2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)最新考綱考情考向分析1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景2.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算3.理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過(guò)的特殊點(diǎn)，會(huì)畫(huà)底數(shù)為2,3,10，的指數(shù)函數(shù)的圖象4.體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)模型.直接考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；以指數(shù)函數(shù)為載體，考查函數(shù)與方程、不等式等交匯問(wèn)題，題型一般為選擇、填空題，中檔難度.1分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是(a0，m，nN，且n1)于是，在條件a0，m，nN，且n1下，根式都可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定 (a0，m，nN，且n1).0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.2指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)yaxa10a0時(shí)，y1；當(dāng)x0時(shí)，0y0時(shí)，0y1；當(dāng)x1(6)在(，)上是增函數(shù)(7)在(，)上是減函數(shù)知識(shí)拓展1指數(shù)函數(shù)圖像的畫(huà)法畫(huà)指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)的圖像，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0,1)，.2.指數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的圖像，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為cd1ab0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)的圖像越高，底數(shù)越大3指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)的圖像和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a1與0a1來(lái)研究題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)()na(nN)()(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可以理解為個(gè)a相乘()(3)函數(shù)y32x與y2x1都不是指數(shù)函數(shù)()(4)若aman(a0，且a1)，則mn.()(5)函數(shù)y2x在R上為減函數(shù)()題組二教材改編2化簡(jiǎn)(x0，y0) .答案2x2y3若函數(shù)f(x)ax(a0，且a1)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則f(1) .答案解析由題意知a2，所以a，所以f(x)x，所以f(1)1.4已知a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是 答案cbb1，又c01，cb0，a1)在1,2上的最大值比最小值大，則a的值為 答案或解析當(dāng)0a1時(shí)，a2a，a或a0(舍去)綜上所述，a或.題型一指數(shù)冪的運(yùn)算1化簡(jiǎn) (a0，b0) .答案解析原式2213101.2計(jì)算：10(2)10 .答案解析原式21，1010201.3(2017蘭州模擬)化簡(jiǎn)：(a0) .答案a2解析原式a2.思維升華 (1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；運(yùn)算的先后順序(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù)(3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)題型二指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用典例 (1)函數(shù)f(x)1e|x|的圖像大致是()答案A解析f(x)1e|x|是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，又e|x|1，f(x)0.符合條件的圖像只有A.(2)已知函數(shù)f(x)|2x1|，abc且f(a)f(c)f(b)，則下列結(jié)論中，一定成立的是()Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0C2a2c D2a2c2答案D解析作出函數(shù)f(x)|2x1|的圖像，如圖，abc且f(a)f(c)f(b)，結(jié)合圖像知，0f(a)1，a0，c0，02a1.f(a)|2a1|12a1，f(c)1，0c1.12c2，f(c)|2c1|2c1，又f(a)f(c)，12a2c1，2a2c2，故選D.思維升華 (1)已知函數(shù)解析式判斷其圖像一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖像是否過(guò)這些點(diǎn)，若不滿(mǎn)足則排除(2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖像可從指數(shù)函數(shù)的圖像通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱(chēng)變換而得到特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類(lèi)討論跟蹤訓(xùn)練 (1)已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足等式2 018a2 019b，下列五個(gè)關(guān)系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的關(guān)系式有()A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)答案B解析如圖，觀察易知，a，b的關(guān)系為ab0或0ba或ab0.(2)方程2x2x的解的個(gè)數(shù)是 答案1解析方程的解可看作函數(shù)y2x和y2x的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分別作出這兩個(gè)函數(shù)的圖像(如圖)由圖像得只有一個(gè)交點(diǎn)，因此該方程只有一個(gè)解題型三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用命題點(diǎn)1指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用典例 (1)(2017河南百校聯(lián)考)已知f(x)2x2x，a，b，則f(a)，f(b)的大小關(guān)系是 答案f(b)f(a)解析易知f(x)2x2x在R上為增函數(shù)，又ab，f(a)f(b)(2)設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 答案(3,1)解析當(dāng)a0時(shí)，不等式f(a)1可化為a71，即a8，即a3.又a0，3a0.當(dāng)a0時(shí)，不等式f(a)1可化為1.0a0)，則yt22t的遞增區(qū)間為1，)，令2x1，得x0，又y2x在R上是增加的，所以函數(shù)f(x)4x2x1的遞增區(qū)間是0，)命題點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用典例 已知函數(shù)f(x).(1)若a1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)，令ux24x3(x2)27.則u在(，2)上是增加的，在(2，)上是減少的，而yu在R上是增加的，所以f(x)在(，2)上是減少的，在(2，)上是增加的，即函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(2，)，遞減區(qū)間是(，2)(2)令h(x)ax24x3，yh(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)應(yīng)有最小值1，因此必有解得a1，即當(dāng)f(x)有最大值3時(shí)，a的值為1.(3)由f(x)的值域是(0，)知，ax24x3的值域?yàn)镽，則必有a0.思維升華 (1)利用指數(shù)函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)比較大小或解不等式，最重要的是“同底”原則(2)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域，單調(diào)區(qū)間，最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷跟蹤訓(xùn)練 (1)已知函數(shù)f(x)的值域是8,1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，3 B3,0)C3，1 D3答案B解析當(dāng)0x4時(shí)，f(x)8,1，當(dāng)ax0時(shí)，f(x)，8,1，即81，即3a0，實(shí)數(shù)a的取值范圍是3,0)(2)(2017江淮十校第三次聯(lián)考)函數(shù)f(x)x2bxc滿(mǎn)足f(x1)f(1x)，且f(0)3，則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是()Af(bx)f(cx) Bf(bx)f(cx)Cf(bx)f(cx) D與x有關(guān)，不確定答案A解析f(x1)f(1x)，f(x)關(guān)于x1對(duì)稱(chēng)，易知b2，c3，當(dāng)x0時(shí)，b0c01，f(bx)f(cx)，當(dāng)x0時(shí)，3x2x1，又f(x)在(1，)上是增加的，f(bx)f(cx)，當(dāng)x0時(shí)，3x2x1，f(x)在(，1)上是減少的，f(bx)0，a1)在區(qū)間上有最大值3，最小值， 試求a，b的值錯(cuò)解展示：現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)解令tx22x(x1)21，x，t1,0若a1，函數(shù)f(t)at在1,0上為增函數(shù)，at，ba，依題意得解得若0a1，b1，b0C0a0D0a1，b0答案D解析由f(x)axb的圖像可以觀察出，函數(shù)f(x)axb在定義域上是減少的，所以0a1.函數(shù)f(x)axb的圖像是在f(x)ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b0.2設(shè)2x8y1,9y3x9，則xy的值為()A18 B21 C24 D27答案D解析2x8y123(y1)，x3y3，9y3x932y，x92y，解得x21，y6，xy27.3(2017河南南陽(yáng)、信陽(yáng)等六市一模)已知a，b(0,1)(1，)，當(dāng)x0時(shí)，1bxax，則()A0ba1 B0ab1C1ba D1ab答案C解析當(dāng)x0時(shí)，1bx，b1.當(dāng)x0時(shí)，bxax，當(dāng)x0時(shí)，x1.1，ab.1ba，故選C.4(2018屆吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)設(shè)alog2，b，cln ，則()Acab BacbCabc Dbac答案C解析log20,01，ab0，a1)滿(mǎn)足f(1)，則f(x)的遞減區(qū)間是()A(，2 B2，)C2，) D(，2答案B解析由f(1)得a2，所以a或a(舍去)，即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上是減少的，在2，)上是增加的，所以f(x)在(，2上是增加的，在2，)上是減少的故選B.7(2017濮陽(yáng)質(zhì)檢)若“ma”是“函數(shù)f(x)xm的圖像不過(guò)第三象限”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a能取的最大整數(shù)為 答案1解析f(0)m，函數(shù)f(x)的圖像不過(guò)第三象限等價(jià)于m0，即m，“ma”是“m”的必要不充分條件，a，則實(shí)數(shù)a能取的最大整數(shù)為1.8不等式x4的解集為 答案(1,4)解析原不等式等價(jià)為2x4，又函數(shù)y2x為增函數(shù)，x22xx4，即x23x40，1x0且a1)的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是 答案解析(數(shù)形結(jié)合法)當(dāng)0a1時(shí)，作出函數(shù)y2|ax1|的圖像，由圖像可知02a1，0a1時(shí)，解得0a1矛盾綜上，a的取值范圍是.10當(dāng)x(，1時(shí)，不等式(m2m)4x2x0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 答案(1,2)解析原不等式變形為m2mx，因?yàn)楹瘮?shù)yx在(，1上是減函數(shù)，所以x12，當(dāng)x(，1時(shí)，m2mx恒成立等價(jià)于m2m2，解得1m0，a1)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,6)，B(3,24)(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)若不等式xxm0在(，1上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)因?yàn)閒(x)的圖像過(guò)A(1,6)，B(3,24)，所以所以a24，又a0，所以a2，b3.所以f(