第三章 高斯投影和導線測量算例,一、高斯投影概述 （正形投影，高斯坐標正反算及換帶計算） 二、把橢球面元素歸算到高斯投影面 （方向改化，距離改化） 三、各種投影方法概述 四、工程測量投影面與投影帶選擇的概念,本章提要,本章介紹從橢球面上大地坐標系到平面上直角坐標系的正形投影過程。研究如何將大地坐標、大地線長度和方向以及大地方位角等向平面轉(zhuǎn)化的問題。重點講述高斯投影的原理和方法，解決由球面到平面的換算問題，解決相鄰帶的坐標坐標換算。討論在工程應用中，工程測量投影面與投影帶選擇。,知識點及學習要求 1高斯投影的基本概念； 2正形投影的一般條件； 3高斯平面直角坐標與大地坐標的相互轉(zhuǎn)換 高斯投影的正算與反算 4橢球面上觀測成果歸化到高斯平面上的計算； 5高斯投影的鄰帶換算； 8.工程測量投影面與投影帶的選擇。,難點在對本章的學習中，首先要理解和掌握高斯投影的概念。高斯正算和反算計算；方向改化和距離改化計算；高斯投影帶的換算與應用；工程測量中投影面與投影帶的選擇。,1、控制測量對地圖投影的要求,1）等角投影（又稱正形投影）,2）長度和面積變形不大，并能用簡單公式計算由變形而引起的改正數(shù)。,3）能很方便地按分帶進行，并能按高精度的、簡單的、同樣 的計算公式和用表把各帶聯(lián)成整體 。,8.1 高斯投影概述（重點）,高斯投影是等角橫切橢圓柱投影。 高斯投影是一種等角投影。它是由德國數(shù)學家高斯(Gauss，1777 1855)提出，后經(jīng)德國大地測量學家克呂格(Kruger，18571923)加以補充完善，故又稱“高斯克呂格投影”，簡稱“高斯投影”。,2、高斯投影的基本概念,N,S,c,中央,子,午線,赤道,1).高斯投影的原理:,高斯投影采用分帶投影。將橢球面按一定經(jīng)差分帶，分別進行投影。,2)、高斯投影必須滿足： （1）高斯投影為正形投影， 即等角投影； （2）中央子午線投影后為直 線，且為投影的對稱軸； （3）中央子午線投影后長度 不變。,3)、高斯投影的特點:,（1）中央子午線投影后為直線，且長度不變。 （2） 除中央子午線外，其余子午線的投影均為凹向中央子午線的曲線，并以中央子午線為對稱軸。投影后有長度變形。 （3） 赤道線投影后為直線，但有長度變形。,（4） 除赤道外的其余緯線，投影后為凸向赤道的曲線，并以赤道為對稱軸。 （5）經(jīng)線與緯線投影后仍然保持正交。 （6） 所有長度變形的線段，其長度變形比均大于l。 （7）離中央子午線愈遠，長度變形愈大。,4)、投影帶的劃分,我國規(guī)定按經(jīng)差6和3進行投影分帶。 6帶自首子午線開始，按6的經(jīng)差自西向東分成60個帶。 3帶自1.5 開始，按3的經(jīng)差自西向東分成120個帶。,高斯投影帶劃分,6帶與3帶中央子午線之間的關系如圖:,3帶的中央子午線與6帶中央子午線及分帶子午線重合，減少了換帶計算。,工程測量采用3 帶，特殊工程可采用1.5 帶或任意帶,按照6帶劃分的規(guī)定，第1帶中央子午線的經(jīng)度為3，其余各帶中央子午線經(jīng)度與帶號的關系是： L。=6N3 （N為6帶的帶號） 例：20帶中央子午線的經(jīng)度為： L。6 203117 按照3帶劃分的規(guī)定，第1帶中央子午線的經(jīng)度為3，其余各帶中央子午線經(jīng)度與帶號的關系是： L。=3n （n為3帶的帶號） 例：120帶中央子午線的經(jīng)度為 L。3 120360 ,若已知某點的經(jīng)度為L，則該點的6帶的帶號N由下式計算： 若已知某點的經(jīng)度為L，則該點所在3帶的帶號按下式計算： （四舍五入）,高斯平面直角坐標系的建立：,x軸 中央子午線的投影 y軸 赤道的投影 原點O 兩軸的交點,O,x,y,P,（X，Y）,高斯自然坐標,注：X軸向北為正， y軸向東為正。,赤道,中央子午線,由于我國的位于北半球，東西橫跨12個6帶，各帶又獨自構成直角坐標系。 故：X值均為正， 而Y值則有正有負。,x,y,o,500km,=500000+ = 636780.360m = 500000+ = 227559.720m,國家統(tǒng)一坐標：,（帶號）,（帶號）,例： 有一國家控制點的坐標: x=3102467.280m ,y=19367622380m， （1）該點位于6 帶的第幾帶？ （2）該帶中央子午線經(jīng)度是多少？ （3）該點在中央子午線的哪一側(cè)？ （4）該點距中央子午線和赤道的距離為多少？,（第19帶）,（L。=619-3=111）,（先去掉帶號，原來橫坐標y367622.380500000-132377.620m，在西側(cè)）,（距中央子午線132377.620m，距赤道3102467.280m）,不同點： 1、 x，y軸互異。 2、 坐標象限不同。 3、表示直線方向的方位角 定義不同。 相同點： 數(shù)學計算公式相同。,高斯平面直角坐標系與數(shù)學上的笛卡爾平面直角坐標系的異同點 ：,3、橢球面三角系化算到高斯平面,將橢球面三角系歸算到高斯投影面的主要內(nèi)容是：,將起始點的大地坐標B，L歸算為高斯平面直角坐標x，y；為了檢核還應進行反算，亦即根據(jù)x，y反算B，L。 通過計算該點的子午線收斂角及方向改正，將橢球面上起算邊大地方位角歸算到高斯平面上相應邊的坐標方位角。 通過計算各方向的曲率改正和方向改正，將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上的由相應直線組成的三角形內(nèi)角。 通過計算距離改正，將橢球面上起算邊的長度歸算到高斯平面上的直線長度。 當控制網(wǎng)跨越兩個相鄰投影帶，需要進行平面坐標的鄰帶換算。,8.2 正形投影的一般條件（了解）,研究高斯投影應首先滿足正形投影的一般條件，然后加上高斯投影的特殊條件，即可導出高斯投影坐標正反算公式。推求時抓住正形投影區(qū)別于其它投影的特殊本質(zhì)：在正形投影中，長度比與方向無關。,正形投影方法都必須 遵循的法則 ：,柯西(Cauchy)黎曼(Riemann)條件,等量緯度,8.3 高斯投影坐標正反算公式（了解）,1、高斯投影坐標正算公式： B,l x,y,高斯投影必須滿足以下三個條件： 中央子午線投影后為直線； 中央子午線投影后長度不變； 投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。,對于任何一種投影：坐標對應關系是最主要的；如果是正形投影，除了滿足正形投影的條件外，還有它本身的特殊條件。,2、高斯投影坐標反算公式：x,y B,l,滿足以下三個條件： x坐標軸投影后為中央子午線是投影的對稱軸； x坐標軸投影后長度不變； 投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。,當B=0時x=X=0，y則隨l的變化而變化，這就是說，赤道投影為一直線且為y軸。當l=0時,則y=0,x=X,這就是說，中央子午線投影亦為直線，且為x軸，其長度與中央子午線長度相等。兩軸的交點為坐標原點。 當l=常數(shù)時(經(jīng)線),隨著B值增加，x值增大，y值減小，這就告訴我們，經(jīng)線是凹向中央子午線的曲線，且收斂于兩極。又因，即當用-B代替B時，y值不變，而x值數(shù)值相等符號相反，這就說明赤道是投影的對稱軸。 當B=常數(shù)時(緯線)，隨著的l增加，x值和y值都增大，這就是說，緯線是凸向赤道的曲線。又當用-l代替l時，x值不變，而y值數(shù)值相等符號相反，這就說明，中央子午線是投影對稱軸。由于滿足正形投影條件，所以經(jīng)線和緯線的投影是互相垂直的。 距中央子午線愈遠的子午線，投影后彎曲愈厲害，表明長度變形愈大。,3、高斯投影坐標正反算公式的幾何解釋 ：,練習1. 已知某點的坐標：B = 290405.3373 L = 1211033.2012 計算：1). 該點的3 帶和6 帶帶號； 2). 該點的3 帶高斯投影坐標并反 算檢核；,子午線收斂角的概念 如右圖所示， 、 及 分別為橢球面 點、過 點的子午線 及平行圈 在高斯平面上的描寫。由圖可知，所謂點 子午線收斂角就是 在 上的切線 與 坐標北之間的夾角，用 表示。 在橢球面上，因為子午線同平行圈正交，又由于投影具有正形性質(zhì)，因此它們的描寫線 及 也必正交，由圖可見，平面子午線收斂角也就是等于 在 點上的切線 同平面坐標系橫軸 的傾角。,8.4 平面子午線收斂角公式（了解）,1、求的公式,1）由大地坐標L，B計算：,在中央子午線上l=0,r=0；在赤道上B=0,r=0。,在同一經(jīng)線上(l=常數(shù))緯度愈高，r的絕對值也愈大，在極點處最大；在同一緯線上(B=常數(shù))，經(jīng)差l的絕對值愈大，r的絕對值也愈大。,r為奇函數(shù)，有正負，當描寫點在中央子午線以東時，經(jīng)差為正，r也為正；當描寫點在中央子午線以西時，經(jīng)差為負，r也為負。,2）由高斯平面坐標x，y計算：,8.5 方向改化公式（重點）,方向改正數(shù)就是指大地線的投影曲線和連接大地線兩點的弦之夾角。,1、方向改化近似公式的推導,誤差小于0.1，可適用于三、四等三角測量的計算,2、方向改化較精密公式的推導,代入,我國二等三角網(wǎng)平均邊長為13KM，當ym250km時，上式精確至0.01，故通常用于二等三角測量計算。,該式精確至0.001，適用于一等三角測量計算。,3、計算的檢核,一個三角形的三個內(nèi)角的角度改正值（同一點相應兩個方向的方向改正之差）之和應等于該三角形的球面角超的負值。此式可用來檢查方向改正計算。,8.6 距離改化公式（重點）,由S化至D所加的S改正稱為距離改正,1、研究平面曲線長度s與其弦線長度D的關系； 2、研究用大地坐標B、L和平面坐標x、y計算長度比m的公式； 3、最后導出距離改化的計算公式。,m1,1、平面曲線長度s與其弦線長度D的關系,由于v是一個小角，最大不會超過方向改化值，因此可把cosv展開為級數(shù)：,式中用v的最大值代替 v,已是二次項，,D與s之差 是四次項微小量。當取最大40,s=50KM時，代入上式得 ，化算為相對中誤差為 ：,所以，對現(xiàn)有測量方法這個誤差可忽略不計，完全可以認為大地線的平面投影曲線長度s等于其弦線長度D。,2、長度比和長度變形,長度比m是指橢球面上某一點的微分元素dS，與其投影面上的相應的微分元素ds之比，即：,由于長度比m恒大于1，故稱 為長度變形。,1）用大地坐標表示的長度比公式,實用時一般取至二次項 在6帶的邊緣及低緯度處，有時用到 項。,2）用平面坐標表示的長度比公式,代入,m隨點的位置(B,L)或(x,y)而異，但在一點上與方向無關；,當 時，由于m是y（或l）的偶函數(shù)，且各項都為“+”號，故m恒大于1，即除中央子午線外其它投影后都變長了；,長度變形（m-1）與 成正比例地增大，愈離遠中央子午線長度變形愈大。,在同一緯線上，即B=常數(shù)，長度變形（m-1）隨l的增大而 增大。,在同一經(jīng)線上，即l=常數(shù)，長度變形（m-1）隨B的減少而增 大，在赤道處(B=0)為最大。,當y=0 (或l=0)時，即在縱坐標軸或中央子午線上時，各點的m都等于1，即中央子午線投影后長度不變；,3、距離改化公式：,對于一條三角邊來說，由于邊長較短，長度比的變化實際上是很微小的，可以認為是一個常數(shù)，因而可以用D/S來代替dD/dS，即有：,代入,當S70km,ym350km(6帶的邊緣) 計算精度小于0.001m，對于一等邊長的歸算完全可滿足要求，對于二等邊長的歸算可略去 項，對于三四等邊長的歸算又可再略去 項。,4、距離改化的實用計算公式,一等三角網(wǎng)的距離改正的實用公式：,二等三角網(wǎng)的距離改正的實用公式：,三等三角網(wǎng)以下的距離改正的實用公式：,產(chǎn)生換帶的原因 高斯投影為了限制高斯投影的長度變形，以中央子午線進行分帶，把投影范圍限制在中央子午線東、西兩側(cè)一定的范圍內(nèi)。因而，使得統(tǒng)一的坐標系分割成各帶的獨立坐標系。在工程應用中，往往要用到相鄰帶中的點坐標，有時工程測量中要求采用 帶、 帶或任意帶，而國家控制點通常只有 帶坐標，這時就產(chǎn)生了 帶同 帶（或 帶、任意帶）之間的相互坐標換算問題，如下圖所示：,8.7 高斯投影的鄰帶換算（了解）,需要進行坐標鄰帶換算的情況： 1、控制網(wǎng)跨越兩個投影帶； 2、在分界子午線附近地區(qū)測圖，需要用到另一帶 的三角點作為控制點時； 3、6帶、3帶、1.5帶之間的換算。,坐標鄰帶換算的一般方法： 把橢球面上的大地坐標作為過渡坐標，首先把某投影帶（如21帶）內(nèi)的有關點的平面坐標x，y利用高斯投影反算公式換算成橢球面上的大地坐標B，L。然后再由大地坐標B，L利用投影正算公式換算成相鄰帶的（如22帶）的平面坐標。,計算步驟：,根據(jù) , 利用高斯反算公計算換算 , ，得到 ， 。 采用已求得的 , ，并顧及到第帶的中央子午線 ， 求得 ，利用高斯正算公式計算第帶的直角坐 標 , 。 為了檢核計算的正確性，要求每步都應進行往返計算,算例 在中央子午線 的帶中，有某一點的平面直角坐標 ， ，現(xiàn)要求計算該點在中央子午線 的第帶的平面直角坐標。,1、地圖投影的概念 在數(shù)學中，投影（Project）的含義是指建立兩個點集間一一對應的映射關系。同樣，在地圖學中，地圖投影就是指建立地球表面上的點與投影平面上點之間的一一對應關系。地圖投影的基本問題就是利用一定的數(shù)學法則把地球表面上的經(jīng)緯線網(wǎng)表示到平面上。由于地球橢球體表面是曲面，而地圖通常是要繪制在平面圖紙上，因此制圖時首先要把曲面展為平面，然而球面是個不可展的曲面，即把它直接展為平面時，不可能不發(fā)生破裂或褶皺。若用這種具有破裂或褶皺的平面繪制地圖，顯然是不實際的，所以必須采用特殊的方法將曲面展開，使其成為沒有破裂或褶皺的平面。,8.8 有關投影的基本知識（了解）,2、地圖投影的變形 1）長度變形 2）面積變形 3）角度變形,1 墨卡托(Mercator)投影,墨卡托投影為正軸等角切圓柱投影，是由墨卡托于1569年專門為航海目的設計的。其設計思想是令一個與地軸方向一致的圓柱切于或割于地球，將球面上的經(jīng)緯網(wǎng)按等角條件投影于圓柱表面上，然后將圓柱面沿一條母線剪開展成平面，即得墨卡托投影 。 該投影的經(jīng)緯線是互為垂直的平行直線，經(jīng)線間隔相等，緯線間隔由由赤道向兩極逐漸擴大。圖上任取一點，由該點向各方向長度比皆相等，即角度變形為零。在正軸等角切圓柱投影中，赤道為沒有變形的線，隨緯度增高面積變形增大。,UTM投影全稱為“通用橫軸墨卡托投影” （Universal Transverse Mercator Projection ），是一種“等角橫軸割圓柱投影”，橢圓柱割地球于南緯80度、北緯84度兩條等高圈，投影后兩條相割的經(jīng)線上沒有變形，而中央經(jīng)線上長度比0.9996。UTM投影是為了全球戰(zhàn)爭需要創(chuàng)建的，美國于1948年完成這種通用投影系統(tǒng)的計算。UTM投影分帶方法與高斯-克呂格投影相似，是自西經(jīng)180起每隔經(jīng)差6度自西向東分帶，將地球劃分為60個投影帶。,（1）UTM是對高斯投影的改進，改進的目的是為了減少投影變形。 （2）UTM投影的投影變形比高斯的要小，最大在0.001。但其投影變形規(guī)律比高斯要復雜一點，因為它用的是割圓柱，所以，它的m1的地方是在割線上，實際上是一個圓，處在正負140的位置，距離中央經(jīng)線大約180km。 （3）UTM投影在中央經(jīng)線上，投影變形系數(shù)m0.9996，而高斯投影的中央經(jīng)線投影的變形系數(shù)m1。 （4）UTM為了減少投影變形也采用分帶，它采用6分帶。但起始的1帶是（e174e180），所以，UTM的6分帶的帶號比高斯的大30。 （5）很重要的一點， 高斯投影與UTM投影可近似計算。計算公式是： XUTM=0.9996 * X高斯 YUTM=0.9996 * Y高斯 這個公式的誤差在1米范圍內(nèi)，完全可以接受。,UTM與高斯投影的異同：,2、蘭勃特投影（等角圓錐投影）,設有一個圓錐，其軸與地軸一致，套在地球橢球體上，然后將橢球體面的經(jīng)緯線網(wǎng)按照等角的條件投影到圓錐面上，再把圓錐面沿母線切開展平，即得到正軸等角圓錐投影的經(jīng)緯網(wǎng)圖形。其中緯線投影成為同心圓弧，經(jīng)線投影成為向一點收斂的直線束。當圓錐面與橢球體上的一條緯圈相切時，稱切圓錐投影，見圖（a）；當圓錐面相割于橢球面兩條緯圈時，稱割圓錐投影，見圖（b）。,相切或相割緯圈稱為標準緯圈，顯然，標準緯圈在圓錐展開后不變。兩條緯線間的經(jīng)線長度處處相等。投影的不同變形性質(zhì)，只是反映在緯線間隔的變化上。也就是說，圓錐投影的各種變形都是緯度的的函數(shù)，而與經(jīng)度無關。對某一個具體的變形性質(zhì)而言，在同一條緯線上，其變形值相等。在同一條經(jīng)線上，標準緯線外側(cè)為正變形，兩條標準緯線之間為負變形。因此切圓錐投影只有正變形，割圓錐投影既有正變形又有負變形。 由于圓錐投影具有上述的變形分布規(guī)律，因此該投影適于編制處于中緯地區(qū)沿緯線方向東西延伸地域的地圖。由于地球上廣大陸地均位于中緯地區(qū)，同時圓錐投影的經(jīng)緯網(wǎng)又比較簡單，該投影得到了廣泛應用。尤其是正軸割圓錐投影，使用非常普遍。 我國新編1:100萬地形圖，使用的便是邊緯與中緯變形絕對值相等的等角割圓錐投影。等角割圓錐投影還廣泛應用于我國編制出版的全國1:400萬、1:600萬掛圖，以及全國性的普通地圖和專題地圖等。,8.9 工程測量投影面與投影帶的選擇（重點）,1999年城市測量規(guī)范規(guī)定： 一個城市只應建立一個與國家坐標系統(tǒng)相聯(lián)系的、相對獨立和統(tǒng)一的城市坐標系統(tǒng)，并經(jīng)上級行政主管部門審查批準后方可使用。城市平面控制測量坐標系統(tǒng)的選擇應以投影長度變形值不大于2.5cm/km為原則，并根據(jù)城市地理位置和平均高程而定。,1、當長度變形值不大于2.5cm/km時,應采用高斯正形投影統(tǒng)一3帶的平面直角坐標系統(tǒng)。統(tǒng)一3帶的主子午線經(jīng)度由東經(jīng)75起,每隔3至東經(jīng)135。,2、當長度變形值大于2.5cm/km 時，可依次采用： 1）投影于抵償高程面上的高斯正形投影帶的平面直角坐標系統(tǒng)； 2）高斯正形投影任意帶的平面直角坐標系統(tǒng)，投影面可采用黃海平均海水面或城市平均高程面。,如何選擇城市平面控制網(wǎng)坐標系統(tǒng)？,3、面積小于25k的城鎮(zhèn),可不經(jīng)投影采用假定平面直角坐標系統(tǒng)在平面上直接進行計算。,1、工程測量中投影面和投影帶選擇的基本出發(fā)點,1）有關投影變形的基本概念,引起投影變形的因素：,（1）實量邊長歸算到參考橢球體面上的變形影響,由公式可以看出： 的值總為負，即地面實量長度歸算至參考橢球體面上，總是縮短的； 值與 成正比，隨 增大而增大。,s,（2）將參考橢球面上邊長歸算到高斯投影面上的變形影響：,為投影歸算邊長，即在參考橢求面上的長度。,由公式可以看出： 的值總為正，即橢球面上長度歸算至高斯面上，總是增大的， 值與 成正比而增大，離中央子午線愈遠變形愈大。,2）有關工程測量平面控制網(wǎng)的精度要求的概念 為便于施工放樣的順利進行，要求由控制點坐標直接反算的邊長與實地量得的邊長，在長度上應該相等，即由上述兩項歸算投影改正而帶來的變形或改正數(shù)，不得大于施工放樣的精度要求。一般地，施工放樣的方格網(wǎng)和建筑軸線的測量精度為1/50001/20000。因此，由歸算引起的控制網(wǎng)長度變形應小于施工放樣允許誤差的1/2，即相對誤差為1/100001/40000，也就是說，每公里的長度改正數(shù)，不應該大于102.5cm。,2、工程測量投影面和投影帶選擇的基本出發(fā)點,（1） 在滿足精度要求的前提下，為使測量結(jié)果一測多用，應采用國家統(tǒng)一3帶高斯平面直角坐標系，將觀測結(jié)果歸算至參考橢球面上。即工程測量控制網(wǎng)應同國家測量系統(tǒng)相聯(lián)系；,（2）當邊長的兩次歸算投影改正不能滿足上述要求時，為保證測量結(jié)果的直接利用和計算的方便，可采用任意帶的獨立高斯平面直角坐標系，歸算測量結(jié)果的參考面可自己選定。,(a) 通過改變Hm從而選擇合適的高程參考面，將抵償分帶投影變形（稱為抵償投影面的高斯正形投影）；,(b) 改變ym從而對中央子午線作適當移動，以抵償由高程面的邊長歸算到參考橢球面上的投影變形（稱為任意帶高斯正形投影）；,(c) 通過既改變Hm（選擇高程參考面），又改變ym（移動中央子午線），來 抵償兩項歸算改正變形（稱為具有高程抵償面的任意帶高斯正形投影）。,3、工程測量中幾種可能采用的直角坐標系,1） 國家3帶高斯正形投影平面直角坐標系,據(jù)計算，當測區(qū)平均高程在100m以下，且ym值不大于40km時，其投影變形值 均小于2.5cm，可以滿足大比例尺測圖和工程放樣的精度要求。因此在偏離中央子午線不遠和地面平均高程不大的地區(qū)，無需考慮投影變形問題，直接采用國家統(tǒng)一的3帶高斯正形投影平面直角坐標系作為工程測量的坐標系，使兩者一致。,2）抵償投影面的3帶高斯正形投影平面直角坐標系,此時仍采用國家3帶高斯投影，但投影的高程面不是參考橢球面而是依據(jù)補償高斯投影長度變形而選擇的高程參考面。在該參考面上長度變形為零。,抵償投影面的高程如何確定？,當采用第一種坐標系時，有 ：,若 超過允許的精度要求 (102.5cm)時，,應考慮采用抵償投影面進行投影，即采用第二種坐標系，此時在抵償投影面上的投影變形為0，設該面的高程為H抵即：,此時ym是定值，且假設不同投影面上同一距離近似相等。,例1：,某測區(qū)的平均高程為Hm=400m，測區(qū)中心在高斯投影3帶的坐標為y=80km，要使測區(qū)內(nèi)抵償投影面上的長度與實地長度之差最小，試問抵償高程面應如何選定？,所以抵償高程面高程應為：,3）任意帶高斯正形投影平面直角坐標系,該坐標系中，仍把地面觀測結(jié)果歸算到參考橢球面上，但投影帶的中央子午線不按國家3帶的劃分方法，而是依據(jù)補償高程面歸算長度變形而選擇的某一條子午線作為中央子午線。,當Hm不變，且假設不同投影面上同一距離近似相等。,表示某測區(qū)中心的橫坐標值（或測區(qū)內(nèi)y坐標的平均值）如果是用上式計算得到的ym時，此時的投影變形為0，即已知ym的情況，來反確定中央子午線的位置。,例2：,某測區(qū)中心所在的大地坐標為L=1141020，B=342118（北京54），測區(qū)內(nèi)平均高程為Hm=400m，為使高斯投影面上的長度與實地長度保持一致，試確定抵償投影帶中央子午線的經(jīng)度（設Rm=N=6371km）。,取高斯坐標正算y 的第一項,所以抵償投影帶的中央子午線的經(jīng)度為：,4）具有高程抵償面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標系,該坐標系中，往往是指投影的中央子午線選在測區(qū)的中央，地面觀測值歸算到測區(qū)平均高程面上，按高斯正形投影計算平面直角坐標系。因此，這是綜合第二、三兩種坐標系長處的一種任意高斯直角坐標系。顯然這種坐標系更能有效地實現(xiàn)兩種長度變形改正的補償。,5）假定平面直角坐標系,當測區(qū)面積小于 時，可不進行方向和距離改正，直接把局部地球表面作為平面建立獨立的平面直角坐標系。這時起算坐標和起算方位角最好能與國家網(wǎng)聯(lián)測，如果聯(lián)測有困難可自行測定邊長和方位，而起始點坐標可假定。這種假定平面直角坐標系只限于某種工程建筑施工之用。,這種方案的思路結(jié)合了前面兩種方案的一些特點，即將中央子午線移動至測區(qū)中部，又變換了高程投影面。當測區(qū)東西向跨度較大時，需要抵償?shù)膸捿^大時，應采用此種方案建立坐標系統(tǒng)。,該方案同時要求：,表示若抵償高程面的高程取測區(qū)的平均高程，或略低于該平均高程面（考慮到高程異常），則各邊長的高程投影變形近似為0,表示若測區(qū)在中央子午線附近，則各邊長的高斯投影