自動(dòng)控制原理 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 四章 根軌跡法 連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 根軌跡分析控制系統(tǒng) 控制系統(tǒng)可供選擇的參數(shù)不局限于開環(huán)增益 時(shí)還需要對其他的一些參數(shù)進(jìn)行選擇。對于這種情況，也可用根軌跡法。 例 4設(shè)一反饋系統(tǒng)如下圖所示。試選擇參數(shù) 系統(tǒng)同時(shí)滿足下列性能指標(biāo)的要求。 (1)斜坡輸入時(shí) ， 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 (2)閉環(huán)極點(diǎn)的阻尼比 (3) 調(diào)整時(shí)間 s。 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )2()(211相應(yīng)地，靜態(tài)誤差系數(shù)為 2112 由題意得 要滿足系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的要求 ,須取較大值。 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 在 坐標(biāo)原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸成 45 角的直線，在此直線上閉環(huán)極點(diǎn)的阻尼比 均為 （ 3）要求調(diào)整時(shí)間 344 。為了同時(shí)滿足 和 環(huán)極點(diǎn)應(yīng)位于圖中所示的陰影區(qū)域內(nèi)。 （ 2）要求閉環(huán)極點(diǎn)的阻尼比 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 令 121 ，則系統(tǒng)的特征方程式為 02)(1 2 0 ， 則上式變?yōu)?022 0)2(1 此，做出以 為參變量的根軌，如右圖所示。 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 ,由根軌跡的 幅值條件，求出 為了滿足靜態(tài)性能要求，試取 201 02021 2 中，開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為 1 j 4 . 3 6s 以 為參變量的根軌跡如圖所示。經(jīng)過該圖的坐標(biāo)原點(diǎn)作一與負(fù)實(shí)軸成 45 角的直線，并與根軌跡相交于 3 . 1 5 j 3 . 1 7 點(diǎn) 2 1 自動(dòng)控制原理 由于所求閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部 因而系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間為 3 44 1 . 2 7 s 3 1 5 在單位斜坡輸入時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 ,能使系統(tǒng)達(dá)到預(yù)定的性能要求。 1 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 定 控制系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)由開環(huán)傳遞函數(shù)中 的零點(diǎn)和 的極點(diǎn)組成的，它們一般為已知。系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)與根軌跡的增益 果 可以沿著特定的根軌跡分支，根據(jù)根軌跡的幅值條件，用試探法求得相應(yīng)的極點(diǎn)。 )()2)(1()()( 00= 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 由該系統(tǒng)的根軌跡圖可知 ， 在分離點(diǎn) s= 根據(jù)幅值條件求得由此可知 ，當(dāng) 該系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為一對共軛復(fù)根和一個(gè)實(shí)根 ， 且此實(shí)根位于 23之間 。 據(jù)此 ， 如取 由幅值條件求得相應(yīng)的 330 自動(dòng)控制原理 顯然，所求的 此再取 得 表示 的一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)可按下述的方法求取。 因?yàn)?)(1( 23 用上式除以因式 ( )，求得商為 192.2 得 1 , 2 0 . 4 0 4 j 0 . 2 5 6s 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ()(22 自動(dòng)控制原理 定具有指定阻尼比 的閉環(huán)極點(diǎn)和單位階躍響應(yīng) 根據(jù)指定的阻尼比 值，由根軌跡圖的坐標(biāo)原點(diǎn)作一與負(fù)實(shí)軸夾角為 的射線。該射線與根軌跡的交點(diǎn)就是所求的一對閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，由幅值條件確定這對極點(diǎn)所對應(yīng)的 后用上述的方法，確定閉環(huán)的其他極點(diǎn)。 a r c c o s設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的阻尼比 =求： (1)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)和相應(yīng)的根軌跡增益 (2)在單位階躍信號作用下的輸出響應(yīng)。 )2)(1()()( 0自動(dòng)控制原理 系統(tǒng)的一對閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)位于經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)且與負(fù)實(shí)軸組成夾角為 的兩條射線上，顯然，這兩條射線與根軌跡的兩條分支必然相交，交點(diǎn)就是所求的一對閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。由圖可知， 。 因?yàn)?r c c o s 1 , 2 0 . 3 3 j 0 . 5 8s 1 2 3 30 . 3 3 j 0 . 5 8 0 . 3 3 j 0 . 5 8 3s s s s 所以 自動(dòng)控制原理 根據(jù)幅值條件，求得相應(yīng)的 于極點(diǎn) 距虛軸距離的 7倍多。因而 是系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。與 ()(22 )( 220 1221 . 0 5()( 2 . 3 4 ) ( 0 . 3 8 ) 0 . 5 8 2 . 3 4 ( 0 . 3 3 ) 0 . 5 8s B s Cs s s 0 ，(2) 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 對上式取拉氏反變換，求得 22221 0 . 1 0 . 9 0 . 8 3()2 . 3 4 ( 0 . 3 3 ) 0 . 5 81 0 . 1 ( 0 . 3 3 ) 0 . 5 80 . 92 . 3 4 ( 0 . 3 3 ) 0 . 5 8s s s 2 . 3 4 0 . 3 3( ) 1 0 . 1 e 0 . 9 e ( c o s 0 . 5 8 s i n 0