,第四節(jié),一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì),二、對面積的曲面積分的計算法,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,對面積的曲面積分,第十章,一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì),引例: 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度,類似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用,可得,求質(zhì),“大化小, 常代變, 近似和, 求極限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小塊曲面的直徑的,最大值 (曲面的直徑為其上任意兩點間距離的最大者).,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定義:,設(shè) 為光滑曲面,“乘積和式極限”,都存在,的曲面積分,其中 f (x, y, z) 叫做被積,據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為,曲面面積為,f (x, y, z) 是定義在 上的一,個有界函數(shù),或第一類曲面積分.,若對 做任意分割和局部區(qū)域任意取點,則稱此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面 上對面積,函數(shù), 叫做積分曲面.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則對面積的曲面積分存在., 對積分域的可加性.,則有, 線性性質(zhì).,在光滑曲面 上連續(xù),對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質(zhì)類似., 積分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分成兩,片光滑曲面,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理: 設(shè)有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有,二、對面積的曲面積分的計算法,則曲面積分,證明: 由定義知,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,而,(光滑),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,可有類似的公式.,1) 如果曲面方程為,2) 若曲面為參數(shù)方程,只要求出在參數(shù)意義下dS,的表達(dá)式 ,也可將對面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對參數(shù)的,二重積分. (見本節(jié)后面的例4, 例5),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 計算曲面積分,其中是球面,被平面,截出的頂部.,解:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考:,若 是球面,被平行平面 z =h 截,出的上下兩部分,則,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 計算,其中 是由平面,坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面.,解: 設(shè),上的部分, 則,與,原式 =,分別表示 在平面,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3.,設(shè),計算,解: 錐面,與上半球面,交線為,為上半球面夾于錐面間的部分,它在 xoy 面上的,投影域為,則,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考: 若例3 中被積函數(shù)改為,計算結(jié)果如何 ?,例4. 求半徑為R 的均勻半球殼 的重心.,解: 設(shè) 的方程為,利用對稱性可知重心的坐標(biāo),而,用球坐標(biāo),思考題: 例 3 是否可用球面坐標(biāo)計算 ?,例3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 計算,解: 取球面坐標(biāo)系, 則,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6. 計算,其中 是球面,利用對稱性可知,解: 顯然球心為,半徑為,利用重心公式,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例7. 計算,其中 是介于平面,之間的圓柱面,分析: 若將曲面分為前后(或左右),則,解: 取曲面面積元素,兩片,則計算較繁.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例8. 求橢圓柱面,位于 xoy 面上方及平面,z = y 下方那部分柱面 的側(cè)面積 S .,解:,取,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例9.,設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星, 距地面高度,h = 36000 km,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,運行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同,試計算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比.,(地球半徑 R = 6400 km ),解:,建立坐標(biāo)系如圖,覆蓋曲面 的,半頂角為 ,利用球坐標(biāo)系, 則,衛(wèi)星覆蓋面積為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為,由以上結(jié)果可知, 衛(wèi)星覆蓋了地球,以上的面積,故使用三顆相隔,角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球,全表面.,說明: 此題也可用二重積分求 A (見下冊P109 例2) .,內(nèi)容小結(jié),1. 定義:,2. 計算: 設(shè),則,(曲面的其他兩種情況類似),注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對稱性、重心公式,簡化計算的技巧.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),P158 題1；3；4(1) ; 7,解答提示:,P158 題1.,P158 題3.,設(shè),則,P184 題2,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,P158 題4(1)., 在 xoy 面上的投影域為,這是 的面積 !,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,P159 題7.,如圖所示, 有,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,P184 題2. 設(shè),一卦限中的部分, 則有( ).,( 2000 考研 ),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,作業(yè),P158 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8,第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,備用題 1. 已知曲面殼,求此曲面殼在平面 z1以上部分 的,的面密度,質(zhì)量