莫興德 廣西大學(xué) 數(shù)信學(xué)院,Email:,微 積 分,鏈接目錄,第二章 極限與連續(xù),數(shù)列極限 函數(shù)極限 變量極限 無窮大與無窮小 極限的運算法則 兩個重要的極限 函數(shù)的連續(xù)性,2.7 函數(shù)的連續(xù)性,函數(shù)連續(xù)性的定義,函數(shù)的連續(xù)性描述函數(shù)的漸變性態(tài), 在通常意義下，對函數(shù)連續(xù)性有三種 描述：, 當(dāng)自變量有微小變化時，因變量的 變化也是微小的； 自變量的微小變化不會引起因變量的 跳變； 連續(xù)函數(shù)的圖形可以一筆畫成,不斷開.,一、函數(shù)的連續(xù)性,1.函數(shù)的增量,2.連續(xù)的定義,注意,例1,證,由定義2知,3.單側(cè)連續(xù),定理,例2,解,右連續(xù)但不左連續(xù) ,4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間,在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.,例3,證,例4 證明,證,只須證明,二、函數(shù)的間斷點,1.跳躍間斷點,例5,解,2.可去間斷點,例6,解,注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.,如例6中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.,特點,3.第二類間斷點,例7,解,例8,解,注意 不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.,狄利克雷函數(shù),在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,且都是第二類間斷點.,僅在x=0處連續(xù), 其余各點處處間斷.,在定義域 R內(nèi)每一點處都間斷, 但其絕對值處處連續(xù).,判斷下列間斷點類型:,例9,解,例10 討論,若有間斷點判別其類型，并作出圖形,解,三、連續(xù)函數(shù)的運算法則,定理,證明直接用極限的運算法則就可以了 如：,解,非初等函數(shù)連續(xù)性問題舉例,解,四、在區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有著十分優(yōu)良的性質(zhì)，這些性質(zhì)在函數(shù)的理論分析、研究中有著重大的價值，起著十分重要的作用。下面我們就不加證明地給出這些結(jié)論，好在這些結(jié)論在幾何意義是比較明顯的。,1.有界性定理：,定理(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.,2. 最大最小值定理（最值定理）：,注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立; 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點, 定理不一定成立.,3. 零點定理：,4. 介值定理：,推論：,f(x),g(x),證,構(gòu)造輔助函數(shù),介值定理的證明,例1,證,由零點定理,推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值 與最小值 之間的任何值.,例2,證,由零點定理,例3,證,由零點定理知,總之,注,方程f(x)=0的根,函數(shù)f(x)的零點,有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)命題的證明方法,10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理,20間接法（輔助函數(shù)法）：先作輔助函數(shù)， 再利用零點定理,輔助函數(shù)的作法,（1）將結(jié)論中的(或x0或c)改寫成x,（2）移項使右邊為0，令左邊的式子為F(x) 則F(x)即為所求,區(qū)間一般在題設(shè)中或要證明的結(jié)論中已經(jīng)給出，余下只須驗證F(x)在所討論的區(qū)間上連續(xù)，再比較一下兩個端點處的函數(shù)值的符號，或指出要證的值介于F(x)在所論閉區(qū)間上的最大值與最小值之間。,則有,且,解,試算,根據(jù)代數(shù)基本定理三次多項式最多有三個實根,證,證,證,證,矛盾！,五、利用函數(shù)性連續(xù)求函數(shù)極限,閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有著十分優(yōu)良的性質(zhì)，這些性質(zhì)在函數(shù)的理論分析、研究中有著重大的價值，起著十分重要的作用。下面我們就不加證明地給出這些結(jié)論，好在這些結(jié)論在幾何意義是比較明顯的。,注意,定理,七、小結(jié),1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;,3.間斷點的分類與判別;,2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);,第一類間斷點:可去型,跳躍型.,第二類間斷點:無窮型,振蕩型.,間斷點,(見下圖),四個定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意 1閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù) 這兩點不滿足上述定理不一定成立,解題思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.輔助函數(shù)法:先作輔助函數(shù)F(x),再利用零點定理;,第一類間斷點,可去型,跳躍型,第二類間斷點,無窮型,振蕩型,思考題,思考題解答,且,但反之不成立.,例,但,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,思考題,下述命題是否正確？,思考題解答,不正確.,例函數(shù),注意,定理,七、小結(jié),1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;,3.間斷點的分類與判別;,2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);,第一類間斷點:可去型,跳躍型.,第二類間斷點:無窮型,振蕩型.,間斷點,(見下圖),四個定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意 1閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù) 這兩點不滿足上述定理不一定成立,解題思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.輔助函數(shù)法:先作輔助函數(shù)F(x),再利用零點定理;,第一類間斷點,