黃浦區(qū) 2016年高考模擬考 數學試卷 （ 理科 ） （ 2016 年 4 月 ） 考生注意： 1每位考生應同時收到試卷和答題卷兩份材料，解答必須在答題卷上進行并 在規(guī)定的位置書寫 ，寫在試卷、 草稿紙 上的解答一律無效； 2答卷前，考生務必將學校、姓名、準考證號等相關信息 填寫清楚，并貼好條形碼 ； 3本試卷共 23道試題，滿分 150分；考試時間 120分鐘 一、 填空題 (本 大題 滿分 56分 )本大題 共 有 14題， 考生應在答題 卷 的 相應編號的空格內直接填寫結果， 每 題填對得 4分， 否則一律得零分 1 已知集合 1, 3, 2 1 ，集合 23, 若 ，則實數 m 2 計算：1312 3 函數 3( ) 1f x x的反函數 1() 4 函數 2( ) ( s i n c o s )f x x x的最小正周期為 5 在極坐標系中，直線 ( c o s 2 s i n ) 1 與直線 的夾角大小為 （ 結果用反三角函數值表示 ） 6 已知 菱形 若 | | 1AB3A ，則 向量 的 投影為 7 已知一個凸多面體 的 平面展開圖由兩個正六邊形和六 個正方形構成，如右圖所示， 若該凸多面體所有棱長均為 1 ，則其 體積V 8 已知函數 32( ) l g ( 1 )f x x x x ，若 () a 、b 滿足 f ( - a ) + f ( - b ) - 3 = f ( a ) + f ( b ) + 3，則 ( ) ( )f a b 9 在代數式 5221( 4 2 5 ) 1xx x 的展開式 中，常數等于 10 若橢圓上的點到其一個焦點的距離的最小值為 5 ，最大值為 15 ，則該橢圓的短軸長為 第 7 題 11 有紅、黃、藍三種顏色，大小相同的小球各 3 個，在每種顏色的 3 個小球上分別標上號碼1 、 2 和 3 ，現任取出 3 個，它們的顏色與號碼均不相同的概率是 （結果用最簡分數表示） 12 設離散型隨機變量 可能取的值為 1 ， 2 ， 3 ， ()P k ak b （ 1,2,3k ） ， 若 的數學期望 73E，則 13 正整數 a 、 b 滿足 1 ， 若關于 x 、 y 的 方程組 2 4 0 3 3 ,| 1 | | | | |x x a x b 有且只有一組解， 則 a 的最 大 值為 14 數列 ， 若 1 0a ， 2 *iN ， 122 ， 1,2,3,k L ），則 滿足 2 100 的 i 的最小值為 二、 選擇題 (本大 題 滿分 20 分 )本大題 共 有 4 題，每 題 有且只有一個 正確 答案 ， 考生應在答題卷 的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑， 選對 得 5分，否則一律得零分 15 已知直角坐標平面上兩條直線的方程分別為 1 1 1 1:0l a x b y c ， 2 2 2 2:0l a x b y c ，那么“ 11220”是“兩直線 1l 、 2l 平行”的 答 ( ) A充分非必要條件 B必要非充分條件 C充要條件 D 既 非充分 又 非必要條件 16 復數 （ mR ， i 為虛數單位）在復平面上的點不可能位于 答 ( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 17 若 三 條邊 a ， b ， c 滿足 ( ) ( ) ( ) 7 9 1 0a b b c c a ，則 答 ( ) A 一定是銳角三角形 B 一定是直角三角形 C 一定是鈍角三角形 D 可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形 18 若 函數 ( ) l g s i n ( ) s i n ( 2 ) s i n ( 3 ) s i n ( 4 ) f x x x x x 的定義域與區(qū)間 0,1 的交集由 n 個開區(qū)間組成， 則 n 的值為 答 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 三、 解答題 （ 本大題 滿分 74分 ） 本大題 共 有 5題 ，解答下列各題 必須在答題 卷 的相應編號規(guī)定區(qū)域內 寫出必要的步驟 19 （ 本 題滿分 12 分 ） 如圖， 小凳凳面為圓形，凳腳為三根細鋼管 考慮到鋼管的受力等因素，設計 的 小凳 應 滿足： 三根細鋼管相交處的節(jié)點 P 與凳面圓形的圓心 O 的連線垂直于凳面和地面， 且 P 分細鋼管上下兩段的比值為 三只凳腳與地面所成的角均 為 60 若 A 、 B 、 C 是 凳面圓周的三等分點， 18米，求凳子 的 高度 h 及 三根細鋼管 的總長度 （精確到 20 （ 本題滿分 13 分 ） 本題共有 2 個 小題，第 1 小題滿分 6 分，第 2 小題滿分 7 分 已知函數 ( ) s i n c o sf x a x b x， 其中 a 、 b 為 非零 實常數 （ 1） 若 24f ， ()0 ，求 a 、 b 的值 （ 2）若 1a ，6x 是 ()求 0x 的值，使其滿足 0( ) 3， 且0 0,2 x 21 （ 本題滿分 13 分 ） 本題共有 2 個小題，第 1 小題滿分 6 分，第 2 小題滿分 7 分 已知函數 2()1x xf x a x ， 其中 1a （ 1）證明：函數 () 1, ) 上為增函數 （ 2） 證明 ： 不存在負 實 數 0x 使得 0( ) 0 A （ 本題滿分 18 分 ） 本題共有 3 個小題，第 1 小題滿分 4 分，第 2 小題滿分 6 分 ，第 3 小題滿分 8 分 已知數列 ) ( )na n k n k ，其中 *nN ，1k、2k Z （ 1）試寫出一組1k、2得數列 正數 （ 2） 若1 1k， *2k N， 數列 ab n， 且 對任意的 *mN （ 3m ） ，均有3 寫出所有滿足條件的2 （ 3）若12 數列 |n n nc a a，其前 n 項和為使 0（ i 、 *jN ，）的 i 和 j 有且僅有 4 組 ， 1S 、 2S 、 、 有至少 3 個連續(xù)項的值相等，其它項的值均不相等，求 1k 、2 23 （ 本題滿分 18 分 ） 本題共有 3 個小題，第 1 小題滿分 4 分，第 2 小題滿分 6 分 ， 第 3 小題滿分 8 分 對于雙曲線( , )221（ ,0），若點00( , )P x 2001，則稱 P 在( , )若點00( , )P x 2001，則稱 P 在( , ) （ 1）若直線 1y 上點都在(1,1) k 的取值范圍 （ 2） 若( , )2,1) ， 圓 2 2 2x y r（ 0r ） 在( , )( , )點 構成的圓弧長等于該圓周長的一半，求 b 、 r 滿足的關系式 及 r 的取值范圍 （ 3）若 曲線 2| | 1xy （ 0m ） 上的點都在( , ) m 的取值范圍 黃浦區(qū) 2016 年高考模擬考 數學試卷 （ 文理 ） 參考答案 一、填空題 (本大題滿分 56 分 ) 1 1 2 133 3( 1)x ， xR 4 5 25327 3328 3 9（理） 15（文） 123n 10（理） 10 3（文） 15 11（理） 114（文） 10 3 12 （理） 16（文） 2 13 （理） 2016 （文） 11414 （理） 128（文） 2016 二、選擇題 (本大題滿分 20 分 ) 15 B 16 D 17 C 18 C 三、解答 題 (本大題滿分 74 分 ) 19 (本題滿分 12 分 ) 解 聯結 由題意， 平面 因為 凳面與地面平行， 所以 就是 平面 成的角，即 60 （ 2 分） 在等邊三角形 ， 18， 得 63， （ 4 分） 在直角三角形 ， 3 1 8O P A O， （ 6 分） 由 0 8P ，解得 厘 米 （ 9 分） 三根細鋼管的總長度 3 1 6 3 s 0h 厘米 （ 12 分） 20 (本題滿分 13 分 )本題共有 2 個小題，第 1 小題滿分 6 分，第 2 小題滿分 7 分 解 （ 1 ） 因為 22( ) s i n c o s s i n ( )f x a x b x a b x （其中22s ，22c o ）， 所以 ()2 由 22 10 ，（ 2 分） 及 22 24 2 2f a b ， （ 4 分） 解得 1a ， 3b 或 3a ， 1b （ 6 分） （ 2）易知，當6x 時，取得最大值 2 1b 或最小值 2 1b， 于是213 16 2 2f b b ，解得 3b （ 8 分） 于是 ( ) s i n 3 c o s 2 s i n ( )3f x x x x ， （ 10 分） 當 ( ) 3時，解得 2或 23 （ kZ ） （ 12 分） 因為0 0,2 x ，故所求0 ，3， 2 （ 13 分） 21 (本題滿分 13 分 )本題共有 2 個小題，第 1 小題滿分 6 分，第 2 小題滿分 7 分 證明 （ 1） 任取121 ，121212 22( ) ( ) 11x f x a a 1 2 1 21 2 1 21 2 1 22 2 3 ( )( ) ( )1 1 ( 1 ) ( 1 )x x x xx x x xa a a ax x x x （ 3 分） 因為 121 ， 1a ，所以 12， 1 10x ，2 10x ， 120， 于是 120，12123 ( ) 0( 1) ( 1)，得 12( ) ( ) 0f x f x，即 12( ) ( )f x f x 因此，函數 () 1, ) 上為增函數 （ 6 分） （ 2）（反證法）若存在負實數0x（0 1x ） ， 使得0( ) 0即方程 2 01x xa x有負實 數根（ 8 分） 對于 21x xa x ，當0 0x 且0 1x 時，因為 1a ，所以0 110 , , 1xa U，（ 10 分） 而0002 31 ( , 1 ) ( 2 , )11 U（ 13 分） 因此， 不存在負實數01x xa x ，得證 22 (本題滿分 18 分 )本題共有 3 個小題，第 1 小題滿分 4 分，第 2 小題滿分 6 分，第 3 小題滿分 8 分 （理） 解 （ 1 ）1 1k 、2 2k （答案不唯一） （ 4 分） （ 2） 由題設，2 2(1 )nn a kb n （ 6 分） 當2 1k ， 2 時，2() kf n n n均 單調遞增，不 合題意 ，因此，2 3k 當2 3k 時 ， 對于2() kf n n n，當2， ()2， () 由題設，有1 2 3b b b，34L （ 8 分） 于是由 23及 43，可解得 26 12k 因此， 2k 的值為 7， 8， 9， 10， 11 （ 10 分） （ 3） 2 , 0 ,| 0 , 0 n a 其中 21 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )na n k n k n k k n k k ，且 12 當 120 時， 項均為正 數，且單調遞增 ， 2， 也 單調遞增，不合題意； 當120時，222 , ,0 , n 不合題意； （ 12 分） 于是，有120 ，此時12122 , ,0 , n k o r n n k （ 14 分） 因為 0（ i 、 *jN ， ），所以 i 、12( , )j k k 于是由 21 2 1 2 1 22 2 ( ) ( ) 2 ( ) a n k n k n k k n k k ， 可得1222， 進一步得120 i k k j ， 此時， i 的四個值為 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，因此，1 5 （ 16 分） 又1S、2S、 、 個連續(xù)項的值相等，其它項的值均不相等， 不妨設+ 1 + 2=m m S L，于是有+ 1 + 2= = 0L， 因為當 12k n k 時， 0 ，所以 125 1 2k m m k L ， 因此 ，2 6k ， 即2 （ 18 分） （文） 解 （ 1）設直線 3 1 0 上點的坐標為00( ,3 1)代入 22， 得 2 2 2 2 20 0 0 31( 3 1 ) 8 ( )88x y x x x ， （ 2 分） 對于 xR ， 221 18， 因此，直線 31上的點都在(1,1)（ 4 分） （ 2） 設 點 N 的坐標為00( , )題設 22001 （ 6 分） 2200| | ( 1 )M N x y 由 22001 ，得 2 2 20 0 013| | 1 ( 1 ) 2 ( )22M N y y y u u u ，（ 8分） 對于 0y R ， 有 201 3 62 ( )2 2 2y ，于是 6|2 ， （ 10 分） 因此 ， |最小值為 62 （ 3） 因為 圓 2 2 2x y r和 雙曲線( , )以只 需 考慮 這兩個曲線在 第一象限 及 x 、 y 軸正半軸 的情況 由題設，圓與雙曲線的交點平分 該 圓在第一象限 內 的圓弧， 它們 交點的坐標為22, （ 12 分） 將 22 22入雙曲線( , ) 221（ *） ， （ 13 分） 又 因為( , )2,1) ，所以22411， （ 15 分） 將 2224 1ba b 代入 （ *） 式，得 2228 3br b （ 17 分） 由 2223 08rb r ，解得 2 8r 因此， r 的取值范圍 為 (2 2, ) （ 18 分） 23 (本題滿分 18 分 )本題共有 3 個小題，第 1 小題滿分 4 分，第 2 小題滿分 6 分，第 3 小題滿分 8 分 （理） 解 （ 1）由題意，直線 1y 上點00( , 1)x 滿足 221， 即求不等式2200( 1) 1x 的解為一切實數時 k 的取值范圍 （ 1 分） 對于 不等式 2200(1 ) 2 2 0k x k x ， 當 1k 時，不等式的解集不為一切實數， （ 2 分） 于是有 2221 0 ,4 8 (1 ) 0 , 解得 | | 2k 故 k 的取值范圍為 ( , 2 ) ( 2 , ) U （ 4 分） （ 2） 因為 圓 2 2 2x y r和 雙曲線( , )稱，所以只 需 考慮 這兩個曲線在 第一象限 及 x 、 y 軸正半軸 的情況 由題設 ，圓與雙曲線的交點平分 該 圓在第一象限 內 的圓弧， 它們 交點的坐標為 22, 將 22 22入雙曲線( , ) 221（ *） ， （ 6 分） 又 因為( , )2,1) ，所以22411， （ 7 分） 將 2224 1ba b 代 入 （ *） 式，得 2228 3br b （ 9 分） 由 2223 08rb r ，解得 2 8r 因此， r 的取值范圍為 (2 2, ) （ 10 分） （ 3） 由 2| | 1xy ，得 1| | | |y m x x 將 1| | | |y m x x代入 221， 由題設，不等式22221| 1mx 對任意非零實數 x 均成立 （ 12 分） 其中22 2 2 2 22 2 2 2 21| 1 ( ) 2 mx b a m x a ma b a b x 令 2， 設 22 2 2 2( ) ( ) 2af t b a m t a ，（ 0t ） 當 2 2 2 0b a m時，函數 () (0, ) 上 單調遞增， ( ) 1不恒成立； （ 14 分） 當 2 2 2 0b a m時， 22 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( )ab a m t a m b ， 函數 ()最大值為 2 2 2 2 22 ( ) 2a m b a a m ， 因為 0m ，所以 2 2 2 2 2222 ( ) 2 01a m b a a ； （ 1