第 1 頁（共 25 頁） 2016 年寧夏吳忠市高考數(shù)學模擬試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12小題，每小題 5分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的。 1設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 ，則 =（ ） A 2+i B 2 i C 2+i D 2 i 2集合 A=x| 1x2， B=x|x 1，則 A（ =（ ） A x|x 1 B x|x1 C x|1 x2 D x|1x2 3 “x 1”是 “1”的（ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 4在等差數(shù)列 ，已知 a3+0，則 3a5+ ） A 10 B 18 C 20 D 28 5（ 1+ ）（ 1 x） 4 的展開式中含 ） A 2 B 2 C 3 D 3 6如圖，是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的體積為（ ） A 34 B 16 C 48 D 24 7已知實數(shù) x， y 滿足 ，則目標函數(shù) z=x+y 的最小值為（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 8函數(shù) f（ x） =x+）（其中 A 0， 0， | ）的圖象如圖所示，為了得到 y=只要將 f（ x）的圖象（ ） 第 2 頁（共 25 頁） A向左平移 個單位長度 B向右平移 個單位長度 C向左平移 個單位長度 D向右平移 個單位長度 9執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為 21，則判斷框中應(yīng)填（ ） A i 5 B i 6 C i 7 D i 8 10已知正三棱錐 P P、 A、 B、 C 都在半徑為 的球面上，若 兩互相垂直，則球心到截面 距離為（ ） A B C D 11如圖，把圓周長為 1 的圓的圓心 C 放在 y 軸上，頂點 A（ 0， 1），一動點 M 從 A 開始逆時針繞圓運動一周，記 =x，直線 x 軸交于點 N（ t， 0），則函數(shù) t=f（ x）的圖象大致為（ ） A B C D 第 3 頁（共 25 頁） 12定義域 R 的奇函數(shù) f（ x），當 x（ ， 0）時 f（ x） + x） 0 恒成立，若 a=3f（ 3）， b=f（ 1）， c= 2f（ 2），則（ ） A a c b B c b a C c a b D a b c 二、填空題：本大題共 4小題，每小題 5分 13設(shè)函數(shù) f（ x） = ，若 f（ f（ 1） =2，則 a 的值為 14已知向量 ， 夾角為 45，且 | |=1， |2 |= ，則 | |= 15已知等比數(shù)列 ， a3+， ，則 = 16已知雙曲線 C： 的左、右焦點分別為 點 直線與雙曲線 C 的右支相交于 P、 Q 兩點，且點 P 的橫坐標為 2，則 周長為 三、解答題：解答應(yīng)洗出文字說明、證明過程或演算步驟 17在 ，內(nèi)角 A， B， C 的對應(yīng)邊分別為 a， b， c，已知 b= 1）求 A+B 的值； （ 2）若 c= ，求 積的最大值 18第十七屆亞運會于 2014 年 9 月 19 日至 10 月 4 日在韓國仁川舉行為了搞好接待工作，組委會在首爾大學某學院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者從事禮賓接待和語言翻譯工作，將這 30 名志愿者的身高（單位： 成莖葉圖（如圖所示）： 組委會安排決定：身高 175上（包含 175志愿者從事禮賓接待，身高在 175下的志愿者從事語言翻譯 （ ）如果從分層抽樣的方法從從事禮賓接待的志愿者和從事語言翻譯的志愿者中抽取 5 人，再從這 5 人中隨機選 2 人，那么至少有一人是從事禮賓接待的志愿者的概率是多少？ 第 4 頁（共 25 頁） （ ）若從所有從事禮賓接待的志愿者中隨機選 3 名志愿者，用 表示從事禮賓接待的志愿者中女志愿者的人數(shù)，試寫出 的分布列，并求出 的數(shù)學期望 19如圖，三棱柱 平面 C=2， ， D 為 中點 （ 1）求證： 平面 （ 2）求二面角 B 的余弦值 20已知橢圓 C 的中心在原點，焦點在 x 軸上，離心率等于 ，它的一個頂點恰好在拋物線 （ 1）求橢圓 C 的標準方程； （ 2）點 P（ 2， ）， Q（ 2， ）在橢圓上， A， B 是橢圓上位于直線 側(cè)的動點當 A，B 運動時，滿足 問直線 斜率是否為定值，請說明理由 21設(shè)函數(shù) f（ x） =x2+ （ ） 若 x=2 是函數(shù) f（ x）的極值點， 1 是函數(shù) f（ x）的一個零點，求函數(shù) f（ x）的解析式； （ ） 若對任意 b 2， 1，都存在 x（ 1， e）（ e 為自然對數(shù)的底數(shù)），使得 f（ x） 0 成立，求實數(shù) a 的取值范圍 請考生在 22、 23、 24三題中任選一題作答 ，如果多做，則按所做的第一題計分 選修 4何證明選講 22如圖，已知圓 O 上的弦 D，過點 C 作圓 O 的切線與 延長線相交于點 E （ 1）求證： （ 2）若 ， ，求 長 第 5 頁（共 25 頁） 選修 4標系與參數(shù)方程 23已知在平面直角坐標系 ，點 P（ x， y）在曲線 C： 為參數(shù)， R）上運動以 極軸建立極坐標系，直線 l 的極坐標方程為 （ ）寫出曲線 C 的標準方程和直線 l 的直角坐標方程； （ ）若直線 l 與曲線 C 相交于 A、 B 兩點，點 M 在曲線 C 上移動，試求 積的最大值 選修 4等式選講 24設(shè)函數(shù) f（ x） =|x 4|+|x a|（ a 4） （ 1）若 f（ x）的最小值為 3，求 a 的值； （ 2）當 a=1 時，若 g（ x） = 的定義域為 R，求實數(shù) m 的取值范圍 第 6 頁（共 25 頁） 2016 年寧夏吳忠市高考數(shù)學模擬試卷（理科） 參考答案與試題 解析 一、選擇題：本大題共 12小題，每小題 5分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的。 1設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 ，則 =（ ） A 2+i B 2 i C 2+i D 2 i 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算 【專題】 計算題 【分析】 先設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再由題意求出復(fù)數(shù) z，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求出即可 【解答】 解：設(shè) z=a+a、 bR），由題意知， ， 1+2i=b，則 a=2， b= 1， z=2 i， =2+i， 故選 C 【點評】 本題考查兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，以及虛數(shù)單位 i 的冪運算性質(zhì)，共軛復(fù)數(shù)的概念，難度不大，屬于基礎(chǔ)題 2集合 A=x| 1x2， B=x|x 1，則 A（ =（ ） A x|x 1 B x|x1 C x|1 x2 D x|1x2 【考點】 交、并、補集的混合運算 【專題】 計算題；集合 思想；定義法；集合 【分析】 由集合 B，求出集合 B 的補集，然后求出集合 A 和集合 B 補集的交集即可 【解答】 解：由 B=x|x 1， 得到 x|x1， 又集合 A=x| 1x2， 則 A（ =x|1x2 故選： D 【點評】 此題考查學生會進行補集及交集的運算，是一道基礎(chǔ)題學生在求補集時注意全集的范圍 第 7 頁（共 25 頁） 3 “x 1”是 “1”的（ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判 斷 【專題】 規(guī)律型 【分析】 直接利用充要條件的判斷方法判斷即可 【解答】 解：因為 “x 1”“1”，而 “1”推不出 “x 1”，所以 “x 1”是 “1”充分不必要條件 故選 A 【點評】 本題考查充要條件的判定，基本知識的考查，注意條件與結(jié)論的判斷 4在等差數(shù)列 ，已知 a3+0，則 3a5+ ） A 10 B 18 C 20 D 28 【考點】 等差數(shù)列的性質(zhì) 【專題】 計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列 【分析】 根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得： 3a5+（ a5+=2（ a3+即可得到結(jié)論 【解答】 解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得： 3a5+ a5+=2 2=2（ a5+=2（ a3+=20， 故選 C 【點評】 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題，準確理解有關(guān)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵 5（ 1+ ）（ 1 x） 4 的展開式中含 ） A 2 B 2 C 3 D 3 【考點】 二項式定理的應(yīng)用 【專題】 轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理 【分析】 把（ 1 x） 4 按照二項式定理展開，可得（ 1+ ）（ 1 x） 4 的展開式中含 【解答】 解： （ 1 x） 4 = x+ （ 1+ ）（ 1 x） 4=（ 1+ ）（ x+ ， 第 8 頁（共 25 頁） 含 +2= 2， 故 選： A 【點評】 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題 6如圖，是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的體積為（ ） A 34 B 16 C 48 D 24 【考點】 由三視圖求面積、體積 【專題】 計算題 【分析】 由三視圖知，此幾何體是一個四棱錐，其中一個側(cè)面垂直于底面，棱錐高為 4，底面是一個長為 6，寬為 2 的矩形，由公式易求出體積 【解答】 解：由圖幾何體是一個高為 4，底面是一個長為 6，寬為 2 的矩形的 四棱錐， 故其體積為 426=16 故選 B 【點評】 本題考查由三視圖求面積、體積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖的作圖規(guī)則還原出幾何體的幾何特征，點線面的位置關(guān)系，長寬高等測度等，再利用公式求體積與面積，此類題數(shù)形結(jié)合，由形入數(shù)，正確識圖是做對此類題的保證 7已知實數(shù) x， y 滿足 ，則目標函數(shù) z=x+y 的最小值為（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【專題】 數(shù)形 結(jié)合；不等式的解法及應(yīng)用 第 9 頁（共 25 頁） 【分析】 由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，由圖得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案 【解答】 解：由約束條件 作出可行域如圖， 化目標函數(shù) z=x+y 為直線方程的斜截式，得 y= x+z， 由圖可知，當直線 y= x+z 過可行域內(nèi)的點 B（ 6， 3）時， 直線在 y 軸上的截距最小，即 z 最小 目標函數(shù) z=x+y 的最小值為 6+3= 3 故選： C 【點評】 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題 8函數(shù) f（ x） =x+）（其中 A 0， 0， | ）的圖象如圖所示，為了得到 y=只要將 f（ x）的圖象（ ） A向左平移 個單位長度 B向右平移 個單位長度 C向左 平移 個單位長度 D向右平移 個單位長度 【考點】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 【專題】 計算題 第 10 頁（共 25 頁） 【分析】 先根據(jù)圖象確定 A 和 T 的值，進而根據(jù)三角函數(shù)最小正周期的求法求 的值，再將特殊點代入求出 值從而可確定函數(shù) f（ x）的解析式，然后根據(jù)誘導公式將函數(shù)化為余弦函數(shù)，再平移即可 【解答】 解：由圖象可知 A=1， T=， = =2 f（ x） =2x+），又因為 f（ ） =+） = 1 += +2= （ kZ） | ， = f（ x） =2x+ ） = 2x ） = 2x） =2x ） 將函數(shù) f（ x）向左平移 可得到 （ x+ ） =y 故選 C 【點評】 本題主要考查根據(jù)圖象求函數(shù)解析式和方法和三角函數(shù)的平移變換根據(jù)圖象求三角函數(shù)解析式時，一般先根據(jù)圖象確定 A 的值和最小正周期的值，進而求出 w 的值，再將特殊點代入求 的值 9執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為 21，則判斷框中應(yīng)填（ ） A i 5 B i 6 C i 7 D i 8 【考點】 程序框圖 【專題】 算法和程序框圖 【分析】 根據(jù)題意，模擬程序框圖的執(zhí)行過程，計算輸出結(jié)果即可 【解答】 解：模擬程序框圖執(zhí)行過程，如下； 開始， i=1， s=0，不輸出，進入循環(huán)， 1 是奇數(shù)？是， s=0 12= 1， i=1+1=2， 第 11 頁（共 25 頁） 不輸出，進入循環(huán)， 2 是奇數(shù)？否， s= 1+22=3， i=2+1=3，不輸出，進入循環(huán)， 3 是奇數(shù)？是， s=3 32= 6， i=3+1=4，不輸出，進入循環(huán)， 4 是奇數(shù)？否 s= 6+42=10， i=4+1=5，不輸出，進入循環(huán)， 5 是奇數(shù)？是， s=10 52= 15， i=5+1=6，不輸出，進入循環(huán)， 6 是奇數(shù)？否， s= 15+62=21， i=6+1=7，退出循環(huán)，輸出 21， 判斷框中的條件是： i 7？ 故選 C 【點評】 本題考查了程序框圖的執(zhí)行結(jié)果的問題，解題時應(yīng)模擬程序的執(zhí)行過程，是基礎(chǔ)題 10已知正三棱錐 P P、 A、 B、 C 都在半徑為 的球面上，若 兩互相垂直，則球心到截面 距離為（ ） A B C D 【考點】 球內(nèi)接多面體 【專題】 綜合題；空間位置關(guān)系與距離 【分析】 先利用正三棱錐的特點，將球的內(nèi)接三棱錐問題轉(zhuǎn)化為球的內(nèi)接正方體問題，從而將所求距離轉(zhuǎn)化為正方體中，中心到截面的距離問題，利用等體積法可實現(xiàn)此計算 【解答】 解： 正三棱錐 P 兩垂直， 此正三棱錐的外接球即以 三邊的正方體的外接球 O， 球 O 的半徑為 ， 正方體的邊長為 2，即 B=， 球心到截面 距離即正方體中心到截面 距離， 設(shè) h，則正三棱錐 P = S h= S C= 222= ， 邊長為 2 的正三角形， S （ 2 ） 2=2 ， h= ， 球心（即正方體中心） O 到截面 距離為 = 故選： C 【點評】 本題主要考球的內(nèi)接三棱錐和內(nèi)接正方體間的關(guān)系及其相互轉(zhuǎn)化，棱柱的幾何特征，球的幾何特征，點到面的距離問題的解決技巧，有一定難度，屬中檔題 第 12 頁（共 25 頁） 11如圖，把圓周長為 1 的圓的圓心 C 放在 y 軸上，頂點 A（ 0， 1），一動點 M 從 A 開始逆時針繞圓運動一周，記 =x，直線 x 軸交于點 N（ t， 0），則函數(shù) t=f（ x）的圖象大致為（ ） A B C D 【考點】 函數(shù)的圖象 【專題】 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 根據(jù)動點移動過程的規(guī)律，利用單調(diào)性進行排除即可得到結(jié)論 【解答】 解：當 x 由 0 時， t 從 0，且單調(diào)遞增， 由 1 時， t 從 0+，且單調(diào)遞增， 排除 A， B， C， 故選： D 【點評】 本題主要 考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用特殊值法，結(jié)合點的移動規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，有一點的難度 12定義域 R 的奇函數(shù) f（ x），當 x（ ， 0）時 f（ x） + x） 0 恒成立，若 a=3f（ 3）， b=f（ 1）， c= 2f（ 2），則（ ） A a c b B c b a C c a b D a b c 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【專題】 導數(shù)的綜合應(yīng)用 【分析】 先構(gòu)造函數(shù) g（ x） =x），依題意得 g（ x）是偶函數(shù)，且 g（ x） 0 恒成立，從而故 g（ x）在 x（ ， 0）單調(diào)遞減 ，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性得出 g（ x）在（ 0， +）上遞增，即可比較a， b， c 的大小 第 13 頁（共 25 頁） 【解答】 解：設(shè) g（ x） =x），依題意得 g（ x）是偶函數(shù)， 當 x（ ， 0）時， f（ x） + x） 0， 即 g（ x） 0 恒成立，故 g（ x）在 x（ ， 0）單調(diào)遞減， 則 g（ x）在（ 0， +）上遞增， 又 a=3f（ 3） =g（ 3）， b=f（ 1） =g（ 1）， c= 2f（ 2） =g（ 2） =g（ 2）， 故 a c b 故選 A 【點評】 本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識， 考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想屬于中檔題 二、填空題：本大題共 4小題，每小題 5分 13設(shè)函數(shù) f（ x） = ，若 f（ f（ 1） =2，則 a 的值為 5 【考點】 函數(shù)的值 【專題】 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 由已知得 f（ 1） =21=2，從而 f（ f（ 1） =f（ 2） =4 a） =2，由此能求出 a 的值 【解答】 解： 數(shù) f（ x） = ， f（ f（ 1） =2， f（ 1） =21=2， f（ f（ 1） =f（ 2） =4 a） =2， 4 a=9，解得 a= 5 故答案為： 5 【點評】 本題考查實數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意分段函數(shù)的性質(zhì)的合理運用 14已知向量 ， 夾角為 45，且 | |=1， |2 |= ，則 | |= 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【專題】 平面向量及應(yīng)用 【分析】 利用數(shù)量積的性質(zhì)即可得出 【解答】 解： 向量 ， 夾角為 45，且 | |=1， |2 |= 第 14 頁（共 25 頁） = ， 化為 =10， 化為 ， ， 解得 | |= 故答案為： 【點評】 本題考查了數(shù)量積的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題 15已知等比數(shù)列 ， a3+， ，則 = 9 【考點】 等比數(shù)列的性質(zhì) 【專題】 等差數(shù)列與等比數(shù)列 【分析】 由等比數(shù)列的性質(zhì)可得 ，解出 別可得 =入可得答案 【解答】 解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得 ， 解得 ，或 2， 當 時，可得 ， =3 當 2，可得 0， = 5，（舍去） =2=9 故答案為： 9 【點評】 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及分類 討論的思想，屬基礎(chǔ)題 16已知雙曲線 C： 的左、右焦點分別為 點 直線與雙曲線 C 的右支相交于 P、 Q 兩點，且點 P 的橫坐標為 2，則 周長為 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 第 15 頁（共 25 頁） 【專題】 計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程 【分析】 由題意畫出圖形，求出 |長度，利用雙曲線定義求出 |長度，則 周長可求 【解答】 解：由雙 曲線 C： ，得 ， ，則 2， 0）， 2， 0）， 由于點 P 的橫坐標為 2，則 x 軸， 令 x=2，有 ， 即 y= ，則 | ， |2a+| ， 則 周長為 | 故答案為： 【點評】 本題考查雙曲線的方程，考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，訓練了雙曲線定義的應(yīng)用，是中檔題 三、解答題：解答應(yīng)洗出文字說明、證明過程或演算步驟 17在 ，內(nèi)角 A， B， C 的對應(yīng)邊分別為 a， b， c，已 知 b= 1）求 A+B 的值； （ 2）若 c= ，求 積的最大值 【考點】 正弦定理；余弦定理 【專題】 轉(zhuǎn)化思想；解三角形；不等式的解法及應(yīng)用 【分析】 （ 1）由 b=正弦定理可得： A+C）=得 ， C（ 0， ）即可得出 A+B 第 16 頁（共 25 頁） （ 2）由余弦定理可得： c2=a2+2利 用基本不等式的性質(zhì)、三角形面積計算公式即可得出 【解答】 解：（ 1）在 ， b=正弦定理可得： 又 （ A+C） =A+C） = A（ 0， ）， ， 得 ， C（ 0， ） C= ， A+B= （ 2）由余弦定理可得： c2=a2+2 2=a2+ 2+ ab=a2+得 =2+ 當且僅當 a=b= 時取等號 S = 【點評】 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式、基本不等式的性質(zhì)、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 18第十七屆亞運會于 2014 年 9 月 19 日至 10 月 4 日在韓國仁川舉行為了搞好接待工作，組委會在首爾大學某學院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者從事禮賓接待和語言翻譯工作，將這 30 名志愿者的身高（單位： 成莖葉圖（如圖所示）： 組委會安排決定：身高 175上（包含 175志愿者從事禮賓接待，身高在 175下的志愿者從事語言翻譯 （ ）如果從分層抽樣的方法從從事禮賓接待的志愿者和從事語言翻譯的志愿者中抽取 5 人，再從這 5 人中隨機選 2 人，那么至少有一人是從事禮賓接待的志愿者的概率是多少？ 第 17 頁（共 25 頁） （ ）若從所有從事禮賓接待的志愿者中隨機選 3 名志愿者，用 表示從事禮賓接待的志愿者中女志愿者的人數(shù)，試寫出 的分布列，并求出 的數(shù)學期望 【考點】 離散型隨機變量及其分布列；莖葉圖；古典概型及其概率計 算公式；離散型隨機變量的期望與方差 【專題】 概率與統(tǒng)計 【分析】 （ I）先用分層抽樣的方法，計算出每個人被抽中的概率，再利用對立事件的概率和為 1 可求得結(jié)果；（ 題意分別計算出 取值為 0， 1， 2， 3 時各自的概率，然后列出分布列并求出期望 【解答】 解：（ I）根據(jù)莖葉圖，有從事禮賓接待的志愿者 12 人，有從事語言翻譯的志愿者 18 人，用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率是 所以抽中的從事禮賓接待的志愿者有 人，從事語言翻譯的志愿者有 人 用事件 A 表示 “至少有 1 名從事禮賓接待的志愿者被選中 ”，則它的對立事件 表示 “沒有 1 名從事禮賓接待的志愿者被選中 ”， 則 （ 題意： 的可能取值為 0， 1， 2， 3 則 ， ， ， 因此， 0 1 2 3 p 故 【點評】 本題考查知識點莖葉圖；對立事件的概率；離散型隨機變量的分布列及期望，基本知識 的應(yīng)用 第 18 頁（共 25 頁） 19如圖，三棱柱 平面 C=2， ， D 為 中點 （ 1）求證： 平面 （ 2）求二面角 B 的余弦值 【考點】 二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定 【專題】 數(shù)形結(jié)合；向量法；空間位置關(guān)系與距離；空間角 【分析】 （ 1）連接 交 0，連接 據(jù)線面平行的判定定理即可證明 平面 （ 2）建立坐標系，求出平面 的法向量，利用向量法進行求解 【解答】 證明：連接 交 0，連接 矩形， O 是 中點， D 為 中點， 面 面 平面 （ 2）建立空間坐標系如圖： 第 19 頁（共 25 頁） 則 0， 0， 0）， B（ 0， 3， 2）， C（ 0， 3， 0）， A（ 2， 3， 0）， D（ 1， 3， 0）， 0， 0， 2） 則 =（ 0， 3， 2）， =（ 1， 3， 0）， =（ 0， 0， 2）， 令平面 一個法向量為 =0， =0，從而有 ， 不妨令 x=1，則 y= ， z= 得到平面 一個法向量為 =（ 1， ， ） 令平面 一個法向量為 ， 所以 =0 ，從而有， ，不妨令 y= 1，則 x=3， z=0 得到平面 一個法向量為 =（ 3， 1， 0）， 因為 = = 則二面角 B 的余弦值是 【點評】 本題主要考查線面平行的判定以及二面角的求解，建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法是解決空間二面角的常用方法，綜合性較強，運算量較大 20已知橢圓 C 的中心在原點，焦點在 x 軸上，離心率等于 ，它的一個頂點恰好在拋物線 （ 1）求橢圓 C 的標準方 程； （ 2）點 P（ 2， ）， Q（ 2， ）在橢圓上， A， B 是橢圓上位于直線 側(cè)的動點當 A，B 運動時，滿足 問直線 斜率是否為定值，請說明理由 第 20 頁（共 25 頁） 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【專題】 圓錐曲線中的最值與范圍問題 【分析】 （ 1）設(shè)橢圓 C 的標準方程為 （ a b 0），由 橢圓的一個頂點恰好在拋物線 y= 2 上，可得 b= 2，解得 b又 ， a2=b2+立解得即可 （ 2）設(shè) A（ B（ 由 斜率互為相互數(shù)，可設(shè)直線斜率為 k，則 斜率為 k，直線 方程為： =k（ x 2），與橢圓的方程聯(lián)立化為 +4 16=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式即可得出 【解答】 解：（ 1）設(shè)橢圓 C 的標準方程為 （ a b 0）， 橢圓的一個頂點恰好在拋物線 y 的準線 y= 2 上， b= 2，解得 b=2 又 ， a2=b2+ a=4， ， 可得橢圓 C 的標準方程為 （ 2）設(shè) A（ B（ 斜率互為相互數(shù)， 可設(shè)直線 斜率為 k，則 斜率為 k， 直線 方程為： =k（ x 2）， 聯(lián)立 ， 化為 +4 16=0， 第 21 頁（共 25 頁） = ， 同理可得： = = ， x1+， ， = = 直線 斜率為定值 【點評】 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式、直線方程，考查了推理能力與計算能力，屬于難題 21設(shè)函數(shù) f（ x） =x2+ （ ） 若 x=2 是函數(shù) f（ x）的極值點， 1 是函數(shù) f（ x）的一個零點，求函數(shù) f（ x）的解析式； （ ） 若對任意 b 2， 1，都存在 x（ 1， e）（ e 為自然對數(shù)的底數(shù)），使得 f（ x） 0 成立，求實數(shù) a 的取值范圍 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單 調(diào)性 【專題】 導數(shù)的綜合應(yīng)用 【分析】 （ ）先求導得到 ，由， f（ 1） =1+b=0，得到 a 與 b 的值，繼而求出函數(shù)的解析式， （ ）令 g（ b） =xb+b 2， 1，問題轉(zhuǎn)化為在 x（ 1， e）上 g（ b） g（ 1）0 有解即可，亦即只需存在 1， e）使得 x 0 即可，連續(xù)利用導函數(shù)，然后分別對 1 a0， 1 a 0，看是否存在 1， e）使得 h（ h（ 1） =0，進而得到結(jié)論 【解答】 解：（ ） ， x=2 是函數(shù) f（ x）的極值點， f（ 2） =4 +b=0 1 是函數(shù) f（ x）的零點，得 f（ 1） =1+b=0， 第 22 頁（共 25 頁） 由 ， 解得 a=6， b= 1 f（ x） =x 6 （ ）令 g（ b） =xb+b 2， 1，則 g（ b）為關(guān)于 b 的一次函數(shù)且為增函數(shù)， 根據(jù)題意，對任意 b 2， 1，都存在 x（ 1， e）（ e 為自然對數(shù)的底數(shù)），使得 f（ x） 0 成立， 則在 x（ 1， e）上 g（ b） g（ 1） = x+0，有解， 令 h（ x） =x 需存在 1， e）使得 h（ 0 即可， 由于 h（ x） =2x 1 ， 令 （ x） =2x a， x（ 1， e）， （ x） =4x 1 0， （ x）在（ 1， e）上單調(diào)遞增， （ x） （ 1） =1 a， 當 1 a0，即 a1 時， （ x） 0，即 h（ x） 0， h（ x）在（ 1， e） 上單調(diào)遞增， h（ x） h（ 1） =0，不符合題意 當 1 a 0，即 a 1 時， （ 1） =1 a 0， （ e） =2e a 若 a2e 1，則 （ e） 0，所以在（ 1， e）上 （ x） 0 恒成立，即 h（ x） 0 恒成立， h（ x）在（ 1， e）上單調(diào)遞減， 存在 1， e）使得 h（ h（ 1） =0，符合題意 若 2e a 1，則 （ e） 0， 在（ 1， e）上一定存在實數(shù) m，使得 （ m） =0， 在（ 1， m）上 （ x） 0 恒成立，即 h（ x） 0 恒成立， h（ x）在（ 1， e）上單調(diào)遞減， 存在 1， e）使得 h（ h（ 1） =0，符合題意 綜上所述，當 a 1 時，對任意 b 2， 1，都存在 x（ 1， e）（ e 為自然對數(shù)的底數(shù)），使得 f（ x） 0 成立 【點評】 本題考查利用導數(shù)求函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性綜合性強，難度大，是高考的重點解題時要認真審題，仔細解答 請考生在 22、 23、 24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分 選修 4何證明選講 第 23 頁（共 25 頁） 22如圖，已知圓 O 上的 弦 D，過點 C 作圓 O 的切線與 延長線相交于點 E （ 1）求證： （ 2）若 ， ，求 長 【考點】 與圓有關(guān)的比例線段 【專題】 選作題；推理和證明 【分析】 （ 1）由同圓中等圓弧的性質(zhì)可得 弦切角