1 j _ 日l j舌 六十年代中期、七十年代，出于解決經(jīng)濟對策均衡問題計算的需要，尤其是為了解 決大系統(tǒng)平衡問題，比如說，7 0 年代美國能源部建立的能源模型p i e s ( p r o j e c t i n d e p e n d e n c ee v a l u t i o ns y s t e m ) ，變分不等式( v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ) 和非線性互 補( n o n l i n e a rc o m p l e m e n t a r i t y ) 問題得到經(jīng)濟學家、管理學家以及應(yīng)用數(shù)學家的廣泛 關(guān)注和研究。 平衡問題以一種很好的數(shù)學模型統(tǒng)一和拓廣了優(yōu)化問題、n a s h 經(jīng)濟均衡問題、互補 問題以及變分不等式問題。它是運籌學研究領(lǐng)域中數(shù)學規(guī)劃、優(yōu)化理論中的一個重要的 新興學科分支，其在工程技術(shù)、數(shù)理經(jīng)濟學和社會經(jīng)濟系統(tǒng)等眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用 前景。 平衡問題模型作為變分不等式、互補問題模型的推廣，最早是由g l u me 和o e t t l iw 在他j f f 1 9 9 4 年的論文“f r o mo p t i m i z a t i o na n dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e st o e q u i l i b r i u mp r o b l e m s ”，中提出的。隨即，平衡問題被諸多學者推廣至向量平衡問題 加以研究。這些學者廣泛而詳盡地討論了一種弱形式的向量平衡問題解的存在性，包括 對集值映射下的弱向量平衡問題解的存在性討論。本文討論了幾種形式的向量平衡問題 解的存在性與解集的性質(zhì)。 對平衡問題的研究方興未艾，很多工作還剛剛起步。 中文摘要 本文主要運用了k k m 定理、廣義截口定理及推廣f a n b r o w d e r 的不動點定理等，研究 了強向量平衡問題、弱廣義向量均衡問題、弱廣義向量擬均衡問題和參數(shù)向量均衡問題。 第一，主要研究了強向量平衡問題和帶約束條件的廣義向量均衡問題，第一節(jié)為預(yù)備 知識；在第二節(jié)，通過引入正泛函的方法及f a nk y 不等式定理，證明了一個強向量平衡問 題的存在性；在第三節(jié)，通過推廣的k a k u t a n i 不動點定理，證明了不同空間中，帶約束條 件的一個廣義向量均衡問題的存在性定理 第二，主要研究了參數(shù)向量均衡問題和c ，一似擬凸意義下的廣義向量均衡問題以 及c ，一似擬凸意義下的廣義向量擬均衡問題在第四節(jié)，首先，通過f a n k k m 定理證明了 一個參數(shù)向量均衡問題的存在性；其次，利用這個參數(shù)向量均衡問題定理證明了參數(shù)空間 到其解映射的上半連續(xù)性以及證明了對每一，由，組成的函數(shù)空間到x 是上半連續(xù)的， 并且討論了參數(shù)向量均衡問題在該空間的通有穩(wěn)定性在第五節(jié)，首先，通過f a n k k m 定理證明了兩個廣義向量均衡問題的存在性并且研究了其解集的性質(zhì)；其次，通過廣義 截口定理定理證明了一個廣義向量均衡問題的存在性定理在第六節(jié)，通過推廣 f a n b r o w d e r 的不動點定理證明了一個廣義向量擬均衡問題的存在性 關(guān)鍵詞：e 一似擬凸廣義向量均衡問題廣義向量擬均衡問題 參數(shù)向量均衡問題強向量平衡問題 t h i st e x tm a i n l ys t u d yt h es t r o n gv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，t h e g e n e r a l i z e dv e c t o r e q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，t h eg e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i - e q u i l i b r i u mp r o b l e m sa n dt h ep a r a m e t r i c v e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m m a d eb yt h ef a n - k k mt h e o r e m ，t h eg e n e r a l i z e ds e c t i o nt h e o r e m a n dt h eg e n e r a l i z e df a n b r o w d ef i x e dp o i n tt h e o r e m 1 m a i n l ys t u d yt h es t r o n gv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m sa n dt h eg e n e r a l i z e dv e c t o r e q u i l i b r i u mp r o b l e m su n d e rr e s t r i c t e dc o n d i t i o n s s e c t i o n1 ，f o rp r e p a r ek n o w l e d g e i ns e c t i o n 2 ，w eg e ta ne x i s t e n tt h e o r e mo ft h es t r o n gv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e mb yp o s i t i v ef u n c t i o n a n d f a nk yi n e q u a l i t yt h e o r e m i ns e c t i o n3 ，w eg e ta l le x i s t e n tt h e o r e mo ft h eg e n e r a l i z e d v e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e mu n d e rr e s t r i c t e dc o n d i t i o n si nt w od i f f e r e n t s p a c e sb yt h e g e n e r a l i z e dk a k u t a n if i x e dp o i n tt h e o r e m 2 m a i n l ys t u d yt h ep a r a m e t r i cv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，t h eg e n e r a l i z e dv e c t o r e q u i l i b r i u mp r o b l e m sa n dt h eg e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m si nt h es e n c eo f e q u a s i c o n v e x l i k e i ns e c t i o n4 ，f i r s t l yw ep r o v eap a r a m e t r i cv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m b yf a n - k k mt h e o r e m ；s e c o n d l yw ea l s op r o v et h em a p p i n gf r o mt h es p a c eo fp a r a m e rt ot h a t o fi t ss o l u t i o ni su p p e rh e m i c o n t i n u o u s a n dt h e nw ep r o v et h em a p p i n gf r o mf u n c t i o ns p a c e o fft oxi sa l s ou p p e rh e m i c o n t i n u o u s ，w ep r o v et h eg e n e r i cs t a b i l i t yi ni t i ns e c t i o n5 ，f i r s t l y w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fg e n e r a l i z e dv e c t o re q u i l i b r i u mp r o l e m sb yf a n k k mt h e o r e m ，a n d w ed i s c u s st h ep r o p e r t yo fi t ss o l u t i o ns e t ；s e c o n d l yw ep r o v et h ee x i s t e n c eo fg e n e r a l i z e d v e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e mb yt h ef a n b r o w d ef i x e dp o i n tt h e o r e m i ns e c t i o n6 , w ew ep r o v e t h ee x i s t e n c eo fg e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e mb yt h eg e n e r a l i z e df a n b r o w d e f i x e dp o i n tt h e o r e m k e yw o r d s ：c ，一q u a s i c o n v e x l i k e ；t h eg e n e r a l i z e dv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m ；t h e g e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m ；t h ep a r a m e t r i cv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m ； t h es t r o n gv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m 3 1預(yù)備知識 定義1 1 設(shè)石和y 為拓撲空間，集值映射t ：x 一2 7 。 i ) 稱r 在x 點為下半連續(xù)的( 簡記為z s c ) ，如果對于y 中的任何開集y ， r o ) n 礦中，均存在開集u ，r y z e u ，t ( z ) n v ，妒；稱t 在x 上為下半連續(xù)的， 如果r 在工中的每一點均為下半連續(xù)；稱t 在點x e x 是上半連續(xù)的( 簡記為u s c ) ， 如果對于y 中的任何包含t ( x ) 的開集y ，均有x 的鄰域u ，v z u ，有r ( z ) c y ：t 在 x 上u s c ，如果t 在每點x 蓋均為u s c ；稱t 在x 是連續(xù)的，如果t 在工既是u s c ， 又是z s c 。 i i ) 稱r 是閉的，如果t 的圖像g r a p h f ) 一 0 ，) ，) ：z 石，y e t ( x ) ) 是x x y 中的 閉子集。 定義1 2設(shè)y 是實數(shù)域上的拓撲向量空間，稱cc y 為錐，如果對任意的c c 和任意的非負數(shù)t e 0 , + o o ) ，有f c c ：稱c 為凸錐，如果對任意的c ，d e c ，有集合 f c + ( 1 - t ) d ：os t s l 在c 中：設(shè)c 是y 中的一個凸錐，稱c 是尖錐( p o i n t e d ) ，如果有 c n c = p ) ，0 表示y 中的零元素：若a 是y 的一個子集，則記i n t a 為a 的拓撲內(nèi)部 定義1 3設(shè)x 和y 是兩個拓撲向量空間，k 是x 的非空凸子集， c ：k 一2 7 ，v x e k ，c ( x ) ) g r 中的閉凸錐，且0 c 0 ) y ，其內(nèi)點非空，b p i n t c ( x ) a ( a ) 集值映射甲：k x k 一2 7 ，稱妒關(guān)于y 是- c x - 似擬凸的( c x q u a s i c o n v e x l i k e ) ， 當且僅當對每一給定的x z ，對任意的m ，) ，：，y e k 及t ，t ：，t 。e o ，l 】，圭f 。：1 ，存 i = 1 在某一瓦b 2 ，n ，使得 妒( x ，b ) ，r ) 互妒o ，虼) 一c ( x ) i = 1 ( 6 ) 集值映射妒：k x k 一2 7 ，稱伊關(guān)于y 是c ( x ) 一凹的，當且僅當對每一給定的 x x ，對任意的m ，y 2 ，兒k 及f 。，t ：，t ?！緊 ，1 】，圭f j ；1 ，使得 4 j 江妒 ，咒) 妒0 ，b 咒) + c o ) i 1 1 。1 ( c ) 向量值函數(shù)，：x y 是c 一凸的當且僅當對任意的t ，x 2 ，z 及 t l , t 2 ，r 。f o 1 】，i t f ；1 有 t - 1 ，( 善惦) 善t ， ) 一c ( d ) 向量值函數(shù)，：x y 是c 一擬凸的當且僅當對任意的鼉，x ：，x 及 t l , t ：，t 。 0 ，l 】，n f f ；1 ，存在某一f 0 n 2 ，n 使得 j - 1 ，( 圭f j z ，) e f ( x m ) 一c l - 1 注1 1 ：上述定義中，對兩個點矗，z ：或y 。，y ：的情形，均可改為對有限個點的情形。 本定義( n ) 包括文獻 3 5 中定義的二元e 一似擬凸 為了說明這類多目標映射在二元的e 一似擬凸條件下非空，用下面這個例子來說 明。 例1 令k 一【o ，1 】，c o ) = 【o ，+ m ) ，搬k 。定義妒：k x k 一2 8 且 妒o ，y ) = i x ，y + 1 1 ，任給x ，y k 對所有z ，y 1 ，y 2 e k 以及o s as 1 ，我們知道： 若y 1s y 2 ，那么掣1 + ( 1 - a ) y 25 y 2 若y 1 y 2 ，那么a y l + o - 口) y 2sy 1 因此我們有對每一個t 伊o ，a y ，+ ( 1 一c o y 2 ) 當y 。y 2 時，有 當y 。芑y 2 時，有 t e x ，a y i + ( 1 - a ) y 2 + 1 】c b ，y 2 + 1 】c 妒o ，y 2 ) t 【x ，a y l + ( 1 一a ) y 2 + 1 】c b ，y 1 + 1 】c 妒o ，y 1 ) 5 故妒0 ，y ) c 伊0 ，y 。) 或妒y ) c 妒o ，y 2 ) ，從而這類多目標映射在二元的e 一似擬凸條件 下非空 注1 2 ：若一妒是c 。一似擬凸的，我們稱妒是c ，一似擬凹的。c 一擬凸的當然是c 一 凸的 特別地 1 ，若y = r 且c = r + = 0 ，+ o o ，那么c 一凸性等價于凸性，c 一似閉凸性等 價于擬凸性。但一般來說，c 一凸不能導(dǎo)出c 一似擬凸 定義1 4 設(shè)y 為線性空間，c 為】，中的凸錐，集值映射妒：彳一2 7 。稱妒是錐真 擬凹的，如果 q x i ，工2 k ，t e l o , 1 ，x = 肛1 + 【1 一f 沁2 ，q p i x ) ，均存在z 。壚“) 或 z 2 妒g 2 ) 使得z 1 + c 或z 2 + c 。 定義1 5 設(shè)e ，h 是h a u s d o r f f 拓撲向量空間，c 是h 中的非空閉凸錐， x c e ，e x ，f ：x 一日是一個映射， ( 1 ) 如果對h 中的任意開集y ，f ( x o ) y 存在z 。在e 中的鄰域u ，使得所有的 x u n x ，有 f ) y + c 則稱f 在工。( 關(guān)于x ) 是上半c 一連續(xù)的； 1 2 ) 如果對h 中的任意開集y ，y 1 3 f ( x 。) ；，存在在e 中的鄰域u ，使得所有 的x u n x ，有 f o ) n ( y + c ) 妒 則稱f 在x 。( 關(guān)于x ) 是下半c 一連續(xù)的。 注1 3 ( 1 ) 如果c = 0 ，則上半c 一連續(xù)性、下半c 一連續(xù)性即為定義1 中的 上半連續(xù)性、下半連續(xù)性。 ( 2 ) 如果集值映射f 為單值映射，即向量值函數(shù)，則上半c 一連續(xù)性、下半c 連續(xù)性均等價于向量值函數(shù)的c 一連續(xù)性。 引理1 1 ( 即廣義截口定理，見( 7 ) ) 設(shè)k 是x 中的凸集，a c k k ，滿足， 6 ( 1 ) 對任惹的x k ， ，工) 爿； ( i i ) 對任意的x k ，a x = y k ：o ，y ) 研是閉集； ( i i i ) 對任意的) ，k ，a y = 忸k ：0 ，_ ) ，) 岳4 是凸集或空集； ( i v ) 存在緊集d c k ，使得對于k 中的任個有限子集，存在k 中的個包 含的緊凸子集“，滿足 l a , f l y k ：o ，y ) e a ，戡三。) c k 那么，存在_ y 。d ，使得k y 。 c x 。 引理1 2 ( 2 2 1 ，p 1 4 4 ) 設(shè)x 和y 及r 如定義1 1 。 i ) r 是閉的對于任何網(wǎng)慨) c 彳，屯一z ，以及網(wǎng)抄。) ，y 。e r ( x o ) ，且y 。_ ) ， 有y r ) 。 i i ) 丁在工點為下半連續(xù)的一砂，0 ) ，對于任何網(wǎng)缸。 c x ，z 。石均存在 網(wǎng) ) ，。 ，y 。r 。) 使得y 。一y 。 定義1 6 4 0 設(shè)g ：k 一2 。是集值映射，如果對于任意有限集“，x ：， c k ， 黼i c o x , ，x 2 ，x o c u a ( ) ，則稱g ) 旨k k m 映射。 j - 1 引理1 3 ( f a n k k m 定理) ( 17 ，p 5 2 5 ) 設(shè)彳是月i “s 如，鏟拓撲向量空間，k 是x 中 的非空子集，g ：k 一2 r 是腳f 映射，對每個x k ，g ) 是z 中的閉集，且至少存在 一點z ，使g ( k ) 是z 中的緊集，則n k g o ) ，西。 引理1 4 1 4 1 設(shè)h 是一個b 鯽n c h 空間，c 是h 中非空閉凸尖錐且i n t c ，0 則， i n t c + c i n t c 引理1 5 設(shè)f ：x 一2 7 在點上半連續(xù)， f ( x 。) 是緊的，如果 矗，兒，( ) ，那么一g g g ： y 。) 的一個子列 y 。 ，使得_ ) ，。一y 。e f ( x 。) 。 證明我們反證法證之。假設(shè)對任意的y f 0 。) 和對任意的 ) ，。 c y 。，d 。) 不 7 收斂到y(tǒng) ，那么一定存在y 的一個鄰域( y ) 和f ，e a ( a 是一個指標集) ，使得v f f ， y 。隹( y ) 。由于f 。) 是緊的，我們得到，存在，o 。) 中的一個有限的點列z 。，z ：， ik 使得f 。) c u n ( z j ) 一r ，令f 。一m a 】( f 礦，i 。) ，則對任意的f 芑i 。，y ；u n ( z i ) = 丁， f 1 1i - 1 另一方面，由f 在x o 點上半連續(xù)，我們知道，存在x 。的一個鄰域n ( x ) ，使得對所有的 x n ( x 。) ，f o ) c t 。z 。一工。意味著存在一個指標f ，使得當i i + 時，x in ( x 。) 隨之，f ) c r 。這樣的話，當i 苫m a x 。，i ) 時，得到y(tǒng) f e f ( x 。) c t 。這樣，出現(xiàn)一 個矛盾。 2 強向量平衡問題 c h e n 和c h e n g 在文 2 3 中利用一種線性數(shù)量化方法給出了一類強向量擬均衡問題 的存在性結(jié)果在本節(jié)通過引入正泛函的方法及f a nk y 不等式定理，證明了一個強向量 平衡問題的存在性 設(shè)x ，y 均為h a u s d o r f f 拓撲向量空間，x 為非空閉凸集，c 為y 中的閉尖凸錐， 且0 c y 其內(nèi)點非空即i n t c 乃。 向量值函數(shù)艫：x x 石一y ，所謂強向量均衡問題是： 求2 - e k 滿足：妒何，y ) 圣一c 0 ，v y z 因為一i n t cc c 田，因此，i 足是強向量均衡問題的解，則i k 顯然是弱 向量均衡問題：妒 ，y ) y ( 一i n t c ) ，k 的解。 定義2 1 設(shè)b c n 是凸集，若o q c l p ) 且c = u z b i a 芑o 6 研，則稱b 是的 一個基若基口是有界的，則稱 r 具有有界基 設(shè)c 的對偶錐( d u a lc o n e ) 為c ，c 的嚴格對偶錐為c “，即： c = p y + ：p x o ，v x c c + = p y + ：p x o , v x c ，且工0 ) 下面我們給出強向量平衡問題解的存在性定理。 定理2 1 設(shè)x 、y ：是h a u s d o r f f 拓撲向量空間，c 是y 中的非空閉凸錐，i j li n t c 廬， 妒：x x x l ，滿足如下條件： ( 1 ) 對任意的x x ，妒0 ，y ) 是關(guān)于y 的一c 一連續(xù)； ( 2 ) 對任意的) ，x ，妒0 ，y ) 關(guān)于x 是c 一凸的； ( 3 ) 對每一個x x ，妒 x ) e c ； 則存在y e x ，使得v x 石，妒y + ) 盛- c 田。 證明根據(jù)對偶錐定義存在p c “，使得f ( x ，y ) p c p ( x ，y ) ，v ( x ，y ) e x x ，從 而將強向量均衡問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量平衡問題，是z x r 的泛函 下面驗證，滿足f 口nk y 不等式的條件 1 由于妒 ，z ) c ，所以，o ，z ) = - p c p ( x ，工) s0 2 對壇x ，。并，( x ，y 。) 的任一鄰域y ，則( 一p ) 一t ) 為妒 ，y 。) 的一個鄰 域，對此鄰域由于妒為一c 一連續(xù)，故存在y 。的鄰域u ( y 。) 使得v y u ( y o ) ，有 妒( x ，y ) ec p ( x ，y 。) + ( 一p ) 一1 ( 礦) - c 兩邊作用一p ，則 ， ，y ) e f ( x ，y o ) + y + ( - p ) ( - c ) ( x ，y o ) + y + r + f f i p c 恒為正，f ( x ，y ) = 一p c p ( x ，y ) ，即，關(guān)于y 下半連續(xù) 3 由于砂并，伊o ，y ) 關(guān)于x 是c 一凸的，即對任意給定的而，x ：，y 工，f 0 ，1 】 有 妒( 覷l + ( 1 一t ) x 2 ，y ) t c p ( x 1 ，y ) + o - t ) q d ( x 2 ，y ) 一c ( 1 ) 對( 1 ) 式兩邊同時作用一p ，則 ( 一p ) 妒( 睇1 + ( 1 - t ) x 2 ，y ) t ( - p ) c p ( x ，y ) + ( 1 一t ) ( - p ) c p ( x 2 ，y ) 一( 一p ) ( c ) o 即，o i 工+ ( 1 - - t ) x 2 ，y ) 己礦 1 ，y ) + ( 1 - t ) f ( x 2 ，y ) ，從而f ( x ，y ) 關(guān)于x x 凹 則，滿足 f a n 不等式( 見推論3 4 ) ，貝u j 3 y e x 使得f ( x ，y + ) s 0 ，v x e x 下證y + 是強向量均衡問題的解。 若否，則存在x e x 使得妒 。，y ) 一c 0 ， 易得- p q o ( x , y + b 0 即，g ，y + ) 0 矛盾 從而：v y e x ，伊0 ，y ) 圣一c 0 故y 為所求強向量均衡問題的解 因為一i n t c c - c 田，因此，i k 是強向量均衡問題的解，則i k 顯然是弱向 量均衡問題：妒 ，y ) y ( 一i n t c ) ，v y e k 的解，從而由定理1 可得： 推論2 1 設(shè)x 、y ：是h a u s d o r f f 拓撲向量空間，c 是y 中的非空閉凸錐，且i n t c 西， t p ：x x y 滿足如下條件： ( 1 ) 對任意的x x ，q ( x ，y ) 是關(guān)于_ ) 的一c 一連續(xù)； ( 2 ) 對任意的y e x ，伊o ，y ) 關(guān)于x g c 凸的； ( 3 ) 對每一個x r = x ，q ( x ，z ) c ； 則存在y x ，使得妒g ，y + ) y ( 一i n t c ) ，慨k ，即y ，為向量均衡問題的解。 在定理1 中，令l ，= r ，c = r + ，可得： 推論2 2( f a n k y 不等式定理) 設(shè)e 為h a u s d o r f f 線性拓撲空間，xce 為 非空緊凸集。中：x x r 滿足： ( 1 ) 對每- - x x ，中0 ，z ) s0 ： ( 2 ) 對每- - x x ，中0 ，y ) 關(guān)于_ ) ，l ，下半連續(xù)； ( 3 ) 對每一_ ) ，k ，巾 ，y ) 關(guān)t x r = _ x 擬凹； 1 0 則存在y e x ，使得巾0 ，y ) s 0 ，v x e k 。 3 帶約束條件的廣義向量均衡問題 1 9 6 1 年，k yf a n 證明了著名的k yf a n 引理，這一結(jié)果是k k m 引理在無限維 空間的推廣；在此基礎(chǔ)上，k yf a n 證明了一個重要的不等式，稱為k yf a n 不等式 有的文獻也稱之為平衡問題。由于k yf a n 不等式的重要性，出現(xiàn)了對它的各種類型的 推廣。一種推廣是減弱基本空間及函數(shù)的條件，如改進緊性、連續(xù)性及凸性條件等；另 一種推廣是向量值函數(shù)及向量集值映射形式的k yf a n 不等式問題，主要有向量平衡問 題和向量k yf a n 不等式。由于它們在向量優(yōu)化問題、向量變分不等式、向量相補問題、 向量對策等方面有重要的應(yīng)用，近年來，越來越多的研究者對向量平衡問題與向量變分 不等式理論進行了深入的研究，得n - ；許多存在性結(jié)果。y a n g 和y u ( 見【4 1 】) 證明了 一般的向量平衡問題解的存在性以及解集的穩(wěn)定性，并且得到了多目標對策的弱p a r e t o n a s h 平衡點集本質(zhì)連通區(qū)的存在性 在這部分，我們在延拓的c 一似擬凸下討論帶約束條件的廣義向量均衡問題與 w a l r a s 一般均衡定理之間的關(guān)系，從而得到了通常g y f a n 不等式 下面我們給出w a l r a s 定理( 2 4 】) 引理3 1設(shè)e 、f 是半范線性空間，k c ，c f 均為非空緊凸集 t ：k 一2 l 為非空凸值的上半連續(xù)，西：k l r 滿足： ( 1 ) 對每一0 ，y ) e k l ，中y ) 在k l 上連續(xù)： ( 2 ) 對每一y e l ，中 ，y ) 關(guān)于x e k 擬凸： ( 3 ) 對每一上e k ，y e t ) ，均有m ，y ) 苫c ( c 為某一常數(shù)) ： 則存在2 e k ，y e t ) ，使得巾 ，y ) c ，v x e k 下面引入不動點定理( 見【1 2 】) 引理3 2設(shè)e 為線性拓撲空間，x c e 為列緊凸子集，z 為一n 維單純 形，p ：x z 連續(xù)，q ：z 一2 x 非空閉凸集且上半連續(xù)，則映射p g ：z 一2 z 存在不動點 下面給出帶約束的廣義向量均衡問題 定理3 1設(shè)e 、f ，z 為賦范空間，x c e 為非空緊凸集、y c f 為非空緊凸 集。t ：x 一2 y 為非空閉凸值的上半連續(xù)映射映像，c ：x 一2 z ，c 為z 中的閉凸錐，且 c z ，巾：x y z 滿足： ( 1 ) 對每一z x ，中0 ，y ) 關(guān)于y e y 是一c 一連續(xù)的： ( 2 ) 對每一y g y ，中 ，y ) 關(guān)y - x e x 為c 一擬凸： ( 3 ) 對每- - x x ，y t ( 曲，均有m ( 工，y ) e z ( 一i n t c ) ： 則存在2 e k ，歹t 伍) ，使得中( x ，歹) z ( - i n t c ) ，v x e k 證明：用反證法。若定理不成立，令丁暇) = k ，并作映射f ：k 一2 x 如下： f ( y ) = 缸e x ：中o ，y ) - i n t c ，v y k 則對任意的y e k ，總有x e x ，使得中 ，y ) 一i n t c ，即y e f 一1 0 ) ，于是 k cuf l ( x ) 。由條件( 1 ) 對每- - x e x ，f 一，( 蓋) ； y k ：中o ，y ) 一i n t c ) 開。 x 猷 下面我們證明f t ( z ) 開 令4 ，= y g k ，中o ，y ) 譬- i n t c ，如果彳y 閉，則f 一1 ( x ) 開 事實上，設(shè) y 。) 是a ，中任一網(wǎng)，且y 。一y y ，由于對任意 口e a ，垂o ，y 。) 圣一i n t c 所以若y 圣4 y ，則存在x + x 使得l i p ( x * y ) 一i n t c 由于 一i n t c 為開集，所以由中o ，y ) 關(guān)于y 為一c 一連續(xù)( 見定義1 5 ) ，可知存在a 。a ，使得 v 口芑a o 有 西g ，) ，。) 中o + ，y ) - cc i n t c - c - i n t c ， 與v x ，m o 。，y ) 圣一i n t c 矛盾因此y e a ，即a ，為閉集合，f t ( x ) 為開集由k 的緊性， 覆蓋uf 一， ) 必有有限子覆蓋，且有連續(xù)單位分解與之相對應(yīng)。即存在肋，x 2 ，x 。e x 使得k c 。0 f 4 ；) ，且有連續(xù)單位分解 覷) 暑1 ，滿足”f l i ( y ) ；1 ，盧i ( y 卜。當且僅當 y ，一1 阮) 。 另設(shè)標準單純形一 e i ，e 2 ，p 一，作映射p ：彭一。如下： n p ( y ) ；f l i ( y ) e i ，y e k 則p 連續(xù)，并可將p ：k 一。延拓為p ：y 一“。 再作映射h ：。一x 為： ( z ) ；z i x i i - 1 v z ；z i e i f 。l 由已知可得t ：x 一2 k 為上半連續(xù)、非空閉凸值?？紤]映射了 。；t i ?，則 t ：n 2 k 上半連續(xù)、非空閉凸值。又因為p ：k a 。連續(xù)。由引理3 2 ，并注意到 l ，緊，可知映射p 丁在n 上存在不動點，設(shè)為z 。；窆島e r ，則鈿p 口o 。) ) ， 即z 。p 口偽( z 。) ) ) 。這也就是說，存在y 。r ( z 。) ) ，使得z 。；p ( y 。) 。于是 h ( z 。) = h ( p ( y o ) ) ，由y 。r 仰( z o ” ，知螄u k 。再由定理中t 滿足的條件， 知巾( q o ) ，y o ) z ( 一i n t c ) ，因此中q ( p ( y 。) ) ，y 。) z ( 一i n t c ) ，即 中( 二盧，( _ ) ，o ) 鼉，y o ) z ( - i n t c )( 1 ) 設(shè)工= 芝聲；( y 。) 鼉，則在工的凸組合中，對任意的f ：l 2 ， ，如果 f l ( y o ) ，0 ，則y 。f 一1 以) ，即 中 。，y 。) 一i n t c，因此由條件( 2 ) 知 中 ，_ ) ，o ) 中( x ，y 。) 一c c - i n t c - c - i n t c ，f = 1 或2 ，或3 ，或，或n 。這與( 1 ) 式矛盾。定理證畢。 定理1 將向量均衡問題推廣到兩個不同空間x 、y 上。當x ；y ，t 為恒等映射 戤；工，v 肖，得到推論3 1 。 推論3 1 設(shè)e ，z 為賦范空間，x c e 為非空緊凸集，c ：x 一2 z ，c 為z 中的閉 凸錐，且c z ，中：x x y z 滿足： ( 1 ) 對每- - x e x ，垂0 ，y ) 關(guān)于y x 是一c 一連續(xù)的； ( 2 ) 對每- - y e x ，西 ，y ) 關(guān)于x e x 為c 一擬凸； ( 3 ) 中o ，工) z ( 一i n t c ) ，v x e x 。 則存在y e x ，使得m ，_ ) ，) z ( 一i n t c ) ，v x z 在定理3 1 中，當z ；r ( 實數(shù)空間) 時，得到推論3 2 。 推論3 2 設(shè)e 、f 為賦范空間，x c e 為非空緊凸集、l ，c f 為非空緊凸集。 t ：x 一2 y 為非空閉凸值的上半連續(xù)映像，中：kx l r 滿足： ( 1 ) 對每- - x e x ，中o ，y ) 關(guān)于y y 上半連續(xù)； 、 ( 2 ) 對每一y ，中0 ，y ) 關(guān)于x k 擬凸： ( 3 ) 對每- - x e k ，y r ) ，均有m g ，y ) 苫c ( c 為某一常數(shù)) ： 則存在2 e k ，羅r 何) ，使得中o ，y ) 芑c ，v x g k 另外，在定理3 1 中，令c = r + ，z = r ，還可以推出推廣的w a l r a s 定理，得到 推論3 3 設(shè)e 、f 為賦范空間，x c e 為非空緊凸集、y c f 為非空緊凸集。 t ：x 一2 y 為非空閉凸集的上半連續(xù)映象，中：x x y r 滿足： ( 1 ) 對每一x e x ，m _ ) ，) 關(guān)于y e y 上半連續(xù)： ( 2 ) 對每一y y ，幣 ，y ) 關(guān)于x g k 擬凸： ( 3 ) 對每- - x e x ，y e t ( x ) ，均有中g(shù) ，y ) 2 0 。 則存在2 e x ，歹r )，使得中o ，歹) 0 , v x x 。 證明：只需在引理2 中令c = 0 即可。 若= f ，x = y ，z ；r 并令t 為恒等映射，則可以推出f a n k y 不等式 定理。 推論3 4 ( f a nk y 不等式定理) 設(shè)e 為h a u s d o r f f 線性拓撲空間，x c e 為 非空緊凸集。中：x x r 滿足： 1 4 ( 1 ) 對每一x z ，中0 ，z ) 之0 ( 2 ) 對每- - x x ，西g ，y ) 關(guān)于y y 上半連續(xù) ( 3 ) 對每一) ，k ，中o ，y ) 關(guān)于x x 擬凸 則存在歹石，使得巾o ，刃0 ，y x e k 。 4 參數(shù)向量均衡問題 向量變分不等式最早是由意大利數(shù)學家g i a n n e s s i1 9 8 0 年在有限維空間中引進并 研究的( 見 2 1 j ) 。此后，陳光亞等人在無限維賦范線性空間中研究向量變分不等式與向 量相補問題。作為變分不等式與相補問題的有意義推廣，b l u m 和0 e t t l i 提出了均衡問題 ( 見 6 ) 。近年來，向量變分不等式與向量均衡問題成為許多數(shù)學工作者感興趣的研究 課題( 見 8 ，1 0 ，1 1 ，2 8 ，4 2 ) 。但就我們所知，關(guān)于參數(shù)向量均衡問題的研究，幾乎沒有。 本文是在c 一似擬凸下引進一類含參數(shù)的向量均衡問題，并討論其解映射的連續(xù)性。 本文所涉及的拓撲空間，都假定是h a u s d o r f f 的。設(shè)a 是一拓撲空間( 作為參數(shù)集合) ， x 和z 是拓撲向量空間，c c z 是頂點在原點的閉凸錐，c z ，且有非空內(nèi)部，i n t c t 彩。 又設(shè)d ：a 一2 。為一集值映射，vt e a ，d ( t ) 為x 中的非空子集；e 為x 中的非空子集， 且e 2 d ) = u d ( t ) 。設(shè)給定的單值向量映射f ：a x e x e z 。對于給定的t a ，所 d 謂參數(shù)向量均衡問題( 簡記為p v e p ) 是：求z e d q l 滿足 ( p v e p ) f q ，x ，y ) 隹一i n tc ，v ye d ( t ) 對于給定的t a ，用s ( t ) 表示( p v e p ) 的解集。 如果v t e a ，d q ) = d ，且f q ，x ，y ) ；f ( x ，y ) ，則( p v e p ) 化為通常的向量均衡問題( 簡 記為v e p ) ，即：求x e d ，滿足 ( v e p ) f ( x ，y ) 硭一i n t c ，砂e d 本節(jié)主要討論，在什么條件下，v t e a ，s q ) ，g ，并且解映射s ：a 一2 。是上半連 續(xù)的：并且證明了對每一，由，組成的函數(shù)空r s j 虱j x 是上半連續(xù)的，進一步討論了參數(shù) 1 5 向量均衡問題的通有穩(wěn)定性接著又在定理4 6 中證明了解映射s ：一一2 。是下半連續(xù)的， 從而在定理4 7 中證明了解映射s ：爿一2 。是連續(xù)的 定義4 1 設(shè)x 為度量空間，x 的子集q 稱為剩余集( r e s i d u a ls u b s e t ) ，如果q 包含 x 的可數(shù)個開稠集的交 由定義4 1 ，易知有限個乃至可數(shù)個集余集的交還是集余集 定義4 2 設(shè)x 為拓撲向量空間，y 為拓撲空間，f ：x 一2 7 為一集值映射，則 ( 1 ) 對每- - x u x ，稱點) ，f ) 是f 0 ) 的關(guān)于x 的本質(zhì)點，如果m y 點處的鄰域 u ( y ) ，存在x 撇2 0 ( x ) ，使得鄰域e ( x + ) n u ( y ) m 對每一x 0 ) 成立 ( 2 ) 稱z x 為關(guān)于y 和f 是本質(zhì)的，如果每一y ， ) 均為f 0 ) 的關(guān)于x 的本質(zhì)點 由上面的定義及下半連續(xù)映射的定義，易知下面的結(jié)論 定理4 1 ( 1 ) 石關(guān)于y 和f 是本質(zhì)的當且僅當f 在x e x 處下半連續(xù)： ( 2 ) 若f 在x 上是上半連續(xù)的，則f 在x 處連續(xù)當且僅當x 關(guān)于x 和f 是本質(zhì)的 對于上半連續(xù)的集值映射，引入如下引理( 參見k l e i n t h o m p s o n 2 5 和 a u b i n - c e l l i n a 1 4 ) 引理4 1 若x 為緊h a u s d o r f f 拓撲空間，集值映射，f ：x 一2 7 上半連續(xù)、閉值當 且僅當g r a p h f 閉 定理4 2 ( f o r t 3 2 ) 設(shè)x 為h a u s d o r f f 拓撲空間，y 為度量空間，集值映射 f ：x 一2 7 為上半連續(xù)、緊值的，即f 是u s c o 映射，則使f 連續(xù)的點構(gòu)成x 中一剩余集 定n 4 3 設(shè)d 是x 中的非空閉凸集，f ：d x d z 滿足： i ) v x e d ，f ( x ，五) z ( 一i i l t c ) ； i i ) v y d ，f ( x ，y ) 關(guān)于x 連續(xù)； i i i ) v x e d ，f ( x ，y ) 關(guān)于y 為c 一似擬凸： i v )非空緊子集k d 以及y 。k ， 使得v x e d k ，有 ，0 ，y 。) 譬y ( - i n t c ) ； 則( v e p ) 在d 中有解，即：玉d 滿g = f ( x ，y ) y ( 一i n t c ) ，坳e d 。 證明 v y e d ，4 - f ( y ) = 缸e d ：f ( x ，y ) y ( 一i n t c ) ) 。 由條件i i ) ，f ( y ) 是d 的閉子集； 由條件i v ) ，f ( y 。) 是k 的緊子集。 由條件i ) 和i i i ) ，容易證明f 是k k m 映射。若不然，則 n 月 n 3 y ，) ，z ，y 。x ，t 。，f 2 ，t 。o ，；1 以及y ；t y jq u f ( y 。) 由此可知 f ( y ，y f ) 圣y ( - i n t c ) ，i ；1 , 2 , - - , n 因此有：f ( y ，y j ) 一i n t c ，i ；1 , 2 ，n 又i ( x ，y ) 關(guān)于y 為c 一似擬凸的，所以有 f ( y ，y ) = f ( y ，z t t y j ) e f ( y ，y ，) 一c 一i n t c c = - i n t c ，這與條件i ) 矛盾。 這樣，由f a n k l ( m 引理，n f ( ) ，) ；a 。易見，任何x n f ( ) ) 均是( v e p ) 在d 中 v e d y e o 有解。 推論4 1 設(shè)d 是x 中的非空緊閉凸子集。，：d x d z 滿足上面定理4 3 的條件 i ) 一i i i ) ，則( v e p ) 有解。 定理4 4 假設(shè) i ) d ：a 一2 。是連續(xù)的，且vt a ，d ( t ) 是x 中的非空緊凸集 i i ) ，：a x e e z 連續(xù)