2.2.3 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義,問(wèn)題提出,1.如何求作兩個(gè)非零向量的和向量、差向量？,2.相同的幾個(gè)數(shù)相加可以轉(zhuǎn)化為數(shù)乘運(yùn)算，如33333=53=15.那么相等的幾個(gè)向量相加是否也能轉(zhuǎn)化為數(shù)乘運(yùn)算呢？這需要從理論上進(jìn)行探究.,探究一：向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義,思考1：已知非零向量a，如何求作向量aaa和（a）（a） （a）？,aaa,（a）（a）（a）,思考2：向量aaa和（a） （a）（a）分別如何簡(jiǎn)化其表示形式？,aaa記為3a， （a）（a）（a）記為3a.,思考3：向量3a和3a與向量a的大小和方向有什么關(guān)系？,思考4：設(shè)a為非零向量，那么 a和 a還是向量嗎？它們分別與向量a有什么關(guān)系？,思考5： 一般地，我們規(guī)定：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘.記作a，該向量的長(zhǎng)度與方向與向量a有什么關(guān)系？,（1）|a|=|a|；,（2）0時(shí),a與a方向相同； 0時(shí),a與a方向相反； =0時(shí),a =0.,思考6：如圖，設(shè)點(diǎn)M為ABC的重心，D為BC的中點(diǎn)，那么向量 與 ， 與 分別有什么關(guān)系？,探究二:向量的數(shù)乘運(yùn)算性質(zhì),思考1：你認(rèn)為2（5a），2a2b， a可分別轉(zhuǎn)化為什么運(yùn)算？,-2 (5a)= -10a ； 2a 2b = 2(a+b)； (3 )a =3a a.,思考2：一般地，設(shè)，為實(shí)數(shù)，則(a)，() a，(ab)分別等于什么？,(a)=() a ； () a =a a； (a b)=ab.,思考3：對(duì)于向量a（a0）和b，若存在實(shí)數(shù)，使b=a，則向量a與b的方向有什么關(guān)系？,思考4：若向量a（a0）與b共線，則一定存在實(shí)數(shù)，使b=a成立嗎？,思考5：綜上可得向量共線定理：向量a（a0）與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使b=a. 若a0，上述定理成立嗎？,思考6：若存在實(shí)數(shù)，使 ，則A、B、C三點(diǎn)的位置關(guān)系如何？,思考8：向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a、b，以及任意實(shí)數(shù)、x、y，(xayb）可轉(zhuǎn)化為什么運(yùn)算？,(xayb）=xayb.,理論遷移,例1 計(jì)算 （1）（3）4a； （2）3（ab）2（ab）a； （3）（2a3bc）（3a2bc）.,例2 如圖，已知任意兩個(gè)非零向量a， b，試作 =ab， =a2b， =a3b.你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？,例3 如圖，平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M，且 =a， =b，試用a,b表示向量 、 、 、,小結(jié)作業(yè),1.實(shí)數(shù)與向量可以相乘，其積仍是向量，但實(shí)數(shù)與向量不能相加、相減.實(shí)數(shù)除以向量沒(méi)有意義，向量除以非零實(shí)數(shù)就是數(shù)乘向量.,2.若a=0，則可能有=0，也可能有a=0.,3.向量的數(shù)乘運(yùn)算律，不是規(guī)定，而是可以證明