qū)間(-1，1)， 1.96相當于區(qū)間(-1.96，1.96), 2.58的區(qū)間相當于區(qū)間(-2.58，2.58)。 區(qū)間(-1,1)的面積：1-2(-1)=1-20.1587=0.6826=68.26% 區(qū)間(-1.96,1.96)的面積：1-2(-1.96)=1-20.0250=0.9500=95.00% 區(qū)間(-2.58,2.58)的面積：1-2(-2.58)=1-20.0049=0.9902=99.02%,2019/5/12,16,正態(tài)曲線下面積對稱，則區(qū)間（1.96，）的面積也是0.025。Z取值于（-1.96，1.96）的概率為1-20.025=0.95，即X取值在區(qū)間 上的概率為95%。,例 5-11 X服從均數(shù)為 ，標準差為 的正態(tài)分布，試估計（1）X取值在區(qū)間 上的概率；（2）X取值在區(qū)間 上的概率；,先做標準化變換:,2019/5/12,17,例 5-12 已知某地1986年120名8歲男童身高均數(shù) ，S=4.79 cm ，估計(1)該地8歲男孩身高在130 cm以上者占該地8歲男孩總數(shù)的百分比；(2)身高界于120cm128cm者占該地8歲男孩總數(shù)的比例；(3)該地80%男孩身高集中在哪個范圍？ 先做標準化變化:,理論上該地8歲男孩身高在130 cm以上者占該地8歲男孩 總數(shù)的7.21%。,2019/5/12,18,（2）,2019/5/12,19,（3）,查附表1，標準正態(tài)分布曲線下左側(cè)面積為0.10所對應(yīng)的Z值為-1.28，所以80%的8歲男孩身高值集中在 區(qū)間內(nèi)，即116.9cm129.2cm,2019/5/12,20,（一）制定醫(yī)學(xué)參考值范圍 參考值范圍：指特定的“正?！比巳旱慕馄省⑸?、生化、免疫等各種數(shù)據(jù)的波動范圍。 制定參考值范圍的步驟： 1. 選擇足夠數(shù)量的正常人作為調(diào)查對象。 2. 樣本含量足夠大。 3. 確定取單側(cè)還是取雙側(cè)正常值范圍。 4. 選擇適當?shù)陌俜纸缦蕖?5. 選擇適當?shù)挠嬎惴椒ā?四、 正態(tài)分布的應(yīng)用,2019/5/12,21,估計醫(yī)學(xué)參考值范圍的方法： 1. 正態(tài)近似法：適用于正態(tài)分布或近似正態(tài)分布的資料。 2. 百分位數(shù)法：適用于偏態(tài)分布資料。,2019/5/12,22,例5-13 某地調(diào)查120名健康女性血紅蛋白，直方圖顯示，其分布近似于正態(tài)分布，得均數(shù)為117.4g/L，標準差為10.2g/L ，試估計該地正常女性血紅蛋白的95%醫(yī)學(xué)參考值范圍。,分析：正常人的血紅蛋白過高過低均為異常，要制定雙側(cè)正常值范圍。,該指標的95%醫(yī)學(xué)參考值范圍為,2019/5/12,23,例5.14 某地調(diào)查110名正常成年男子的第一秒肺通氣量，得均數(shù)為4.2 L，標準差為0.7 L ，試估計該地正常成年男子第一秒肺通氣量的95%參考值范圍。,該地正常成年男子第一秒肺通氣量的95%參考值范圍為：不低于3.052L。,分析：正常人的第一秒肺通氣量近似正態(tài)分布，且只以過低為異常，要制定單側(cè)下限。,2019/5/12,24,例 5.15 某年某市調(diào)查了 200例正常成人血鉛含量（g/100g)如下，試估計該市成人血鉛含量的95%醫(yī)學(xué)參考值范圍。,2019/5/12,25,分析：血鉛的分布為偏峰分布，且血鉛含量只以過高為異常，要用百分位數(shù)法制定單側(cè)上限。,2019/5/12,26,二、質(zhì)量控制 為了控制實驗中的檢測誤差，常用 2S作上下警戒線，以 3S作為上下控制線。這里的2S和3S可視為1.96S 和2.58S的約數(shù)。其依據(jù)是正常情況下檢測誤差是服從正態(tài)分布的。,2019/5/12,27,第三節(jié) 正態(tài)分布及其應(yīng)用,判斷異常的8種情況是： 有一個點距中心線的距離超過3個標準差（控制限以外） 在中心線的一側(cè)連續(xù)有9個點 連續(xù)6個點穩(wěn)定地增加或減少 連續(xù)14個點交替上下 連續(xù)3個點中有兩個點距中心線距離超過2個標準差（警戒限以外）,2019/5/12,28,第三節(jié) 正態(tài)分布及其應(yīng)用,連續(xù)5個點中有4個點距中心線距離超過1個標準差 中心線一側(cè)或兩側(cè)連續(xù)15個點距中心線距離都在1個標準差以內(nèi) 中心線一側(cè)或兩側(cè)連續(xù)8個點距中心線距離都超出1個標準差范圍。,2019/5/12,29,三、統(tǒng)計處理方法的理論基礎(chǔ),如 統(tǒng)計描述中計算算術(shù)平均數(shù)、標準差、 統(tǒng)計推斷中進行總體均數(shù)置信區(qū)間估計、 t 檢驗、F 檢驗、相關(guān)與回歸等分析,2019/5/12,30,（一）成敗型實驗（Bernoulli實驗） 在醫(yī)學(xué)衛(wèi)生領(lǐng)域的許多實驗或觀察中，人們感興趣的是某事件是否發(fā)生。如用白鼠做某藥物的毒性實驗，關(guān)心的是白鼠是否死亡；某種新療法臨床實驗觀察患者是否治愈；觀察某指標的化驗結(jié)果是否呈陽性等。將我們關(guān)心的事件A出現(xiàn)稱為成功，不出現(xiàn)稱為失敗，這類試驗就稱為成-敗型實驗。指定性資料中的二項分類實驗。,第二節(jié) 二項分布,一、二項分布的概念與特征,2019/5/12,31,成-敗型（Bernoulli）實驗序列： 滿足以下三個條件的n次實驗構(gòu)成的序列稱為成-敗型實驗序列。 1）每次實驗結(jié)果，只能是兩個互斥的結(jié)果之一（A或非A）。 2) 相同的實驗條件下，每次實驗中事件A的發(fā)生具有相同的概率。（非A的概率為1-）。 實際工作中要求是從大量觀察中獲得的較穩(wěn)定的數(shù)值。 3) 各次實驗獨立。各次的實驗結(jié)果互不影響。,2019/5/12,32,（二）二項分布的概率函數(shù) 二項分布是指在只能產(chǎn)生兩種可能結(jié)果（如“陽性”或“陰性”）之一的n次獨立重復(fù)實驗中，當每次試驗的“陽性”概率保持不變時，出現(xiàn)“陽性”的次數(shù)X=0,1,2,n的一種概率分布。 若從陽性率為的總體中隨機抽取大小為n的樣本，則出現(xiàn)“陽性”數(shù)為X的概率分布即呈現(xiàn)二項分布，記作 B(n,)。,2019/5/12,33,舉例 設(shè)實驗白鼠共3只，要求它們同種屬、同性別、體重相近，且他們有相同的死亡概率，即事件“白鼠用藥后死亡”為A，相應(yīng)死亡概率為。記事件“白鼠用藥后不死亡”為 ，相應(yīng)不死亡概率為1-。設(shè)實驗后3只白鼠中死亡的白鼠數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2和3，則死亡鼠數(shù)為X的概率分布即表現(xiàn)為二項分布。,2019/5/12,34,互不相容事件的加法定理,2019/5/12,35,2019/5/12,36,構(gòu)成成-敗型實驗序列的n次實驗中，事件A出現(xiàn) 的次數(shù)X的概率分布為：,其中X=0，1，2，n。 n，是二項分布的兩個參數(shù) 。,對于任何二項分布，總有,2019/5/12,37,例5-2 臨床上用針灸治療某型頭疼，有效的概率為60%，現(xiàn)以該療法治療3例，其中2例有效的概率是多大？ 分析：治療結(jié)果為有限和無效兩類，每個患者是否有效不受其他病例的影響，有效概率均為0.6，符合二項分布的條件。,2例有效的概率是0.432,2019/5/12,38,一例以上有效的概率為：,或,2019/5/12,39,（三）二項分布的特征 1. 二項分布的圖形特征 n，是二項分布的兩個參數(shù)，所以二項分布的形狀取決于n，?？梢钥闯觯?=0.5時分布對稱，近似對稱分布。當 0.5時，分布呈偏態(tài)，特別是n較小時， 偏離0.5越遠，分布的對稱性越差，但只要不接近1和0時，隨著n 的增大，分布逐漸逼近正態(tài)。因此， 或1- 不太小，而n足夠大，我們常用正態(tài)近似的原理來處理二項分布的問題。,2019/5/12,40,2019/5/12,41,2019/5/12,42,2019/5/12,43,例 實驗白鼠3只，白鼠用藥后死亡的死亡概率=0.6，則3只白鼠中死亡鼠數(shù)X的總體均數(shù) =30.6=1.8（只） 方差為 標準差為,2019/5/12,44,如果以率表示，將陽性結(jié)果的頻率記為 ， 則p的總體均數(shù) 總體方差為 總體標準差為 式中 是頻率p的標準誤，反映陽性頻率的抽樣誤差的大小。,2019/5/12,45,例5-4 如果某地鉤蟲感染率為6.7%,隨機觀察當?shù)?50人,樣本鉤蟲感染率為p,求p的抽樣誤差 。,2019/5/12,46,二、二項分布的應(yīng)用 （一） 概率估計,例5-5 如果某地鉤蟲感染率為13%，隨機觀察當?shù)?50人，其中有10人感染鉤蟲的概率有多大?,2019/5/12,47,(二)單側(cè)累計概率計算 二項分布出現(xiàn)陽性次數(shù)至少為k次的概率為 陽性次數(shù)至多為k次的概率為,2019/5/12,48,例5-6 如果某地鉤蟲感染率為13%，隨機觀察當?shù)?50人，其中至多有2人感染鉤蟲的概率有多大?至少有2人感染鉤蟲的概率有多大?至少有20人感染鉤蟲的概率有多大?,至多有2名感染的概率為:,2019/5/12,49,至少有2名感染的概率為:,至少有20名感染的概率為:,2019/5/12,50,第二節(jié) Poisson分布的概念與特征 一、Poisson分布的概念 Poisson分布也是一種離散型分布，用以描述罕見事件發(fā)生次數(shù)的概率分布。Poisson分布也可用于研究單位時間內(nèi)(或單位空間、容積內(nèi))某罕見事件發(fā)生次數(shù)的分布，如分析在單位面積或容積內(nèi)細菌數(shù)的分布，在單位空間中某種昆蟲或野生動物數(shù)的分布，粉塵在觀察容積內(nèi)的分布，放射性物質(zhì)在單位時間內(nèi)放射出質(zhì)點數(shù)的分布等。Poisson分布一般記作 。,2019/5/12,51,Poisson分布可以看作是發(fā)生的概率 很小，而觀察例數(shù)很大時的二項分布。除要符合二項分布的三個基本條件外，Poisson分布還要求或1-接近于0和1。有些情況和n都難以確定，只能以觀察單位(時間、空間、容積、面積)內(nèi)某種稀有事件的發(fā)生數(shù)X等來表示，如每毫升水中大腸桿菌數(shù)，每個觀察單位中粉塵的計數(shù)，單位時間內(nèi)放射性質(zhì)點數(shù)等，只要細菌、粉塵、放射性脈沖在觀察時間內(nèi)滿足以上條件，就可以近似看為Poisson分布。,Poisson分布作為二項分布的一種極限情況,2019/5/12,52,二、Poisson分布的特征 1.Poisson分布的概率函數(shù)為: 式中 為Poisson分布的總體均數(shù)，X為觀察單位時間內(nèi)某稀有事件的發(fā)生次數(shù)；e為自然對數(shù)的底，為常數(shù)，約等于2.71828。,2019/5/12,53,如某地20年間共出生短肢畸形兒10名，平均每年0.5名。就可用 代入Poisson分布的概率函數(shù)來估計該地每年出生此類短肢畸形兒的人數(shù)為0，1，2的概率P(X)。,2019/5/12,54,2019/5/12,55,2.Poisson分布的特性： （1）Poisson分布的的總體均數(shù)與總體方差相等，均為 。 （2）Poisson分布的觀察結(jié)果有可加性。即對于服從Poisson分布的m個互相獨立的隨機變量X1,X2Xm，它們之和也服從Poisson分布，其均數(shù)為這m個隨機變量的均數(shù)之和。,2019/5/12,56,從總體均數(shù)為 的服從Poisson分布總體中隨機抽出一份樣本，其中稀有事件的發(fā)生次數(shù)為X1，再獨立地從總體均數(shù)為 的Poisson分布總體中隨機抽出另一份樣本，其中稀有事件的發(fā)生次數(shù)為X2，則他們的合計發(fā)生數(shù)T=X1+X2也服從Poisson分布，總體均數(shù)為 。,2019/5/12,57,Poisson分布的這些性質(zhì)還可以推廣到多個Poisson分布的情形。例如，從同一水源獨立地取水樣5次，進行細菌培養(yǎng)，每次水樣中的菌落數(shù)分別為 ，均服從Poisson分布，分別記 為 ，把5份水樣混合，其合計菌落 數(shù) 也服從Poisson分布，記為 ，其均數(shù)為 。 醫(yī)學(xué)研究中常利用Poisson分布的可加性，將小的觀察單位合并以增大發(fā)生次數(shù)X，以便用正態(tài)近似法進行統(tǒng)計