北 京 交 通 大 a 卜 am 士 攀 位 論 文 基 于螺旋wi t的 4 - r r c r *a * * x 器j k i r v w*a *究 a b s t r a c t wi t h t h e l o w - d o f p a r a l l e l b e i n g u s e d f o r m o re a n d m o r e i n d u s t r i a l a p p l i c a t i o n s , t h e s t u d y o f i t h a s r e c e n t l y b e c o m e a m a i n f o c u s a m o n g t h e r o b o t i c s r e s e a r c h c o m m u n i t y . a l a w - d o f p a r a l l e l m a n i p u l a t o r w i t h id e n t i c a l s e r i a l l i m b s i s u s u a l l y a n o v e r c o n s t r a i n e d m e c h a n i s m . t h e t r a d it i o n a l m o b i l i t y a n a l y s i s t h e o ry m a y l e a d s t o a w r o n g r e s u l t f o r th e m o b i l i t y a n a l y s i s o f a n o v e r c o n s t r a i n e d m e c h a n i s m . o n t h e o t h e r h a n d , t h e n o n l in e a r a n d c o u p l e d e q u a t i o n s r e l a t e d t o t h e t r a d i t i o n a l m o b i l i t y a n a l y s i s a r e u s u a l l y d i f fi c u lt t o s o l v e d . i n t h i s p a p e r , a s y s t e m a t i c m o b i l i t y a n a l y s i s a p p r o a c h b a s e d o n s c r e w t h e o ry i s p r o p o s e d , a n d a p p l i e d t o a n o v e l 4 - d o f p a r a l l e l m a n i p u l a t o r w it h i d e n t i c a l s e r i a l rr c r - l i mb s . f i r s t l y , a n o v e r v i e w o f t h e r e c e n t r e s e a r c h a b o u t t h e 4 - d o f m a n i p u l a t o r i s p r e s e n t e d . t h e r e s e a r c h a c h i e v e m e n t a n d m e t h o d s o f t h o s e s c h o l a r s a r e t h e n c o n c lu d e d , a t l a s t c o m e s o u t m y a n a l y s i s i d e a . t h e n t h e t h e o ry o f s c r e w u s e d i n t h e a n a l y s i s i s i n t r o d u c e d , t h e e m p h as e s o f w h i c h c o m p r i s e o f t w i s t a n d w r e n c h w it h t h e i r c o rr e la t i v e c h a r a c t e r i s t i c s . n e x t a n a n a l y s i s a p p r o a c h b a s e d o n s c re w t h e o ry i s p r o p o s e d . t h e d o f n u m b e r o f t h e p l a t f o r m a n d t h e c o r re l a t iv e m o b i l i t y i n f o r m a t i o n a r e p r o v i d e d t h e i n v e r s e k i n e m a t i c s a n d f o r w a r d ( o r d i r e c t ) k i n e m a t i c s a r e p re s e n t e d a n d p r o v e d t o b e c o rr e c t i n n u m e r i c a l e x a m p l e s . t h e j a c o b i a n m a t r i x w h i c h p r o v i d e s a t r a n s f o r m a t io n f r o m t h e v e l o c i t y o f t h e e n d - e ff e c t o r i n t h e c a r te s i a n s p a c e t o t h e a c t u a t e d j o i n t v e l o c i ti e s i s d e s c r i b e d , s o d o e s t h e s i n g u l a r i t y a n a l y s i s . f i n a l l y , a v i r t u a l p r o t o t y p i n g i s b u il d e d i n t h e s o f t w a r e o f a d a m s , a c c o r d i n g l y t h e r e l e v a n t m e a s u r e r e s u l t s s u c h a s s t r u c t u r a l c h a r a c t e r i s t i c s c u r v e s , d i s p l a c e m e n t c u r v e s , v e l o c i t y c u r v e s a n d d y n a m i c c u r v e s a r e p u t f o r w a r d a d d i t i o n a l l y , a c o n c l u s i o n i s m a d e a n d t h e f u rt h e r r e s e a r c h d ir e c t i o n s a r e p o i n t e d o u t k e y wo r d : 4 - d o f p a r a l l e l m a n ip u l a t o r , s c r e w t h e o ry , k i n e m a t i c s , v i rt u a l p r o t o t y p i n g t e c h n o l o g y 北 側(cè) 欠 交 通 大 學(xué) 籠 盯 t 學(xué) 七 比 論 文基 芍 卜 歲 民 旋 理 論 的 4 一 r r c r并聯(lián) 機(jī)移 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) z i f 究 第一章緒論 1 . 1課題的背景 機(jī)器人學(xué)是一門綜合性的新興學(xué)科，它涉及機(jī)械工程學(xué)、電氣工程學(xué)、 微電子工程學(xué)、 計(jì)算機(jī)工程學(xué)、 控制工程學(xué)、 信息傳感工程學(xué)、 聲學(xué)工程學(xué)、 仿生學(xué)以及人工智能工程學(xué)等多門尖端學(xué)科。 工業(yè)機(jī)器人是機(jī)器人學(xué)的一個(gè) 分支， 它代表了機(jī)電一體化的最高成就。 隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展， 工業(yè)機(jī) 器人已成為柔性制造系統(tǒng) ( f m s ) 、自 動(dòng)化工廠 ( f a ) 、計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng) ( c i m s ) 的自 動(dòng)化工具， 廣泛運(yùn)用于點(diǎn)焊、 弧焊、 噴漆、 搬運(yùn)、 裝配等工作。 廣泛應(yīng)用工業(yè)機(jī)器人， 不僅可提高產(chǎn)品的質(zhì)量與數(shù)量， 而且能夠充分保障人 身安全， 改善勞動(dòng)環(huán)境， 減輕勞動(dòng)強(qiáng)度， 提高勞動(dòng)生產(chǎn)率， 節(jié)約原材料消耗 以及降低生產(chǎn)成本。 機(jī)器人的運(yùn)用情況， 是一個(gè)國(guó)家工業(yè)自 動(dòng)化水平的重要 標(biāo)志。 傳統(tǒng)的工業(yè)機(jī)器人又稱為串聯(lián)機(jī)器人， 普遍運(yùn)用于各種工業(yè)生產(chǎn)中。 但 在一些新興的應(yīng)用領(lǐng)域內(nèi) 如飛行員三維空間訓(xùn)練的模擬器和駕駛模擬器) ， 串聯(lián)機(jī)器人剛度低、 精度小、 動(dòng)力性能不好和實(shí)時(shí)反解困難的缺點(diǎn)使其無(wú)法 適應(yīng)相應(yīng)的工作。 并聯(lián)機(jī)器人的出 現(xiàn)彌補(bǔ)了這一缺陷， 極大地?cái)U(kuò)展了 機(jī)器人 的運(yùn)用范圍。 目前并聯(lián)機(jī)器人的研究領(lǐng)域主要包括 6自由度并聯(lián)機(jī)器人和少自由 度 并聯(lián)機(jī)器人 ( 自由度少于6 )。由于6自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)受限于狹小的 工作空間、 復(fù)雜的機(jī)械設(shè)計(jì)以 及運(yùn)動(dòng)學(xué)、 動(dòng)力學(xué)求解困難等原因， 再加上工 業(yè)應(yīng)用中 很多時(shí)候并不需要機(jī)構(gòu)自 由 度為6 的 情況， 所以 少于6自 由 度的并 聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的研究逐漸成為研究的主流， 而介于3 自由 度和6自由 度并聯(lián) 機(jī)器人之間的4自由度并聯(lián)機(jī)器人也逐漸進(jìn)入并聯(lián)機(jī)器人的研究領(lǐng)域。 在很 多工業(yè)實(shí)際應(yīng)用中， 如機(jī)床制造業(yè)、 激光對(duì)準(zhǔn)、 衛(wèi)星天線的信號(hào)追蹤， 零件 的搬運(yùn)安裝、 數(shù)控機(jī)床換刀、 光碟安放等等的場(chǎng)合， 如果采用6自由度的并 聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)， 會(huì)因鉸約束、 支鏈千涉、 奇異位形等的影響， 使其實(shí)現(xiàn)姿態(tài) 的能力會(huì)隨著其位置空間的增加而縮減， 難以 滿足多坐標(biāo)數(shù)控作業(yè)的實(shí)際要 求， 而 且 還會(huì) 增 加 機(jī) 器 人結(jié) 構(gòu)和 控 制 方 面的 復(fù) 雜 程度。 而 如果 采用3 自 由 度 的并聯(lián)機(jī)器人又不能滿足操作的自 由度要求， 因此4 個(gè)操作自由 度可以 彌補(bǔ) 6自由 度的過(guò)于臃腫以 及3 自由 度的略顯不足帶來(lái)的 缺點(diǎn)， 在此列舉兩個(gè)例 子: 運(yùn)用之一是用 4自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)取代傳統(tǒng)的5 軸聯(lián)動(dòng)機(jī)床。 目 前的一般 切削過(guò)程只需要控制五個(gè)軸的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)， 外加主軸本身的轉(zhuǎn)動(dòng)就可以達(dá)到 6 北 京 文 國(guó) 吸 大 . r - ; 眨 士 習(xí) t 之 論 文基 -* 旋 理 論 的 4 - r r c r并 聯(lián) * a器 人 二 瓦動(dòng) 學(xué) 研 究 個(gè)自由度， 以加工其工作空間內(nèi)的任意自由曲 面。 因此可以設(shè)想用四自由 度 并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)， 給主軸提供四個(gè)自由 度的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)， 同時(shí)由裝夾工件的工作 臺(tái)實(shí)現(xiàn)一個(gè)方向的移動(dòng)， 就可以很方便地做成結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、 易于控制的五軸聯(lián) 動(dòng)數(shù)控機(jī)床。 運(yùn)用之二是設(shè)計(jì)4 個(gè)自由 度的飛行模擬器。 在飛行運(yùn)動(dòng)模擬中， 轉(zhuǎn)動(dòng)自 由 度起著主要的作用， 而移動(dòng)自由度則起著相對(duì)較小的作用， 但這并不是說(shuō) 移動(dòng)自由 度沒(méi)有作用， 因?yàn)轱w行運(yùn)動(dòng)中的起伏和平拋仍有不可或缺的顯著意 義。 因此， 在設(shè)計(jì)飛行運(yùn)動(dòng)的模擬平臺(tái)時(shí)， 可以選擇使用三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度而 只使用一個(gè)平動(dòng)自由 度，以 取代傳統(tǒng)的6自 由 度飛 行模擬器 0 目 前， 根據(jù)有關(guān)文 獻(xiàn)2 1 ， 現(xiàn)有公 開的 并聯(lián) 機(jī)構(gòu)有8 7 種， 其中3 . 6 自 由 度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)各占4 0 % , 4自由 度的占6 % , 5自由 度的占3 . 5 % , 2自由度的 并聯(lián)機(jī)構(gòu)占1 0 . 5 % 0隨著現(xiàn)代工業(yè)的不斷發(fā)展， 4自由 度的應(yīng)用場(chǎng)合將會(huì)越 來(lái)越多， 對(duì)其的 研究將變得越來(lái)越有必要。 基于此， 本論文將以 一種新型的 4自由度并聯(lián)機(jī)器人作為研究對(duì)象， 對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)的分析， 并對(duì)研究方法 進(jìn)行探討，以此作為該并聯(lián)機(jī)器人應(yīng)用和研究的基礎(chǔ)。 1 . 2研究現(xiàn)狀 1 . 2 . 1結(jié)構(gòu)非對(duì)稱的4 自由度井聯(lián)機(jī)器人的研究現(xiàn)狀 從一般的角度來(lái)說(shuō)， 可以 把4自由 度并聯(lián)機(jī)器人分為兩種: 結(jié)構(gòu)非對(duì)稱 和結(jié)構(gòu)對(duì)稱。 所謂的結(jié)構(gòu)非對(duì)稱指的是連接并聯(lián)機(jī)構(gòu)上下平臺(tái)的各個(gè)支鏈不 完全相同， 其中支鏈的結(jié)構(gòu)包括了運(yùn)動(dòng)副組成和支鏈連桿的尺寸等要素。 目 前的4 自由 度并聯(lián)機(jī)器人的研究主要集中 在結(jié)構(gòu)非對(duì)稱這一領(lǐng)域。 w a n g 和g o s s e l i n (3 ) 在1 9 8 8 年 對(duì) 一 個(gè)具 有4 個(gè)r u s 支 鏈 和一 個(gè)r s 輔助 支鏈的4 自由 度并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了 運(yùn)動(dòng)學(xué)和奇異位形的 研究; h e s s e l b a c h e t a l 4 1在1 9 9 8 年 設(shè) 計(jì) 了 由 兩 條 非 對(duì) 稱 支 鏈 組 成的 一 個(gè)4 自由 度并聯(lián)機(jī)器人，并以 此來(lái)完成凸 面玻璃面板的切割; r o l l a n d 5 1 在1 9 9 9 年 運(yùn)用了 類似于d e l t a 機(jī) 器人所采用的設(shè)計(jì)方法， 即平行四邊形的方法設(shè)計(jì)了 兩個(gè)機(jī)器人k a n u k 和m a n t a ， 它們都擁有一個(gè)轉(zhuǎn) 動(dòng)和 3 個(gè)平動(dòng)自由度; l e n a r c i c , s t a n i s i c 和 p a r e n t i - c a s t e l l i 6l在2 0 0 0 年設(shè)計(jì)了具有i 個(gè)p s 支鏈和3 個(gè)s p s 支鏈組成的一個(gè)4自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，以 此對(duì)人 類肩膀 動(dòng)作進(jìn)行仿真; 我國(guó)中科院 沈陽(yáng)自 動(dòng)化研究 趙明 揚(yáng)等人7 1在1 9 9 9 年曾 提出 一種4自 由 北 京 交 通 大 學(xué) 祠 吐 士 學(xué) 位 論 文 落 子 螺 旋班 論 的 4 一 r e c r并 聯(lián) 案 幾 月 浮 人 出 尾 動(dòng) 學(xué) vf 究 度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并進(jìn)行了位置分析。2 0 0 2 年又提出一種混合型4自由 度并聯(lián) 平臺(tái) 機(jī)構(gòu)18 1 ， 該機(jī)構(gòu)的 動(dòng) 平臺(tái)能 夠?qū)?現(xiàn)兩個(gè)方向 的 移動(dòng)以 及繞兩個(gè)方向 軸的 轉(zhuǎn)動(dòng)，并基于此種機(jī)構(gòu)成功研制出一臺(tái)五坐標(biāo)并聯(lián)機(jī)床; c h e n e t a 1 19 1 在2 0 0 2 年 提出了 一個(gè)具有2 個(gè)p r s 支鏈 和2 個(gè)p s s 支 鏈 的4自由度并聯(lián)機(jī)器人的設(shè)想; 范守文、 徐禮拒p a 等人在2 0 0 2 年提出一種基于4 自 由 度空間并聯(lián)機(jī)構(gòu) 的混聯(lián)型虛擬軸機(jī)床的新結(jié)構(gòu)， 該新型虛擬軸機(jī)床具有工作空間大、 可實(shí)現(xiàn) 姿態(tài)角大、位置與姿態(tài)解禍等優(yōu)點(diǎn)。 總之， 目 前國(guó)內(nèi)外對(duì)于這一領(lǐng)域的研究仍沒(méi)有形成普遍適用的理論和方 法， 主要是通過(guò)給6自由度的并聯(lián)s t e w a r t 平臺(tái)添加約束支鏈以限制一些不 需要的自由度， 從而獲得4自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)， 也就是說(shuō)這些并聯(lián)機(jī)構(gòu)主要 還是基于設(shè)計(jì)者本身的研究經(jīng)驗(yàn)而得出的。 同時(shí)這樣的設(shè)計(jì)方法往往帶來(lái)不 對(duì)稱的工作空間， 并且使得整個(gè)機(jī)構(gòu)變得復(fù)雜， 從而給設(shè)計(jì)、 制造等等都帶 來(lái)了負(fù)面的影響。因而，采用對(duì)稱的結(jié)構(gòu)將是一個(gè)有效的解決方案。 1 . 2 . 2對(duì)稱結(jié)構(gòu)的4 自由度井聯(lián)機(jī)器人的研究現(xiàn)狀 結(jié)構(gòu)對(duì)稱指的是機(jī)器人具有4 個(gè)完全相同結(jié)構(gòu)的支鏈， 一般情況下每個(gè) 支鏈都對(duì)應(yīng)一個(gè)驅(qū)動(dòng)。 但是，由于其特殊的支鏈分布， 并聯(lián)機(jī)構(gòu)將成為過(guò)約 束機(jī)構(gòu)， 也就是說(shuō)這種并聯(lián)機(jī)構(gòu)將無(wú)法用傳統(tǒng)的機(jī)構(gòu)分析方法進(jìn)行研究， 這 也正是4自由度并聯(lián)機(jī)器人所占的比例較小的原因之一。 目前國(guó)內(nèi)外對(duì)于這類機(jī)器人的研究同樣也只是處于理論和實(shí)驗(yàn)階段， 同 時(shí)更多的注意力集中在如何采用更有效的研究理論和方法來(lái)解決對(duì)稱結(jié)構(gòu) 帶來(lái)的過(guò)約束等傳統(tǒng)分析方法所不能解決的問(wèn)題。目前的研究成果舉例如 下: c o m p a n y 和p i e r r o t l l l】在1 9 9 9 年 提出 了 一 個(gè) 種 新 型 的 具 有3 個(gè) 平 動(dòng) 和1 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的4自由度對(duì)稱并聯(lián)機(jī)器人， 以此為基礎(chǔ)， 通過(guò)對(duì)支鏈的運(yùn)動(dòng)副進(jìn)行 各種組合和更替而衍生出一系列名為h 4 的并聯(lián)機(jī)器人。這種并聯(lián)機(jī)器人的 4 個(gè)支鏈均是由兩根相同的p u u 支鏈組合而成的一個(gè)平行四邊形機(jī)構(gòu)， 然后 4 個(gè)這樣的平行四邊形機(jī)構(gòu)通過(guò)一個(gè)共同的轉(zhuǎn)軸與動(dòng)平臺(tái) 相連接， 從而實(shí)現(xiàn) 動(dòng)平臺(tái)的3 個(gè)平動(dòng)和1 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。 z l a t a n o v 和g o s s e l i n 1 2 1 在2 0 0 1 年 設(shè) 計(jì)了 一 種 采 用4 個(gè) 完 全 相 同 的 r r r r r 支鏈組成一個(gè)4自由度并聯(lián)機(jī)器人， 每一個(gè)支鏈的5 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副中， 其 中3 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終相交于同一點(diǎn) 即其他每個(gè)支鏈中3 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線也相交在這一點(diǎn)) ， 支鏈中的其余2 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線則始終彼 北 京 交 通 大 學(xué) 不 員 月士 學(xué) 位 論 文a 6 _j 9 1 l a m ，論的 4 - r r c r a f p 7 1 c s 7 a e 動(dòng) 學(xué)布 開 究 論在解決空間 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn) 題上， 尤其是自由 度計(jì)算和奇異性分析上有其獨(dú) 特的優(yōu)勢(shì)， 因此， 本論文將以螺旋理論作為并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的分析工具， 輔 以機(jī)構(gòu)空間矢量的幾何綜合推導(dǎo)以及線幾何等等理論， 從而完成新型4自由 度并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析主要包括一下幾個(gè)方面: 機(jī)構(gòu)自由度分析、 運(yùn)動(dòng) 學(xué)正反解、 雅可比 矩陣分析、 奇異位形分析以及工作空間分析等。 因此本論 文將完成以下工作: 運(yùn)用螺旋理論進(jìn)行機(jī)構(gòu)的自由 度分析。 建立機(jī)構(gòu)的支鏈和動(dòng)平臺(tái)的螺旋 表達(dá)式， 即把機(jī)構(gòu)中的力、 運(yùn)動(dòng)和約束等物理量轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的螺旋和反螺旋 表達(dá)式， 然后對(duì)這些螺旋表達(dá)式進(jìn)行分析運(yùn)算， 從而得出 機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的自 由 度數(shù)目以及自由度的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)。 建立機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)運(yùn)算模型， 求解運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解。 對(duì)機(jī)構(gòu)的空間幾何模型 進(jìn)行矢量化， 根據(jù)機(jī)構(gòu)支鏈的運(yùn)動(dòng)副之間的結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)關(guān)系， 進(jìn)而求解機(jī)構(gòu) 矢量方程，從而得到代表機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 運(yùn)用螺旋理論進(jìn)行雅可比分析。 建立機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)和各個(gè)支鏈的 運(yùn)動(dòng)螺旋 系， 并以 此把動(dòng)平臺(tái)的速度參數(shù)與支鏈的驅(qū)動(dòng)參數(shù)聯(lián)系起來(lái)， 進(jìn)而計(jì)算得到 機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣. 對(duì)機(jī)構(gòu)的所有可能的奇異位形進(jìn)行分析。 分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)所有可能出 現(xiàn)的 奇異位形情況， 包括支鏈奇異、 平臺(tái)奇異以及驅(qū)動(dòng)選擇奇異， 進(jìn)而確定出現(xiàn) 奇異位形時(shí)機(jī)構(gòu)位形所要求的幾何條件。 運(yùn)用計(jì)算機(jī)仿真軟件進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真。 采用a d a m s 軟件對(duì)所研究的4自由 度并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行虛擬樣機(jī)設(shè)計(jì)， 定性地驗(yàn)證機(jī)構(gòu)的自由 度性質(zhì)以及運(yùn)動(dòng)軌 跡的正確性，并對(duì)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行初步探討。 1 . 4課題的學(xué)術(shù)及工程意義 本課題進(jìn)行的是新型4自由度并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析， 是一種新的嘗 試和探索， 也是繼續(xù)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)和其他控制研究的理論基礎(chǔ)。 課題研究過(guò)程 中 所涉及的各種問(wèn) 題的解決方法不僅針對(duì)于該新型4 自 由 度并聯(lián)機(jī)器人， 而 且對(duì)其他4 自 由 度并聯(lián)機(jī)器人的研究同 樣具有很好的 參考價(jià)值。 可以說(shuō)， 本 課題的學(xué)術(shù)意義不僅在于課題本身， 更重要在于豐富了少自由 度并聯(lián)機(jī)器人 的研究，并為此提供了詳實(shí)的研究范例。 理論的研究只有運(yùn)用于實(shí)踐才能創(chuàng)造出價(jià)值， 這也是課題研究的最終目 的。通過(guò)對(duì)該4自由度并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，然后制造出其樣機(jī)模型， 以此為操作平臺(tái)開發(fā)一種協(xié)作式并聯(lián)機(jī)床。 這就是課題研究的設(shè)想， 也正是 課題在實(shí)際工程中的意義。著十分重要的實(shí)際意義。 5 北 京 交 通 .4 c 月 戶 花 國(guó) 創(chuàng) 匕 學(xué) 士 之 $ 侖 文基 七 卜 場(chǎng) 名 兔 a.論 的 4 - r r c r并聯(lián) 機(jī) 器 人j 毛動(dòng) 之 卜 拍 開 究 i . 5論文的組織結(jié)構(gòu) 基于上述思想， 作者進(jìn)行了研究工作， 分別體現(xiàn)在論文的各章節(jié)中。 整 篇論文共分九章，各章主要內(nèi)容如下所述: 第一章為緒論， 首先簡(jiǎn)要介紹了目 前國(guó)內(nèi)外對(duì)4自 由度并聯(lián)機(jī)器人的研 究現(xiàn)狀， 指出了課題研究的必要性， 然后闡明了全文的基本思想、 研究?jī)?nèi)容、 研究意義內(nèi)容安排及組織結(jié)構(gòu)。 第二章介紹了課題研究的理論基礎(chǔ)。對(duì)螺旋理論的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行了介 紹， 解釋了后續(xù)所用到的相關(guān)概念。 第三章描述了該新型4自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特性， 并進(jìn)行機(jī)構(gòu)的自由 度性質(zhì)分析。 第四章對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行數(shù)學(xué)模型化， 建立運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解方程， 并以數(shù)值 實(shí)例驗(yàn)證方程的正確性。 第五章分析機(jī)構(gòu)的雅可比和奇異位形情況。 第六章運(yùn)用仿真軟件建立并聯(lián)機(jī)器人的計(jì)算機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)仿真曲 線，定性的描述了機(jī)構(gòu)的各項(xiàng)指標(biāo)。 第七章為結(jié)束語(yǔ)， 總結(jié)全文的研究工作， 闡明經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)， 并就今后的研 究方向進(jìn)行了展望。 北 京交 通 大 4 比 4x t 學(xué) 位 論 文蕊 弓 二 螺 k 免 3a 論 的 4 - r r c r并 耳 關(guān) 機(jī) 器 人運(yùn) 動(dòng) 4l ff究 第二章螺旋理論 剛體在三維空間的一般運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的組合， 而螺旋表達(dá)式則可以 把這種組合表示為繞同一根軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)， 并且在表達(dá)式中指明了該軸 線的空間方位。 因此， 對(duì)空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)而言， 螺旋理論很適合用于進(jìn)行運(yùn)動(dòng) 學(xué)的分析。 本章將介紹螺旋理論的基礎(chǔ)知識(shí)【 1 4 1 . 1 5 1 ， 以 及與后續(xù)自由 度分析 等研究?jī)?nèi)容相關(guān)的理論。 螺旋理論形成于 1 9 世紀(jì)。 首先 l . p o i n s o t 在 1 9 世紀(jì)初通過(guò)對(duì)剛體上力 系的簡(jiǎn)化，得到具有旋量的力矢與共線的力偶矢，這是一組對(duì)偶矢量。 j . p l i i c k e r 確定了空間直線方向、位置的六個(gè)坐標(biāo)，這被稱為p l u c k e r 線坐 標(biāo)。 1 9 0 0 年， r . s . b a l l 完成了 其經(jīng)典著作 螺旋理論 ， 并在書中討論了 復(fù) 合約束下剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)。 但在整個(gè)2 0 世紀(jì)前半葉，該理論幾乎無(wú) 人問(wèn)。 1 9 4 8 年， f . n . d i m e n t b e r g 在分析空間機(jī)構(gòu)時(shí)， 應(yīng)用了該理論。 而1 9 7 8 年k . h . h u n t 所著的 運(yùn)動(dòng)幾何學(xué)則是螺旋理論的 現(xiàn)代發(fā)展。 此后， 螺旋 理論逐漸為機(jī)構(gòu)學(xué)所重視， 得到迅速發(fā)展， 螺旋理論成為空間機(jī)構(gòu)分析的重 要 理 論 116 1 2 . 1線矢量 ( l i n e v e c t o r ) 如果空間一個(gè)矢量被約束在一條空間位置確定的直線上， 這個(gè)被直線約 束的 矢 量就 稱線矢量， 用對(duì)偶矢量表 示為( s , s 0 ) ， 其中s 稱為 對(duì)偶矢量的 原 部，s o 為 對(duì) 偶 矢量的 對(duì) 偶 部。s 為 上 述 空間 矢 量， s o = r x s 稱 為 線 矩， 具 有 長(zhǎng)度單位，r 是由原點(diǎn)至該空間直線上任一點(diǎn)的矢徑， 當(dāng)， s = 1 時(shí)為單位線 矢， s o 表 示該 線 矢量 在空 間的 位置。 不 難 看出 ， s - s o = 0 ， 而 這正 是 線 矢 量 的特點(diǎn)。 2 . 2螺旋或旋量 ( s c r e w ) 在一般情況下， 對(duì)偶矢量的原部與對(duì)偶部不是正交的， 這不正交的對(duì)偶 矢 量 稱為 螺旋， 也 叫 作 旋 量， 記 為( s , s 0 ) , s - s o t- 0 。 當(dāng)s s = 1 為 單 位螺 旋， 比 值:( s - s o ) / ( s s ) 二 h 是原點(diǎn)不變量， 稱為螺旋的節(jié)距， 具有長(zhǎng)度單位。當(dāng) h 二 0 ，為線矢量;當(dāng)h 二 。，為偶量，記為( 0 ; s ) e螺旋可以經(jīng)由變換 ( s ; s 0 ) = ( s ; s 0 - h s + h s ) = ( s ; s o + h s ) 得到一個(gè)作用 線 位置r x s = s 0 - h s ， 即 表 示 該螺旋的 軸線位置， 或?qū)憺榫€矢量是( s ; s 0 - h s ) 。 若螺旋的兩矢量表示為標(biāo) 量， 稱p l ii c k e r 坐標(biāo)。記為( l i a l np , q , r ) o 螺旋的兩部分也可以以 對(duì)偶標(biāo) 記 結(jié)合起來(lái)，記為9 二 s + 任 s 0 。 7 北 京 交 場(chǎng) 大 學(xué) 祠 嘆 士 學(xué) 亡 r t 侖 .11a, 似 旋 理 論 的 4 - r r c r并聯(lián) 案 幾 器人 出 更 勺 才 習(xí)毛 不 開 月 趕 2 . 3螺旋的物理意義 1 .剛體的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)用角速度線矢來(lái)表示， 即用角速度大小與表示軸線的單 位線 矢， ( s ; s o ) 之 積。$ = w ( s ; s o ) = to ， 十 。， 。 表示， 其中 ， 是 單 位 矢 量， 表 示了 轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的 方向，s . s = 1 ; w = o ) s 是 轉(zhuǎn)動(dòng)角 速 度矢量; s 。 是， 對(duì)原點(diǎn) 的 線矩， 且與， 為 正交， s 。 二 ， x s , s s o = 0 o 線矢的 第 二項(xiàng)可以 寫為. 。 = 。r x s 二r x w= v o 這表明了剛體空間旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)線矢的第二項(xiàng)， 是剛體上與原點(diǎn)。 重 合點(diǎn)的速度， 此速度正是旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的切向速度。 因 此， 構(gòu)成剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) 線 矢 的 對(duì) 偶 矢 量 是 角 速 度 矢 量 毋 ， 和 剛 體 上 與 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 重 合 點(diǎn) 的 線 速 度 v . 剛體 的 瞬時(shí) 純 轉(zhuǎn) 動(dòng) 運(yùn)動(dòng) 的p l ii c k e r 坐 標(biāo)為w ( s ; s o ) 當(dāng) 坐 標(biāo)原點(diǎn) 與 轉(zhuǎn) 動(dòng) 軸重 合時(shí)， v , = 。 ， 轉(zhuǎn) 動(dòng)線 矢 變 成w ,$ = rv s + e o ， 寫 成p l ii c k e r 坐 標(biāo) 為佃沖 2 .剛體的瞬時(shí)移動(dòng) 剛體的瞬時(shí)移動(dòng)用移動(dòng)線矢來(lái)表示。當(dāng)剛體2 相對(duì)剛體1 作移動(dòng)運(yùn)動(dòng)， 速度v 沿單位矢量s 方向，則速度矢量表示為v = v s ，此單位矢量s 通常是 選在移動(dòng)副導(dǎo)路的中心線方向。 然而對(duì)移動(dòng)運(yùn)動(dòng)， 剛體2 上所有的點(diǎn)都具有 相同的移動(dòng)速度p ，即是說(shuō)將矢量s 平行移動(dòng)并不改變剛體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，所 以移動(dòng)速度矢量是自由矢量。 剛體的移動(dòng)運(yùn)動(dòng)， 也可以看成是一個(gè)瞬時(shí)微轉(zhuǎn)動(dòng)， 此轉(zhuǎn)動(dòng)軸線與s 并位于距s 無(wú)限遠(yuǎn)的平面內(nèi)，此轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的p h ii c k e r 坐標(biāo)為( 0 ; s ) 正交， 或者 ( 0 , 0 , 0 ; 幾m, n ) 。繞此軸線的瞬時(shí)微轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，就可以 表示成v ( 0 ; 樸或者 ( o ; v ) a速度矢量v 是自由 矢量。 3 .剛體的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng) 當(dāng)剛體2 相對(duì)于剛體1 既有相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)， 又有相對(duì)移動(dòng)時(shí)， 這時(shí)候剛體通 過(guò) 回 轉(zhuǎn) 副 繞 軸 線s . 旋 轉(zhuǎn)， 瞬 時(shí) 轉(zhuǎn) 動(dòng)的 線 矢 為co , ( s i ; s o m ) o 這 里( s l ; s o i) 為 單 位 線 矢; 剛 體又 通過(guò) 移 動(dòng) 副 沿3 s 作 相對(duì) 移 動(dòng)， 瞬時(shí) 移 動(dòng) 矩 矢 為v z ( 0 ; s s ) ， : 為 單位矢量。 剛體的絕對(duì)瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)應(yīng)該是此兩運(yùn)動(dòng)的合成， 按旋量代數(shù)和計(jì)算， 合成旋量的原部和對(duì)偶部應(yīng)分別是轉(zhuǎn)動(dòng)、移動(dòng)兩矩矢的原部和對(duì)偶部的和， 合 成 旋 量 如 表 示 成 叭 燕 二 僻 s 十 件 才 其 中 下 標(biāo)i 表 示 合 成 的 絕 對(duì) 瞬 時(shí) 運(yùn) 動(dòng) 參 量， 其 原 部 及 對(duì) 偶 部 就 是co ; s 二 cu b s a 和w i 對(duì) “ s o l + 、 ， : 。 可見， 合 成 運(yùn)動(dòng)的 方向 矢 量， ， 與s ， 相 同， 即 平 行 于氣 ; 合 成 運(yùn) 動(dòng) 轉(zhuǎn) 動(dòng) 角 速 度c u , 等于 轉(zhuǎn) 動(dòng) 角 速 度q l, 。 合 成 運(yùn) 動(dòng) 第 二 項(xiàng)w ; s 仍 為 速 度 矢 量， 但 此 合 成 速度矢量是兩項(xiàng)之和， 不再是旋轉(zhuǎn)的切向速度。 也可以 把這個(gè)瞬時(shí)合成運(yùn)動(dòng) 寫 成 q ), $ i = (0 , 1 - v 6 ， 式 中 w , = cu b s , ， y a 二 - , s , 。 顯 然 此 時(shí) 剛 體 的 絕 對(duì) 瞬 時(shí) 凡 北 京 交 通 大 月 卜 布 阮 士 學(xué) 亡 t 論 文基 于 螺 旋 理 論 的 4 - r r c r井 聯(lián) 機(jī) 器 入 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 籠 開 究 運(yùn) 動(dòng)， 已 不 再 是 純轉(zhuǎn) 動(dòng)， 旋量的 兩部 分 不 滿 足正 交 條 件， 即co , . v 0 2 0 。 此時(shí) 絕 對(duì) 瞬時(shí) 運(yùn)動(dòng) 可以 分 解為( m , : 討 ) = 6o , ( s , ; 對(duì)) 二 ra( s , ; 對(duì) 一 h , s , ) + co , ( o o 氣 s , ) ， 其中s , . 才二八 ， 式中 右 邊的 第一 項(xiàng)碼 ( s , ;對(duì) 一 氣 s ) 是 繞s ， 軸 線 的 純轉(zhuǎn) 動(dòng)( 因 括 號(hào)中 的 第 二 項(xiàng) 只 是原 點(diǎn) 重 合點(diǎn)的 切向 速 度分 量) . s ， 軸與s . 平 行， 其 軸線 方 程可己 寫為， x s ; =對(duì) 一 氣 s ; ， 式中的 第 二 項(xiàng)a , ( 0 ; h , s ) 是 純 移 動(dòng) 分 量， 移 動(dòng) 速 度 大小 為v, =r h , ; 而 移 動(dòng) 速 度的 方向 也 是 沿 著s 方向 這樣合 成運(yùn)動(dòng)是繞s ， 的 轉(zhuǎn)動(dòng) 和沿s 的 移動(dòng)， 也就是通常所說(shuō)的 運(yùn)動(dòng)學(xué)上的 螺 旋運(yùn)動(dòng) ( s c r e w ，或者t w i s t ) . 4 .剛體上的作用純力 與剛體瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)的表示相似，剛體上的作用力也可以用線矢量來(lái)表示。 如剛體上有一個(gè)作用力i， 則其可以 寫為純量f與單位矢量: 之積。 此力對(duì) 坐標(biāo)原點(diǎn)之 矩c a 可以 表示為純量i 與 單位矢量s 之線 矩3 。 之 積。 因 此作 用 在 剛 體 上的 力如以 單 位線 矢表 示， 為i$ =./ s +e f s 。 式中蘇 為 單 位 線矢， s . s = 1 , : 與s 。 正 交， s . s,=0; 用線 矢 表示 剛 體 上的 作 用力， 同 時(shí) 表明 了 作用在剛體上力的大小、方向 和作用線。 力線矢寫成p h i c k e r 坐標(biāo)形式為t ( ， : s , ) 或 者( f; c . ) ， 即 r $ = i+e c o 式中c o 為 力i 對(duì)原 點(diǎn) 之 矩， 即c u 二f s o =f r x s . 當(dāng) 力 過(guò)原點(diǎn)， 力對(duì) 原點(diǎn) 之 矩為 零，c o = 0 ， 此時(shí) 表 示此力的p l u c k e r 坐標(biāo)為 ( f ; 0 ) a 5 .剛體上的作用力偶 在 剛體 上 作 用的 兩 個(gè) 大小 相 等、 方向 相 反的 平 行力a i f l 構(gòu) 成一 個(gè)力 偶， 其 力 偶 矩可以 表 示為c=( r 2 - r , ) x f = ， 顯 然此 力 偶矩 矢 量 是 在這 個(gè)力 偶平面的法線方向。 若s 是平面的 法線方向上的任一個(gè)單位矢量， 它與力偶 矩按右手螺旋一致， 力偶矩矢量就可以 表示為c二cs 。 表示力偶矢的矢量 c或者cs 是自由 矢量， 它在剛體內(nèi)自由 地平行移動(dòng)而不會(huì)改變它對(duì)剛體作 用地效果。自由矢量地齊次坐標(biāo)為 ( 0 ; s ) ， 這樣力偶矢可以表示為c=c ( 0 ; s ) 。 力偶c也可以認(rèn)為是一個(gè)作用在剛體上的 “ 無(wú)限小的力”引起對(duì)原點(diǎn) 的矩，該力作用線與s 正交， 在無(wú)限遠(yuǎn)的平面上，這條線的m c k e r 坐標(biāo)是 ( 0 ; s ) ，所以力偶可表示為c ( 0 ; s ) a 6 ，剛體上作用的力螺旋 一般情況下作用于一個(gè)剛體的空間力系 都可以 簡(jiǎn)化為一 個(gè)力f ( s , ; s o ) 和 一 個(gè) 力 偶c z ( 。 ; s , ) ， 此力 線 矢 和力 偶矢 相 互間 可 能 有 任 意的 方向 此力 線 矢 及力 偶 矢 又可 按 旋 量 代 數(shù) 和結(jié) 合 為 一 個(gè) 和旋 量廠 $ ， 二 廠 s , + 廠 對(duì) ， 式 中 s 及 夕 是 單 位 矢 量 和 單 位 旋 量 ， s . s : = 1 , 按 照 旋 量 和 的 規(guī) 則 ， 其原 部 和 對(duì)偶 部 分 別 為f , s 二f , s , 和f 對(duì)= f , r , x s , +c z s z 。 同 樣可以 把 和 北 京 交 通 a 學(xué) a 成士 4 卜 七 之 含 侖s 憶基 于喇 眼 澳 曳 理論 的 4 - r r c r并聯(lián)機(jī) 器人運(yùn)動(dòng) 學(xué)研 究 旋 量 的 表 達(dá) 式 進(jìn) 行 分 解 f 式 二 f , ( s , ; s 0 - h , s 卜 f , ( 0 ; h ,. s , ) ， 式 中 右 邊 第 一 項(xiàng) 是 個(gè) 純力 沿s ; 軸 線 作 用， 而關(guān) ( ， 尹 一 權(quán) s ; ) 是 力關(guān) ， ， 對(duì) 原 點(diǎn) 之 矩， s ; 的 軸 線 位 置 可 由 r x s , 二 s ;0 - h , s ; 決 定 。 式 中 右 邊 第 二 項(xiàng) 是 一 個(gè) 純 力 偶f , h , s ; ， 矢 量 也 沿s 方向。 因 此力偶 矢與 力線矢 共線， 皆 取s 、 方向。 力與 力 偶這樣的 組 合稱為力螺旋( w r e n c h ) ，力螺旋的軸線位置方程為 ( x 廠s ; =f , r , x s , +c z s : 一廠c z( s , . s ; )s , 其 p i iic k e r 坐 標(biāo) 為( f , s , ; f r . s , + f r x s , + c 2 s z 一 a c , ( s ; . s ; ) s , ) 。 總之， 剛體上作用的空間任意力系， 最后都可以 合成為一個(gè)有確定位置 的 力 螺 旋， 即 一 個(gè)力 線矢關(guān) ( s ; ; s o ， 一 八 ， ， ) 和與 其 共 線的 力 偶 矢廠 ( 0 ; 權(quán) s ; ) . 事實(shí)上，在剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)和靜力學(xué)中的物理量可以分成以下幾類: 1 )矢量只要求考慮大小和方向的量，如運(yùn)動(dòng)學(xué)的剛體移動(dòng)速 度，靜力學(xué)中的力偶矢量。 它們都只需給出大小及方向 就能確定該物理量。 2 )線矢量 需要同時(shí)給出大小、 方向和矢量的作用線， 才能確定該 物理量。如角速度矢量、力矢量都是這樣的物理量。 3 )旋量當(dāng)需要從全局上或整體上描述物體的受力或運(yùn)動(dòng)時(shí)， 就 要采用力螺旋或者運(yùn)動(dòng)螺旋這樣的物理量， 它們都是旋量。 這兩種都是由一 個(gè)矢量和一個(gè)線矢結(jié)合構(gòu)成。 一般多個(gè)矢量之和仍為矢量， 但多個(gè)線矢量之 和不是線矢量而是旋量。 表 2 - 1各種物理量的比較 節(jié)距運(yùn)動(dòng)學(xué)靜力學(xué) 旋量h ; r x s + 孟 )( s ; r x s + h s ) 運(yùn)動(dòng)螺旋 ( ro ; r x ( 0 + h 動(dòng) 力螺旋 ( f ; r x f+ h f ) 線矢量 h二0角速度線矢佃; r x m )力線矢( f ; r x f ) 自由矢 量 h二閏移動(dòng)速度矢( 0 ; u )力偶矢( o ; c ) 北 京 3 9 5 勝口 t 學(xué) n 目 d 匕 學(xué) 位 論 義基 勺 卜 暇 旋 理論 的 4 - r r c r并 聯(lián) 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) e 開 究 2 . 4螺旋系 ( $ 1 $ 2 .$ )的線性相關(guān)性 當(dāng) 螺旋線性相關(guān)時(shí)， 必可找到一組不全為零的 數(shù)。 ，i = 1 , 2 , . . . , n ， 使得 i co ， = 。 ， = s ; + e s 夕 ， i = 1 , 2 藝 w ,s 一 。 二 ， n 。按螺旋的加法法則，有 y w s ) 一 0 ( 2 - 1 ) 當(dāng)坐標(biāo)系由0 點(diǎn)移至a 點(diǎn)，各螺旋變?yōu)?為確定經(jīng)坐標(biāo)系變換后螺旋的相關(guān)性， ( ， ; 5 a ) ， 其 中 s ,a = s , + a o x s 。 乃分析其線性組合: e 0) ,$ a = 藝q j;s ,+ e yw ,s a 一 l o , s + 。 仁 藝 。 s ,0 + a o x w ;s ( 2 - 2 ) 將( 2 - 1 ) 代入( 2 - 2 ) ，三項(xiàng)均為零，所以 有 y-0) ， 尸 = 0 這表明對(duì)原坐標(biāo)系為線性相關(guān)的螺旋系， 對(duì)新坐標(biāo)系仍保持線性相關(guān)。 對(duì)本問(wèn)題不難推導(dǎo)出其對(duì)稱命題， 即: 線性無(wú)關(guān)的坐標(biāo)系， 經(jīng)坐標(biāo)變換后仍 為線性無(wú)關(guān)， 這表明螺旋系的相關(guān)性與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。 由 此， 在分析機(jī) 器人的奇異位形時(shí)， 可以 選擇最方便的坐標(biāo)系。 ( p l i i c k e r 坐標(biāo):對(duì)于給定的笛卡爾直角坐標(biāo)系，和該坐標(biāo)系下的兩個(gè) 點(diǎn)a : 二 ( x t , y , z 1 ) , a 2 = ( c v y 2 i z 2 ) 。 則由a , . a ; 兩點(diǎn) 所確定的 線矢量 用 pliic ker “ 標(biāo) “ 以 表 示 “ (l, m , n ; p , q , r ) , 其 中 ! 一 目 ， / 一 :一井 、 一 1., 1,z2 ， 一 (y1, z1y2, z2 ， 。 一 iz1,x2z2, x2 ， ， 一 (xi , y1 1)x2, y2 如前所述螺旋是兩個(gè)矢量的對(duì)偶組合， ( l , m, n ; p , q , r ) ，有六個(gè)標(biāo)量。螺旋系的相關(guān)性 p h i c k e r 坐標(biāo)表示的矩陣的秩來(lái)分析 寫為 p h i c k e r 坐標(biāo)為 ，就可以由螺旋系的 lesesesleewe.eseslwe|11 m m2 q 1 , r , , q 2 , r 2 ， .人 ll l , m 從 ， ， 忿， 凡 r.esesweeeesl = 了j 北 京 交 通 大 毫 卜 碩 州 卜 學(xué) 公 比 z 侖文 基 -3 w a x論 的 4 - r r c r撲聯(lián) 機(jī) 習(xí) 備 夕 昭 尾 動(dòng) 學(xué)研 究 螺旋的p h i c k e r 坐標(biāo)有六個(gè)分量， 顯然三維空間 線性無(wú)關(guān)的螺旋最多6 個(gè)。線矢量是螺旋的特例，當(dāng)組成螺旋的兩個(gè)對(duì)偶矢量的點(diǎn)積為零時(shí)， s - s , = 0 螺 旋退 化為線 矢 量。 線矢 量的p l u c k e r 坐 標(biāo)也 有六 個(gè)分量， 所以 三維空間線性無(wú)關(guān)的線矢量也有六個(gè)， 見表2 - 1 。 下面分析一些特殊幾何條 件下的螺旋的相關(guān)性。 序號(hào)幾何特點(diǎn) 圖示線矢量螺旋 1共軸條件 12 2共面平行 23 3 平面匯交 / s f- 7 224 4 空間平行壓 了 3 石 5共面左三夕 3 5 6 空間共點(diǎn) 矛 3( 6 ) 7 匯交點(diǎn)在兩面交 線上的兩平面匯 交線束妙 ( 3 ) 8 共面共點(diǎn)， 匯交點(diǎn) 在平面上 l z t7 ( 4 ) 9 有一條公共直線 a ，有一條公 共交線 4 5 4 4 ( 6 ) 北 京 交 通 大 均 戶 石 反 士 學(xué) 位 論 文基 月 螺 旋 3. 論 的 4 - r r c r并 聯(lián) 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) e 開究 b .有兩條公 共交線 c .有三條公 共交線 3 1 0 交公共線矢a-a 5 1 1 平行平面且無(wú)公 垂線 5 5 1 2 無(wú)公共交線， 空間 交錯(cuò) 非奇異線叢 ( l i n e a r c o m p l e x ) 55 1 3 三維空間任意情 況 66 ( 1 ) 共軸條件 任何兩個(gè)線矢量共軸則必為線性相關(guān)。 而共軸條件下最大線性無(wú)關(guān)組的 螺旋 ( h $ 0 ) 數(shù)為2 。 共軸螺旋之任何組合的 合螺旋仍在該軸線上。 ( 2 ) 共面平行 使諸螺旋同置于y z 平面內(nèi)，且平行z 軸， 這樣螺旋必有如下形式 $ = ( 0 , 0 , n ; p , 0 , r ) 式中第5 分量為零， 是因?yàn)榻耘cy 軸相交， 對(duì)y 軸無(wú)線距; 第6 分量不 為零，因h $ 0 ， 矩陣j 中3 列元素為零，因此最大線性無(wú)關(guān)數(shù)為3 。對(duì)于 平面平行的線矢量，第6 分量也為零，所以最大線性無(wú)關(guān)組為2 e ( 3 ) 共面共點(diǎn) ( 平面匯交) 此時(shí)將所有螺旋值置于x y 平面內(nèi)，且原點(diǎn)為匯交點(diǎn)， 螺旋形如: 9 = ( l , m, 0 ; p , gr ) 式中，因?yàn)閔 # 0 ，所以p - r不為零， 又經(jīng)過(guò)原點(diǎn)r= 0， 因此共面 共點(diǎn)條件下最大線性無(wú)關(guān)組的螺旋數(shù)為4 。 任何過(guò)匯交點(diǎn)位于該平面上的螺 旋都可由此 4 螺旋線性組合而成; 而該平面上不過(guò)該匯交點(diǎn)的螺旋不可能由 此4 螺旋線性組合得到， 因?yàn)樗? 個(gè)螺旋的第6 分量都為零。 對(duì)于平面匯 交的線矢量，其 p i ii c k e r 坐標(biāo)的后三項(xiàng)也都為零，所以最大線性無(wú)關(guān)數(shù)為 i 寶 北 京 交 通 大 學(xué) 碩 士 學(xué) 位 金 侖 j 憶 基藝 卜 螺 旋 理 論 的 4 - r r c r井 聯(lián) 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué)z j f 究 ( 4 ) 空間平行 使坐標(biāo)系的z 軸與螺旋平行，其 p i i i c k e r 坐標(biāo)中，第 1 , 2 兩元素為 零，使矩陣j 的前二列元素為零，秩為4 。對(duì)于線矢量，p l i i c k e r 坐標(biāo)的第 6 項(xiàng)也為零，對(duì)z 軸無(wú)線距，因此，秩為3 。廣泛使用的全鉸鏈平面機(jī)構(gòu)， 就是這種類型， 最大線性無(wú)關(guān)的線矢量數(shù)為3 ， 有三個(gè)反螺旋，公共約束為 3 . ( 5 ) 共面情況 對(duì)共面條件下， 將諸螺旋置于坐標(biāo)系的x y 面內(nèi)， 這樣螺旋的p i id c k e r 坐標(biāo)的第3 分量必為零，矩陣的秩為5 0所以共面下最大線性無(wú)關(guān)數(shù)為5 0 同時(shí)， 對(duì)比平面匯交情況， 可以看到至少有一個(gè)螺旋不過(guò)原點(diǎn)， 因而平面上 任何螺旋都可以由此5 個(gè)螺旋經(jīng)過(guò)線性組合得到。