c o n s i d e r i n g d i m e n s i o ne f e c t s c a n d i d a t e ： a d v i s or ： c o l l e g eo fm e c h a n i c a le n g i n e e r i n g z h e j i a n gu n i v e r s i 夠o f1 c h n o l o g y a p r i l2 0 1 0 浙江工業(yè)大學(xué) 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所提交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨立進行研究工作 所取得的研究成果。除文中已經(jīng)加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含其他個人或 集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不含為獲得浙江工業(yè)大學(xué)或其它教育機構(gòu)的 學(xué)位證書而使用過的材料。對本文的研究作出重要貢獻的個人和集體，均已在文中 以明確方式標(biāo)明。本人承擔(dān)本聲明的法律責(zé)任。 作者簽名： 日期：撕1 年f 月了日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留 并向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本 人授權(quán)浙江工業(yè)大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢 索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。 本學(xué)位論文屬于 1 、保密口，在年解密后適用本授權(quán)書。 2 、不保密“ ( 請在以上相應(yīng)方框內(nèi)打“、”) 作者簽名： 導(dǎo)師簽名： 壬差 易姒 日期：馴口年 日期：仞戶 f 瑪) | 日 加( 1 日 ) 浙江工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 考慮尺寸效應(yīng)的橫觀各向同性壓電結(jié)合材料 軸對稱界面端的奇異行為 摘要 界面是結(jié)合壓電材料極為重要的微觀結(jié)構(gòu)，目前壓電結(jié)合材料的結(jié)構(gòu)和應(yīng)用中存在許 多的軸對稱界面端和圓柱界面裂紋，通常是材料破壞的起點。由于界面端的應(yīng)力奇異性和 電位移奇異性，要建立適合結(jié)合材料的強度和可靠性的評價方法，必須首先求出表征界面 端的參數(shù)，如應(yīng)力奇異性次數(shù)，電位移奇異性次數(shù)，應(yīng)力角函數(shù)和電位移角函數(shù)以及應(yīng)力 強度系數(shù)等。 本文提出了一種分析橫觀各向同性壓電結(jié)合材料軸對稱界面端的奇異應(yīng)力場和奇異 電位移場的特征值法。主要工作和成果如下： 1 基于各向同性彈性結(jié)合材料，壓電導(dǎo)體及壓電壓電結(jié)合材料空間軸對稱問題的舊 坐標(biāo)系( p ，沙，z ) 下的基本方程，通過坐標(biāo)變換，導(dǎo)出了新坐標(biāo)系( ，y ，p ) 下的基本方程。基 于軸對稱界面端奇異場的漸近展開一階近似假設(shè)，利用分離變量形式的位移和電勢角函 數(shù)，導(dǎo)出了關(guān)于應(yīng)力和電位移奇異性指數(shù)的奇異性特征方程，并用無網(wǎng)格法對其進行了數(shù) 值離散。求解離散化的特征方程，可以得到橫觀各向同性結(jié)合壓電材料軸對稱界面端的各 階應(yīng)力奇異性指數(shù)、電位移奇異性次數(shù)、相應(yīng)的位移角函數(shù)、電勢角函數(shù)、電位移角函數(shù) 和應(yīng)力角函數(shù)。 2 討論了徑向尺寸與軸對稱界面端的應(yīng)力奇異性支配區(qū)域大小的相對比值對奇異行 為的影響。結(jié)果表明當(dāng)半徑比奇異性支配區(qū)域大小高兩個數(shù)量級以上時，特征值法得到的 一階近似結(jié)果與準(zhǔn)一階的解析解的結(jié)果一致；而半徑相對奇異性支配區(qū)域的大小低于兩個 兩級時，準(zhǔn)一階近似的理論結(jié)果不能準(zhǔn)確描述奇異點附近的應(yīng)力奇異行為，此時，必須要 考慮尺寸效應(yīng)的影響。 關(guān)鍵詞：軸對稱界面端，應(yīng)力奇異性，電位移奇異性，特征值 浙江工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 s i n g u l a i u t ya ta x i s y m m et i u c i n t ei 汛c e w e d g eo fb o n d e dd i s s i m i l a rt r a n s v e r s e i y i s o t r o p i cp i e z o e l e c t r i cm 鋼 e i u a l s c o n s i d e 砒n gd i m e n s i o ne f f e c t s a bs t r a c t i i l t e r f a c e sa r ei m p o r t a n tm i c r o s 仃u c t u r e so fp i e z o e l e c t r i cc o m p o s i t e s m a n ya x i s y m m e t r i c i m e m c e 、) ，e d g ea i l da x i s y 吼e t r i cc y l i l l “c a 】i n t e 而c e c r a c k se x i s ti 1 1t l l es t n l c t u r e so f p i e z o e l e c 研cc o m p o s i t e s ，a 1 1 dt 1 1 e s eu s u a l l yb e c o m et l l ei 1 1 i t i a l 蛐a g ep o i m s ，a sar e s u l to ft h e s i l l g u l a rs 仃e s sf i e l da i l dm es i l l g u l 2 l re l e c t r i cd i s p l a c e m e n tf i e l dn e a r 也ea x i s y m m e 講ci m e r f a c e w e d g e s ，廿1 ep a r a m e t e r ss u c h a sm eo r d e ro fs t l e s s s i i l g u l 撕t y a i l dt h eo r d e ro fe l e c t r i c d i s p l a c e m e n ts i n 則撕夠，也ea i l g l e 缸1 c t i o n o fs 廿e s s 觚de l e c t r i cd i s p l a c e m e 她a i l d 也e c o e 硒c i e n to fs t r e s si i l t e n s i 夠m u s tb er e s o l v e d ，血o r d e rt of - m dr e l i a b l ee v a l 咖i v em e m o dw 址c h a p p l yt op i e z o e l e c t r i cc o m p o s i t e s a ne i g e n v a l u em e 廿1 0 dw a sp r o p o s e dt 0s t u d yt h es i i l g u l a rs 廿e s s 矗e l da n d 廿l es i n g u l a r e l e c t r i cd i s p l a c e m e n tf i e l da tt l l ea ) 【i s y 玎：1 i i l e t r i ci n t e r f a c eo f 也ep i e z o e l e c t r i cc o m p o s i t e s t b e m 勾o rw o r ko f t h i sp 印e ri sa sf o l l o w s ： b a s e do nm e 劬d a m e n t me q u a t i o n so f l es p e c i a la x i s y m m e t r i cp r o b l eo f 也et r a i l s v e r s e l y i s o n o p i cp i e z o e l e c 硒cm a t e r i a l s a n dt l l ef i r s t - o r d e ra p p r o x i m a t i o na s s u m p t i o 瑪m ed i s c r e t e c h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o nw a sd e r i v e db yl l s i n go ft h ed i s p l a c e m e n tf u n c t i o n sa n de l e c t r i cp o t e n t i a 劬c t i o n s 晰t l ls e p 甜a t e dv 撕a ：b l e sa i l d 吐1 em e s m e s sm e 也o d t h ee i g e n v a l u ei sr e l a t i v et o 也e o r d e ro fs 仃e s ss i n g u l 撕夠a n de l e c 仃i cd i s p l a c e m e n ts i n g u l 撕夠，a n dt l l ea s s o c i a t e de 迢e n v e c t o ri s w i 也r e s p e c tt ot h e s 仃e s sa n g u l a rv a r i a t i o n sa n de l e c 伍cd i s p l a c e m e n ta n g u l a rv 撕a t i o n s n l e o r d e ro fs 仃e s ss i n g u l 撕夠a 1 1 de l e c t r i cd i s p l a c e m e n ts i n g u l 撕夠，t h ea s s o c i a t e dd i s p l a c e m e t 、也e e l e c t r i cd i s p l a c e m e n t 、也es t r e s sa n dt l l ee l e c t r i cp o t e m i a la 1 1 9 u l a rv a r i a t i o l l sw a so b t a i n e d t h ei n n u e n c e so fd i m e n s i o i l l e s sp a r 鋤e t e r 萬，w k c hd e n o t i i 培也er a t i oo ft 1 1 ed i s 伽c et o i n t e r f a c ew e d g et o 也es i g u l a rd o m i n a t e dr e g i o nw e r ed i s c u s s e d t h er e s u l t ss h o w ：w h e n 廿l er a t i o 浙江工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 i sm o r et h a l lt v 舊o r d e r so fm a g 面m d e 也ep a r a m e t e r so b t a i n e db ye i g e n v a l u em e t l l o da r ei ng o o d a 纊e e m e n tw i t l lt b o s eb y 丘r s t - o r d e ra p p r o x i m a t i o n ，w h e n 也er a t i oi sl e s sm a j l 似oo r d e r so f m a g l l i t u d e ，也ep a r 鋤e t e r so b t a i l l e db yf i r s t o r d e r 印p r o x i m a t i o nc a nn o td e s c r i b et h es i n g u l a r s t r e s sa i l de l e c t r i cd i s p l a c e m e n tn e a rt l l es i n g u l 撕夠p o i n t s ，a n dt 1 1 e nt h ei n n u e n c e so f 艿m u s t b ec o n s i d e r e d k e yw o r d s ：a x i s y m m e t r i cn e 血c ew e d g e ， s 仃e s s s i n g u l 撕吼e l e c t r i cd i s p l a c e m e n t s i n g u l a r i 吼e i g e n v a l u em e t h o d 浙江工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 目錄 摘要j i 第1 章緒論。5 1 1 研究背景及意義5 1 1 1 研究背景5 1 1 2 研究意義6 1 2 研究現(xiàn)狀與分析6 1 2 1 關(guān)于平面問題的研究7 1 2 2 空間軸對稱問題7 1 2 3 壓電問題8 1 3 本文的主要工作。9 第2 章 2 1 2 2 2 3 2 4 第3 章 3 1 3 2 3 3 第4 章 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 第5 章 5 1 雙材料軸對稱界面端的奇異性特征方程1 0 空間軸對稱問題的基本方程1 0 2 1 1各向同性彈性材料1o 2 1 2 橫觀各向同性壓電材料1 1 軸對稱界面端模型13 奇異性特征方程2 1 ，j 、結(jié)2 4 奇異性特征方程的無網(wǎng)格法求解2 5 無網(wǎng)格法2 5 3 1 1 無網(wǎng)格法函數(shù)近似2 5 3 1 2 形函數(shù)構(gòu)造2 6 3 1 3 權(quán)函數(shù)2 6 軸對稱界面端的奇異性特征方程2 8 3 2 1 各向同性彈性結(jié)合材料軸對稱界面端2 8 3 2 2 壓電導(dǎo)體結(jié)合材料軸對稱界面端3 】 3 2 3 壓電壓電結(jié)合材料軸對稱界面端3 3 ，j 、結(jié)3 4 j 辜例3 5 材料屬性3 5 各向同性彈性材料3 6 壓電導(dǎo)體結(jié)合材料3 9 壓電壓電結(jié)合材料4 3 d 、結(jié)4 6 結(jié)論與展望4 7 l ；論4 7 浙江工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)佗論文 5 2 展望一4 7 參考文獻4 8 j 【謝5 1 攻讀學(xué)位期間發(fā)表的論文5 1 2 浙江工業(yè)大學(xué)碩十學(xué)位論文 符號說明付丐況明 離奇異點的距離 界面端角坐標(biāo) 奇異點奇異應(yīng)力 奇異點電位移 奇異點位移 電勢 奇異特征值 位移和電勢角函數(shù) 應(yīng)力角函數(shù) 電位移角函數(shù) 彈性常數(shù) 壓電常數(shù) 介電常數(shù) 彈性模量 泊松比 l 鋤e 常數(shù) l 鋤e 常數(shù) 界面端尺寸 界面結(jié)合角 材料1 界面端角 、 印 蜥 以 ， d 吖 口 吶 s k 寫 e 勺 勺 v 力 牡 仍 浙江工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 妒2 材料2 界面端角 材料七所屬區(qū)域內(nèi)的離散節(jié)點個數(shù) ( 9 ) 函數(shù)中心固定于只且相應(yīng)于區(qū)域七的第，個離散點的插值函 。( p ) 未知的節(jié)點電勢和位移角函數(shù)列向量 ：( 9 ) 插值函數(shù)行向量的一階導(dǎo)數(shù) ：( 9 ) 插值函數(shù)行向量的二階導(dǎo)數(shù) ，同時在 態(tài)，這種 應(yīng)后，壓 的相互轉(zhuǎn) 化。居里兄弟發(fā)現(xiàn)：電石、羅息鹽和石英晶體這類壓電晶體，在外力作用下變形時，會在 其特定的相對表面上產(chǎn)生異號電荷。這種有應(yīng)變或應(yīng)力產(chǎn)生的極化現(xiàn)象稱為正壓電效應(yīng)。 此外，當(dāng)在電介質(zhì)極化方向施加電場，這些電介質(zhì)也會產(chǎn)生幾何變形，即電致伸縮效應(yīng)機 械能轉(zhuǎn)化為電能，稱為逆壓電效應(yīng)。正壓電效應(yīng)和逆壓電效應(yīng)統(tǒng)稱為壓電效應(yīng)。在近代科 學(xué)中，壓電效應(yīng)被嚴(yán)格定義為電介質(zhì)在純粹機械力作用下發(fā)生極化而在兩相對表面間出現(xiàn) 大小相等，符號相反的束縛電荷。 壓電材料已經(jīng)廣泛的應(yīng)用在我們周邊生活當(dāng)中，種類甚多。大致可以分為五類：1 單 晶，如石英。2 薄膜，如氧化鋅。3 聚合物，如p v d f 。4 陶瓷，如p z t 。5 復(fù)合材料。 一個多世紀(jì)以來，壓電材料的制造以及工程上的應(yīng)用技術(shù)得到了長足的發(fā)展，從最早 的石英晶體，復(fù)合鈣鈦礦結(jié)構(gòu)類壓電陶瓷材料等，發(fā)展到今天廣泛應(yīng)用的固溶壓電材料( 鋯 鈦酸鉛p z t ) ，聚氟乙烯( p v d f ，p v f 2 ) ，壓電材料的性能也越來越優(yōu)越，如p ) f 及其 共聚物的化學(xué)性能極其穩(wěn)定，且柔性很好，可廣泛用于制造薄膜制品，而且由于其聲阻易 于水及生物體的聲阻相匹配，被廣泛應(yīng)用于超聲換能器，生物傳感器，熱釋電器等器件。 利用壓電現(xiàn)象，人們可以進行精密器件的設(shè)計，如傳感器，超聲馬達(dá)等。近幾十年來，新 型壓電材料不斷涌現(xiàn)，壓電器件廣泛應(yīng)用于各技術(shù)領(lǐng)域，它們在智能材料和智能結(jié)構(gòu)中扮 演著重要角色。其中壓電陶瓷因易于制成任何形狀、組成方式可多樣化、耐高溫、耐酸和 高機電耦合系數(shù)等特點，因此大量運用于軍事、光電、醫(yī)學(xué)、資訊、動力產(chǎn)品等，如智慧 型結(jié)構(gòu)中的感測器與制動器，在實際應(yīng)用中主要起著精確定位，振動分離和噪聲控制的作 用。為了達(dá)到有效地控制結(jié)構(gòu)的目的，往往要在執(zhí)行器上施加大的交變電壓，致使壓電材 料表現(xiàn)出很強的非線性，同時也使壓電陶瓷容易發(fā)生斷裂和失效。 5 浙江1 = 業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 壓電材料因具有機電耦合的特性，常與其他材料組成各種不同結(jié)構(gòu)，由于設(shè)計上的要 求，使該結(jié)構(gòu)會有幾何不連續(xù)或材料不連續(xù)的現(xiàn)象，將導(dǎo)致在界面端奇異點處的應(yīng)力及電 位移變成無窮大，即應(yīng)力和電位移是奇異的。如果結(jié)構(gòu)在服役期間受到不利環(huán)境或載荷的 影響，該處極易誘發(fā)損傷，形成裂紋核最終導(dǎo)致整個結(jié)構(gòu)失穩(wěn)。如圖1 1 所示。軸對稱結(jié) 構(gòu)的奇異點s ( 圖1 1 虛線圓區(qū)域) 將會造成該結(jié)構(gòu)發(fā)生裂紋或脫層的破壞現(xiàn)象，所以為了防 止結(jié)構(gòu)產(chǎn)生破壞的現(xiàn)象，必須先了解應(yīng)力分布狀況與結(jié)合結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為。 應(yīng)力奇異性次數(shù)可能為實數(shù)或者復(fù)數(shù)。若為復(fù)數(shù)，則奇異點處的應(yīng)力會有振蕩現(xiàn)象。 ( a ) ! 材料1 ，一一、x 、 夕 材料2 ? 一，7 一。、， ( b ) 圖1 1軸對稱雙材料結(jié)構(gòu)幾何示意圖 1 1 2 研究意義 當(dāng)壓電材料和其他的材料復(fù)合時會出現(xiàn)界面端，界面端往往是材料破壞的起點，所以 研究界面端的奇異行為對預(yù)測材料的破壞有重要的意義。由于壓電復(fù)合材料的復(fù)雜性，對 其理論方程求解更為復(fù)雜，本文應(yīng)用數(shù)值解法得到界面端的應(yīng)力奇異性指數(shù)和電位移奇異 性指數(shù)以及相應(yīng)的應(yīng)力角函數(shù)，從而得到壓電復(fù)合材料界面端應(yīng)力和電位移的分布狀況。 1 2 研究現(xiàn)狀與分析 近些年來，結(jié)合材料和復(fù)合材料的應(yīng)用己遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出其早期作為功能材料的范圍，而逐 漸被當(dāng)作結(jié)構(gòu)材料越來越廣泛地應(yīng)用在航天、航空、核電站、汽車、電子等方面，而壓電 復(fù)合材料在工業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用的也越來越廣泛，所以對其界面端的奇異行為研究，對預(yù)測材料 的破壞有很重要的意義。然而，目前界面力學(xué)的研究主要集中在平面問題方面，近年來， 浙江工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 空間軸對稱和三維問題的研究，也引起了眾多研究者的興趣。 1 2 1關(guān)于平面問題的研究 1 9 5 9 年w i l l i 鋤s 【1 】首先利用特征展開法】分析了界面裂紋，并且得到了裂紋尖端的應(yīng) 力奇異性指數(shù)是一個復(fù)數(shù)，得到了裂紋尖端存在振蕩奇異性的結(jié)果，開創(chuàng)了界面力學(xué)研究 的先河。隨后，e r d o g a n 【4 矧，e n 9 1 a 1 1 d 【7 1 ，s i h 和硒c e 【8 】，鼬c e 和s i h 【9 】等人采用各種方法研 究了平面問題中的界面裂紋問題；e n 9 1 a i l d 【l o 】還對平面問題中的圓弧形界面裂紋進行了分 析。c o m r 血o u 【1 1 】首先提出了在界面裂紋尖端附近引入光滑接觸區(qū)域的模型，從而消除了裂 紋面相互嵌入的不合理現(xiàn)象，得到了沒有振蕩應(yīng)力奇異性的結(jié)果。砌c e 【l2 】提出小范圍屈服 的條件下，可以用彈性振蕩應(yīng)力場的晃面裂紋強度因子來對界面裂紋進行強度評價。 1 9 6 3 年z a k 和w i l l i 鋤s 【1 3 j 又利用特征展開法研究了裂紋垂直遇到雙材料的裂尖應(yīng)力奇 異性。1 9 7 1 年b o g y 【1 4 利用m e l l i f l 變換對裂紋從任意方向遇到雙材料界面的平面問題進行 了研究，并就一些特殊方向的裂紋尖端的應(yīng)力奇異性作了詳細(xì)的討論，得到了當(dāng)裂紋面為 自由表面時裂尖具有振蕩奇異性的結(jié)果，界面裂紋被看作是該模型的一個特例。接著， b o g y 【1 5 】又對層合復(fù)合材料中垂直界面的裂紋進行了分析。 1 2 2 空間軸對稱問題 e r d o g a n 和o z b e k l 】6 j 最早對圓柱形界面端裂紋的軸對稱變形問題進行了研究，得到圓 柱形界面端裂紋尖端具有振蕩奇異性的結(jié)果。戴瑛等【l 7 】采用逐次漸近法，對軸對稱圓柱界 面裂紋的應(yīng)力奇異性作了近似分析，結(jié)果同樣具有振蕩奇異性。h o u 【1 8 】通過將裂紋面上的 位錯進行級數(shù)展開，消除了振蕩奇異性。z b i b 【j9 j 則利用位錯疊加法，考慮裂紋尖端附近不 存在振蕩奇異性，分析了圓柱形界面裂紋。王清等【2 0 】利用積分方程對纖維與基體之間脫粘 時的軸對稱圓柱界面裂紋進行了分析，分析結(jié)果表明，在裂紋尖端附近，裂紋尖端則沒有 振蕩奇異性。劉一華等從空間軸對稱問題的通解出發(fā)，研究了軸對稱界面端【2 l 】和軸對稱界 面裂紋尖端【2 2 】的應(yīng)力奇異性，給出了奇異性特征方程和奇異應(yīng)力場的解析解形式。傅麗鵑 等【2 3 】運用漸近展開法，導(dǎo)出了橫觀各向同性材料軸對稱界面端的應(yīng)力奇異性特征方程，并 給出了纖維拔出和壓入兩種模型的應(yīng)力奇異性次數(shù)。 e r d o g a l l 【2 4 】利用奇異性積分方程研究了兩個粘結(jié)的半無限彈性介質(zhì)界面的幣形和環(huán)形 界面裂紋。鄭白林等【2 5 】對纖維復(fù)合材料中的環(huán)形基體裂紋擴展到纖維與基體界面的問題進 行了分析。p a g a i l o 和k 刪1 2 6 】研究了平面應(yīng)變問題中垂直于界面裂紋尖端附近的奇異應(yīng)力 浙江工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 場，并且將其擴展到軸對稱問題中垂直于圓柱形界面的幣形和環(huán)形裂紋情況。w a n g 等1 2 7 j 則采用奇異積分法分析了垂直于橫觀各向同性雙材料圓柱形界面的幣形裂紋。 z a k 【2 8 】首先利用特征展開法分析了一半無限圓柱體埋入在半無限剛體內(nèi)和一半無限圓 柱體粘結(jié)在半無限剛體上的界面端的應(yīng)力奇異性。g e c i t 【2 9 】則研究了一半無限圓柱桿與半無 限體的無摩擦接觸問題。t s 嶼i 等【3 0 】考慮了一彈性半無限圓柱桿與另一半徑不同的彈性半無 限圓柱桿對接時的界面端的應(yīng)力奇異性。n o d a 和t s u i i 【3 1 】利用特征展開法分析了兩個半無 限軸對稱體對接時的界面端的應(yīng)力奇異性，他們都得到了與平面應(yīng)變問題相應(yīng)模型應(yīng)力奇 異性相同的結(jié)果。 1 2 3 壓電問題 自從c u r i e 兄弟1 8 8 0 年發(fā)現(xiàn)壓電效應(yīng)以來，由于壓電材料具有機電耦合特性，被作為 功能部件，廣泛用于制作傳感器、發(fā)生器、檢控器等高新科技器件。壓電陶瓷是一種橫觀 各向同性材料壓電材料，具有良好的壓電性能，是廣泛應(yīng)用的壓電材料之一。隨著壓電材 料越來越廣泛的應(yīng)用，促使人們對其力學(xué)與電學(xué)性能的研究。近年來，對雙壓電材料問題 的研究也受到了關(guān)注，例如，k u o 和b 鋤e t t 【3 2 】，s u o 和k u o 等人【3 3 】，b e o m 和a t l 面【3 4 】研 究了界面裂紋的平面問題；c h e n 和y u 湖則研究了界面裂紋的反平面問題；而q i i l 和y u 【3 6 】 分析了裂紋遇到界面的平面問題；c h u n g 和t i n g 【”j 研究了各向異性壓電復(fù)合材料尖劈在線 力，電荷以及位錯作用下力學(xué)問題：x u 和j 旬a(chǎn) p a k s e 【3 8 】考察了極化軸在平面內(nèi)時的壓電復(fù) 合材料尖劈和接頭處的應(yīng)力奇異性指數(shù)：c h u e 和c h e n 【3 9 】從三維理論出發(fā)討論了廣義平面 變形作用下壓電復(fù)合材料尖劈和接頭處的的應(yīng)力奇異性指數(shù)；王效貴和許金泉【4 0 】則對特征 值為二重根的橫觀各向同性壓電材料異材界面端的奇異性問題進行了分析；許金泉等1 4 2 j 對橫觀各向同性壓電材料結(jié)合的界面端奇異性進行了研究；李玉闌1 4 2 j 對軸對稱復(fù)合材料的 應(yīng)力奇異性分析進行了研究；李玉闌【4 3 1 對圓柱形結(jié)合材料界面端進行了研究；戴文芳等【4 4 1 對中心裂紋壓電材料板斷裂問題進行了研究；王海濤等1 4 5 j 對雙壓電材料界面力電耦合奇異 場進行了研究；段士杰等m j 對含不可滲透邊裂紋壓電材料反平面問題進行了研究；馮曉霞 等【4 7 】對雙裂紋壓電材料無限長條的反平面問題進行了研究；王海濤和楊笑梅f 4 8 】對用裂紋單 元分析雙壓電材料界面力電耦合奇異場進行了研究；c h e n 【4 9 】等對各向異性彈性壓電問題進 行了研究；s o s a 等【5 0 j 對裂紋壓電材料進行了分析：s t r o h 】對壓電彈性材料的穩(wěn)定性進行 了研究；t i n g 等1 5 2 j 對橫觀各向同性軸對稱載荷下奇異點進行了研究。 目前關(guān)于壓電材料的界面問題的研究方法大都是解析法。然而，電力學(xué)耦合問題的解 浙江工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 析解推導(dǎo)一般只適用于簡單的幾何圖形和材料，并且研究者本身還須具有高超的數(shù)學(xué)才 能。因此，多數(shù)實際工程問題還有賴于數(shù)值方法。本章所用的特征值法可以應(yīng)用于比較復(fù) 雜的問題研究。 1 3 本文的主要工作 本文基于彈性力學(xué)空間軸對稱問題的基本方程和一階近似假設(shè)，利用分離變量形式的 位移角函數(shù)及電勢角函數(shù)和無網(wǎng)格算法，提出了一種分析各向同性彈性結(jié)合材料、壓電 導(dǎo)體和壓電壓電結(jié)合材料軸對稱界面端的奇異行為的特征值法。利用該方法對各向同性彈 性結(jié)合材料軸對稱界面端的奇異應(yīng)力場、壓電導(dǎo)體及壓電壓電結(jié)合材料軸對稱界面端的 奇異應(yīng)力場和奇異電位移場進行了討論。研究了奇異點附近的各階應(yīng)力奇異性指數(shù)和電位 移奇異性指數(shù)，以及相應(yīng)的位移、電位移、應(yīng)力和電勢角函數(shù)。并討論了尺寸效應(yīng)對界面 端奇異行為的影響。 本文的工作如下： 第1 章：緒論。闡述了論文選題的工程背景和研究意義，通過文獻綜述說明了界面力 學(xué)的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，提出了本文的研究思路和主要研究內(nèi)容。 第2 章：雙材料軸對稱界面端的奇異性特征方程?；诟飨蛲詮椥越Y(jié)合材料、壓電 導(dǎo)體結(jié)合材料及壓電壓電結(jié)合材料空間軸對稱變形問題的基本方程，利用特征展開法， 得到了各向同性彈性結(jié)合材料軸對稱界面端奇異點附近的位移場和奇異應(yīng)力場、壓電導(dǎo)體 和壓電壓電結(jié)合材料軸對稱界面端奇異點附件的奇異應(yīng)力場、奇異電位移場、位移場及電 位移場。 第3 章：奇異性特征方程的無網(wǎng)格法求解。介紹了無網(wǎng)格法的基本理論，并采用無網(wǎng) 格技術(shù)中的固定核重構(gòu)法構(gòu)造形函數(shù)，離散基本方程后的得到了用無網(wǎng)格節(jié)點上的場變量 表示的離散化的特征方程，數(shù)值求解特征方程可得出各向同性彈性結(jié)合材料軸對稱界面端 應(yīng)力奇異性指數(shù)及其相應(yīng)的角函數(shù)、壓電導(dǎo)體結(jié)合材料和壓電壓電結(jié)合材料軸對稱界面 端應(yīng)力和電位移奇異性指數(shù)及相應(yīng)的角函數(shù)。 第4 章：算例。各向同性彈性結(jié)合材料軸對稱界面端、壓電導(dǎo)體及壓電壓電結(jié)合材 料軸對稱界面端奇異行為的具體算例，數(shù)值求解出應(yīng)力和電位移奇異性指數(shù)及相應(yīng)的角函 數(shù)，并討論了尺寸效應(yīng)對奇異行為的影響。 第5 章：結(jié)論與展望。概述本論文的主要研究結(jié)論，并指出可以進一步研究的內(nèi)容。 9 一塑婆三些奎堂雯主堂垡鯊奎 第2 章 雙材料軸對稱界面端的奇異性特征方程 2 1空間軸對稱問題的基本方程 2 1 1 各向同性彈性材料 圓柱坐標(biāo)系( p ，y ，二) 的徑向、環(huán)向和軸向坐標(biāo)分別為p 、y 和z 。無體積力作用情況 下，各向同性彈性材料空間軸對稱變形問題在圓柱坐標(biāo)系( p ，y ：) 中的基本方程為 1 幾何方程 秒材 - i 甜 5 方 汐” 如2 萬 y ：生+ 絲 ( 2 1 ) y = 一十一 一7 。拜8z弓o 2 本構(gòu)方程 仃伊卻( 赤g 伊惕屹) ) ! 卻( 高g 印+ 幌) + ) 咿2 ( 忐g 印+ + 如) 蝗) j l 。：。 工 正 3 平衡方程 望三絲+ 笠+ ! 翌二壘墜：o 8 p 6 ： p 墜+ 亟+ 壘：o 1 0 ( 2 2 ) ( 2 - 3 ) 浙江工業(yè)大學(xué)碩十學(xué)位論文 式中s 印、緲、占：和y 店為應(yīng)變分量，材p 和：為位移分量，仃印、妒、和r 店為應(yīng)力 分量，為剪切彈性模量，v 為泊松比。 將( 2 1 ) 代入( 2 2 ) 和( 2 3 ) ，可得到用位移分量z ，。和“：表示的本構(gòu)方程 驢2 嵩等腳高等伽高警 卻南等伽嵩告伽高等 卻去挈腳去生伽是娑 。 。1 2 va p。1 2 yp 。1 2 v 茁 仃店：挈+ 誓 ( 2 4 )仃店。+ ：o( 2 。4 ) 0 z0 0 以及用材。和“：表示的平衡方程為 2 p 旦望+ 上墮+ 婆伽旦絲卻旦皂：o 。1 2 y 劫21 2 v 瓣 出2 。1 2 l ，卻。1 2 l ，p 2 盧婆+ 嘗聾嘶嘗婆+ 上絲+ 墮：o( 2 5 ) 。劫21 2 y 瓣。1 2 ya z 21 2 y 礎(chǔ)。p a p 、7 2 1 2 橫觀各向同性壓電材料 橫觀各向同性壓電材料的彈性主軸( 1 ，2 ，3 ) 與全局圓柱坐標(biāo)系( p ，l f ，：) 的坐標(biāo)軸的對 應(yīng)關(guān)系為：1 一p ，2 一y 和3 寸z ，各向同性材料平面平行于( 戶，y ) 面，極化方向沿著 軸對稱軸二。無體積力和點電荷作用情況下，圓柱坐標(biāo)系( p ，：) 中的基本方程為 1 幾何方程 鏟券 “一 2 專 d z ， = 2 - = y ：笠+ 絲 y 店2 言+ 節(jié) 鏟一囂 e ：一翌 色 2 本構(gòu)方程 浙江工業(yè)大學(xué)碩十學(xué)位論文 仃矽2q 1 伊+ c 1 ：占緲+ c 1 3 占= 一9 3 1 ： 仃y = c 1 2 占伊+ c 1 1 占w + c 1 3 占= 一巳1 t 盯：= c 1 3 占伊+ c 1 3 占妒緲+ c 3 3 占= 一e 3 3 丘 g 2c o 霞一e 、5 e p d p = e 、s o + 、1 e p d ：= p 3 1 占印+ 巳1 w + e 3 3 占。+ 乞3 丘 3 平衡方程 o g 一8 g _ 0 p 0 2 6 帶一o w 監(jiān)+ 生+ 生：o 娩 右pp 堡+ 堡+ 生：o o p嵌p = 0 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ， 式中，占印、占：和占盧為應(yīng)變分量，e 戶和丘為電場強度分量，z ，p 和z ，：為位移分量i 矽為電勢，仃印、盯= 和為應(yīng)力分量，q 和砬為電位移分量，q ，、c 1 ：、q s 、白， 和為彈性剛度常數(shù)，巳，、q ，、p ，和e ；，為壓電常數(shù)，螽，和乞，為介電常數(shù)。 將式( 2 - 6 ) 代人式( 2 - 7 ) 和( 2 8 ) ，得到由位移z ，。、“：和電勢矽表示的本構(gòu)方程 拋?！?。 徹 a 盯伊鄧葛托挖苫托 言托，薔 融n訟。 a 弘 a 西 吒妒2c 1 2 _ + q 1 上+ c 1 3 _ + 巳1 _ = 7 g pp o ：0 2 1 2 b 鄧，( 誓+ 茜卜考 d ：氣，誓嘞生嗨誓一厶，譬 ( 2 - 9 ) 以及由位移“口、“：和電勢表示的平衡方程 q ，等+ 獸如+ 釓，基( 古等專卜 巳。魯?shù)? ( c 1 。嘞) 篆叱，嘞) 吉誓+ 吉茜= 。 等蝎s 爭叱m s ) 篆叱心磅誓蝎易苦 口， 飛，害飛s 窘咱t 吉考一o 2 2 軸對稱界面端模型 圓柱坐標(biāo)系( p ，杪，z ) 下的雙材料軸對稱界面端的一般模型如圖1 所示，材料1 和2 為橫 觀各向同性壓電材料或各向同性彈性材料。為了研究奇異點d 附近的位移場和奇異應(yīng)力 場，特作如下坐標(biāo)變換 p = d + ，s i n 口= 尸( 萬+ s i l l 秒) ，z = ，l c o s 矽，y = y ( 2 - 1 1 ) 式中，d 表示界面端d 到軸對稱軸二的距離，無量綱參數(shù)萬定義為酬，。在界面端奇異性 的支配區(qū)域內(nèi)，萬可看做為d 與奇異性支配區(qū)域大小的相對比值。在新坐標(biāo)系( ，| ? j i c ，矽) 下， 結(jié)合角分別為純= 一b 一島和仍= 島一島，界面角為= 一島，材料1 和材料2 占據(jù)的區(qū)域 分別為仍秒彌和編秒仍。 塑趔2 i 堂堡主堂垡絲奎 圖1 雙材料軸對稱界面端 對于各向同性彈性結(jié)合材料，界面p c 上的連續(xù)條件為 2 f ，1 ( ，伊o ) = 2 f ，2 ( ，緲o ) 甜口，1 ( ，) = z f 口2 ( ，緲o ) z ( ，) = 2 ( ，) 仃，日，1 ( ，緲o ) = 仃，療2 ( ，i ) 自由表面條件為 ( ，純) = q 口女( ，仇) = 0 對于壓電導(dǎo)體組成的結(jié)合材料，界面d c 上的連續(xù)條件為 “，1 ( 廠，伊o ) = ，。2 ( ，伊o ) “口1 ( ，妒o ) = “f 2 ( r ，) 歡( ，) = o 盯鯽，1 ( ，妒o ) = 仃卵2 ( 廠，9 0 ) 仃，口，1 ( ，妒o ) = 坩，2 p ，) 自由表面條件為 。女( ，_ ，純) = q p ，女( ，i ，吼) = 0 q 2 ( ，仇) = 島，2 ( ，純) = 0 對于壓電壓電結(jié)合材料，界面0 c 上的連續(xù)條件為 “ 】( 廠! ) = z ，。：( r ? 紙) 甜口，l ( 廠，釓) = 甜口2 ( r ，) 萌( ，) = 歡( ，) ，1 ( ，) = 2 ( ，紙) 1 4 ( 2 - 1 2 ) ( 2 - 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 浙江工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 仃坩1 ( r ，) = 盯坩2 ( r ) 軌，( ，甄) = 仇：( r ) 自由表面條件為 ( 2 1 6 ) 仃卯女( ，妒1 ) = 仃，口女( r 9 k ) 2 島 ( 廠，9 1 ) 2 【j( 2 。1 7 ) 其中，下標(biāo)七= l ，2 分別表示材料1 和材料2 。 新坐標(biāo)系( ，_ ，y ，矽) 下，各向同性彈性材料的本構(gòu)方程( 2 4 ) 變換為 仃，= 厄+ 2 誓 鏟兒+ 等( ”等 q y：知+ 絲竺：墅翌蘭! ! ! 里 ， j + s i n 臼 徑向p 和軸向三方向的平衡方程( 2 - 5 ) 變換為 口1 + 口t 2 + 6 1 + 6 女2 + c t l + c t 2 = 0( j 2p ? z ) 其中，五和表示l 鋤e 材料常數(shù)，e 為體積應(yīng)變，且有 e = 盟+ 生+ 土墮+ 土竺：! ! 呈竺竺旦呈竺! 竺 勿 ，ra 鄉(xiāng) r萬+ s i n 鄉(xiāng) ，一2 ( 1 一v ) s i n 秒fa 2z ，1 劫，1 2 礦【+ 7 希j 鏟c o s 可爭t 刳 釓：墊型竺旦f 望+ 三塑1 吼，2 f 萬一【可+ 7 言j 一協(xié)吖?fàn)巘 誓 6 礦三上f 罌掣盟+ c 剛墮1 2 7 兩了【i i 翥r 吉札0 5 秒蒜j 一! s 墊皇f2 ( ! 二v ! c o s 臼鋤口a ：1 ：2 7 西了【i ；礦芳+ 蒜j 1 5 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 一r 一 摯防 + 饑萬1 一r = 坩 盯 浙江工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 6 ：1 = 三上f 墜塵唑生“n 矽魚1 d 1 = 一i 二一二一s 1 n 二i 廠1 2 yi 艿+ s i n 秒勿 靜a pj 6 ，- 三土f ! 業(yè)一s i l l ：鄉(xiāng)1 盟+ 三盟魚 釓：2 7 否：i 而【而一s m 。9j 1 產(chǎn)+ 7 而否：囂 = 專哿( 怒一高舞“雌2 7 t 亨【面一萬麗- 8 1 n 欏弘 + 吉南( p 4 咖剛+ 篇) 魯+ 扣臼 + 吉南( 等竽郵山凈n 臼 等+ 專等剛 = 扣日魯專高( 2 c o s 口+ 篇卜 1f c o s 2p ( 3 4 v ) s i n 目 1 s i l l2 曰1 徹， 1-一l。1二 ，2i 占+ s i n p1 2 v 1 2 y 萬+ s i n p a 秒 巳：2 7 【鋤護面+ 而麗卜 ，二i 萬+ s i n 目 l 一2 y 萬+ s i n 鄉(xiāng)廠8 一吉等( 3 一和+ 等警堵 掣s m 矽魯 一 r 21 2 y 萬+ s i n 口a 口，21 2 y 。a 口2 相應(yīng)于局部坐標(biāo)系( ，y ，目) ，橫觀各向同性壓電材料的本構(gòu)方程( 2 9 ) 可表示為 工 口二( 口) 厶( 口) 口品( p ) 口名( 口) 口：( 秒) 口；( 鄉(xiāng)) 以( 秒) 彤咿( 秒) ( 矽) ( 臼) ( 秒) 彤( 秒) 口品( p ) 。( 目) 口品( 9 ) 口名( 曰) 礦( 目) 口；( p ) 嘲目) 慘 略( 目) j j 絲 口名( p ) ll 妻 彩( 9 ) ii 罷 口j 舊 群( 鄉(xiāng)) o 吒( 矽) o 始( 秒) o 以( p ) o 衫( 秒) o 露( 目) o 1 一， r 1 一“占 ，一 ! 矽 ， _ l 酩( 口) ( 口) ( p ) ( 9 ) 彰( 口) ( p ) 醪( 9 ) 匕( 曰) 6 品( 目) 磅( 口) 釅( 口) 醪( 口) 6 三( 9 ) ( 口) ( 曰) 屹( 秒) 彩( 9 ) 醪( 口) 1 鋤， r8 e 1 劫占 ，a p l6 西 ，a 目 ( 2 2 1 ) 式中，矩陣元素口；( 口) 、蜓( p ) 和( 秒) 只與材料常數(shù)和角坐標(biāo)目有關(guān)( 毒= 仲，杪l | f ，卯r 口，r ，目， 1 6 志羔等 辦啊和卵厲歷 浙江工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文 r = 廠，臼，i c ，) ，其詳細(xì)表達(dá)式為 口二( 9 ) = c 1 1s i n 4 口+ 巳3c o s 4 目+ 2 ( c 1 3 + 2 c “) s i n 2 秒c o s 29 口品( 9 ) = ( c l 】一q 3 2 c 4 4 ) s i l l 3 臼c o s 秒+ ( c 1 3 + 2 c “一c 3 3 ) s i n 臼c o s 3 口 口身( 口) = e 3 3c o s 3 口+ ( p 3 1 + 2 e 1 5 ) s i n 2 目c o s 矽 6 二( 目) = 口品( 目) 6 二( 矽) = c 1 3 ( s i l l4 目+ c o s 4 口) + ( c 1 1 + c 3 3 4 c “) s i n 2 臼c o s2 口 6 三( 9 ) = ( 2 e 1 5 一p 3 3 ) s i l l 臼c o s 2 口一e 3 1s i n 39 d 二( 秒) = 6 品( 伊) + ( c 1 3c o s 2 口+ c 1 2s i i l 29 ) t d 導(dǎo)( 9 ) = 一口品( 口) + ( c 1 3c o s 2 p + c 1 2s i l l2 口) l 口品( 口) = c 1 3 ( s i n 4 目+ c o s 4 目) + ( q 1 + c 3 3 4 c “) s i n 2 口c o s 2 鄉(xiāng) 口品( 臼) = ( c 1 3 一c 3 3 + 2 c “) s i n3 口c o s p + ( c 1 1 一c 1 3 2 c “) s i i l 汐c o s 3 口 口芻( p ) = ( p 3 3 2 p 1 5 ) s i n 2 p c o s 臼+ p 3