第 1 頁，共 12 頁 2016 年高考模擬試卷 (8) 南通市數(shù)學(xué)學(xué)科基地命題 第卷（必做題，共 160 分） 一、 填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共 70 分 1 函數(shù) ( ) 3 s i n c o sf x x x 的最小正周期為 . 2 已知復(fù)數(shù) (2 )z i i，其中 i 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第 象限 . 3雙曲線 22 12的離心 率為 . 4在一次滿分為 160 分的數(shù)學(xué)考試中，某班 40 名學(xué)生的考試成績分布如下： 成績（分） 80 分以下 80， 100） 100， 120） 120， 140） 140， 160 人數(shù) 8 8 12 10 2 在該班隨機抽取一名學(xué)生，則該生在這次考試中成績在 120 分以上的概率為 5 函數(shù) 2l n ( 2 ) 1y x x 的定義域為 . 6 如圖，在平 行 四邊形 ， D 相交于點 O， E 為線段 中點，若 （ R, ），則 . 7右圖是一個算法流程圖，則輸出的 x 的值為 . 8 用長度為 24m 的材料圍成一矩形場地，并且中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為 m . 9四棱錐 P 底面 底面 矩形 ， 2， 3， 3， 點 D 上一點 ， 則三棱錐 E 體積為 . 10 已知 函數(shù) 2()| | 2x ， ，則 2( 2 ) ( 3 4 )f x x f x 的解集是 . 11記 等差數(shù)列 n 項和為 已知1 3a，且數(shù)列 11a= . 12 在平面直角坐標(biāo)系 ， 已知圓 C： 22( 3) 2 ，點 A 是 x 軸上的一個動點， 別切圓 C 于 P， Q 兩點，則線段 的取值范圍為 . 題圖結(jié)束 開始 n 1 ， x 1 x y 2y 1 輸出 x N （第 7 題） n 5 Y n n 1 第 2 頁，共 12 頁 13 已知 0， 且 2 ，則 413x y x y的最小值為 . 14 已知函數(shù)2( ) ( ) ( ) ( 0 )f x x a x b b ，不等式 ( ) ( )f x m x f x 對 恒成立，則 2m a b . 二、解答題：本大題共 6 小題，共計 90 分請在 答題卡指定區(qū)域 內(nèi)作答，解答時寫出文字說明、證明過程或演算步驟 15（本小題滿分 14 分 ） 在 中，角 A、 B、 C 的對邊分別為 ,. (1)若 92A求 的面積； (2)設(shè)向量 ( 2 s i n , 3 )2r ， ( c o s , c o s )2 且 求 )的值 . 16（本小題滿分 14 分） 如圖，四邊形11邊形11平面11平面11， E 分別為邊11 （ 1）求證：1面1 （ 2）求證： 面1 17（本小題滿分 14 分） 已知橢圓 1(ab0)的離心率 e22 ，一條準(zhǔn)線方程為 x = 2過橢圓的上頂點 A 作一條與 x 軸、 y 軸都不垂直的直線交橢圓于另一點 P， P 關(guān)于 x 軸的對稱點為 Q （ 1）求橢圓的方程； （ 2）若直線 x 軸 交點的橫坐標(biāo)分別為 m， n，求證： 常數(shù)，并求出此常數(shù) C 1B 1A 1（ 第 16 題 ）x y O n m P Q A （第 18 題圖） 第 3 頁，共 12 頁 O E D C B A 18（本小題滿分 16分） 如圖所示，某鎮(zhèn)有一塊空地 ，其中 3OA ， 33O B ， 90 . 當(dāng)?shù)劓?zhèn)政府規(guī)劃將這塊空地改造成一個旅游景點，擬在中間挖一個人工湖 ，其中 , 30M O N ，挖出的泥土堆放在 地帶上形成假山，剩下的 地帶開設(shè)兒童游樂場 . 為安全起見，需在 的一周安裝防護網(wǎng) . （ 1）當(dāng) 32AM ，求防護網(wǎng)的總長度； （ 2）為節(jié)省投入資金，人工湖 的面積要盡可能小，問如何設(shè)計施工方案，可使 的面積最??？ 最小面積是多少？ 19 （本小題滿分 16 分） 已知函數(shù) f(x) 1x a x b(a， b， 為實常數(shù) ) (1)若 1， a 1 當(dāng) b 1 時，求函數(shù) f(x)的圖象在點 ( 2， f( 2)處的切線方程； 當(dāng) b 0 時，求函數(shù) f(x)在 13， 12上的最大值 (2)若 1， b a，求證：不等式 f(x) 1 的解集構(gòu)成的區(qū)間長度 D 為定值 20（本小題滿分 16分） 已知數(shù)列 數(shù)列 ) ( ) ( )n n n n n S S n S S n N （ 1）若數(shù)列 且 0求數(shù)列 （ 2）若1 1a，2 3a ，且數(shù)列 21， 2 為公比的等比數(shù)列，求滿足不等式2 2 1的所有正整數(shù) n 的集合 第卷（附加題，共 40 分） 21 【選做題】本題包括 A、 B、 C、 D 共 4 小題， 請選定其中兩小題 ， 并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答 若多做，則按作答的前兩小題評分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 A （選修：幾何證明選講） 如圖， 圓 O 的切線， A 為切點， C 為線段 中點，過 C 作圓O 的割線 E 在 C， D 之間），求證： O A B M N 第 4 頁，共 12 頁 B （選修：矩陣與變換） 已知矩陣 03， A 的逆矩陣10311(1)求 a,b 的值； （ 2）求 A 的特征值 . C （選修：坐標(biāo)系與參數(shù)方程） 在平面直角坐標(biāo)系 ，已知曲線 C：2），直線 l：1210 ()3410 為 參 與直線 l 交于 A， B 兩點，求線段 長度 . D （選修：不等式選講） 已知 x,y,z 都是正數(shù)且 ,求證： (2+x)(2+y)(2+z)64. 【必 做題】第 22 題、第 23 題，每題 10 分，共計 20 分請在 答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答 ，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 22 (本小題滿分 10 分 ) 在某次 活動中，有 5 名幸運之星這 5 名幸運之星可獲得 A 、 B 兩種獎品中的一種，并規(guī)定：每個人通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己最終獲得哪一種獎品 (骰子的六個面上 的點數(shù)分別為 1 點、 2 點、 3 點、 4 點、 5 點、 6 點），拋擲點數(shù)小于 3 的獲得 A 獎品，拋擲點數(shù)不小于 3 的獲得 B 獎品 （ 1）求這 5 名幸運之星中獲得 A 獎品的人數(shù)大于獲得 B 獎品的人數(shù)的概率； （ 2）設(shè) X 、 Y 分別為獲得 A 、 B 兩種獎品的人數(shù)，并記 ，求隨機變量 的分布列及數(shù)學(xué)期望 23 （ 本小題滿分 10 分 ） 在平面直角坐標(biāo)系 ，已知拋物 2 2 ( 0 )y p x p的準(zhǔn)線方程為 1,4x 過點 M(0,拋物線的切線 點為 A（異于點 O) 與拋物線交于兩點 B,C，與直線 . (1)求拋物線的方程 ; (2)試問 : C的值是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由 . 第 5 頁，共 12 頁 2016 年高考模擬試卷 (8) 參考答案 南通市數(shù)學(xué)學(xué)科基地命題 第卷（必做題，共 160 分） 一、填空題 1 . 2二 . 3 3 . 4 5 ( , 2) . 6. 34.【解析】由 1 1 1()2 4 2B E B O B A B D B A u u ur u u ur u u u ur u 得 34. 7 16. 8 3 .【解析】設(shè)隔墻的長度為 則矩形的面積為 2( 1 2 2 ) 2 1 2S x x x x ，可知當(dāng) x=3積最大 . 9 3 .【解析】 1 1 1 2 3 3 33 3 2 A D . 10（ 1,2） .【解析】10() 42 ，由 22202 3 4x x 得 1x2. 11 63 .【解析】可設(shè)2 , n B n a n b 平方比較系數(shù)得， B=b=0,故知 n ，結(jié)合 113，所以 23，則1 1 1 1 1 0 63a S S . 12 2 14 , 2 2 )3.【解析】設(shè) CA=x,則 22 2 1 ( 3 , ) ) , 據(jù)此可得 2 1 4 222 . 13 94.【解析】令 3 , ( 0 , 0 )x y m x y n m n ，則問題轉(zhuǎn)化為 4, 求 41最小值，而41( ) ( ) 9mn ，故知最小值為 9/4. 14 23 .【解析】2( ) ( ) ( ) ( 3 1 ) ( 2 ) 0m x f x f x x b m x a b m a m b x a b ，可知 13m，進而( ) ( 2 ) 3 0x b a b x a b ，由于 0b 得 a=b，所以 2m a b2/3 . 二、解答題 15 （ 1）由 92，得 92 2 分 又因為 35，所以 92152 4 分 又 C 為 內(nèi)角，所以 45 所以 面積 S 123 6 分 （ 2）因為 x/y，所以 23 3 8 分 第 6 頁，共 12 頁 因為 ，所以 3 因為 B 為三角形的內(nèi)角，所以 B3 10 分 所以 A C 23，所以 A 23 C 所以 A) A) 3)12 分 1232 12 45 32 35 4 3 310 14 分 16 （ 1）四邊形11 1A C A A C C 平 面又平面11平面11面11平面11 平面11 3 分 1面11 四邊形1111C， 5 分 1B C I， 平面1面1 1面17 分 （ 2）取1，連 四邊形11E， F 分別為1 平面1平面1 面19 分 又 D， F 分別為邊11 平面1面1 面111 分 F FI ， 平面 平面 平面 面1 平面 面114 分 17 因為 22 ， = 2， 所以 a 2， c 1，所以 b 2 分 故橢圓的方程為 1 4 分 第 7 頁，共 12 頁 解法一 設(shè) P 點坐標(biāo)為 (則 Q 點坐標(biāo)為 ( 因為 10 1所以直線 方程為 y 11 令 y = 0，解得 m 1. 7 分 因為 10 1以直線 方程為 y 11 令 y 0，解得 n 1 10 分 所以 1 1 又因為 (橢圓 1 上，所以 + y= 1，即 1 y= ， 12 分 所以 2，即 2 所以 常數(shù)，且常數(shù)為 2 14 分 解法二 設(shè)直線 斜率為 k(k 0)，則 方程為 y = 1， 令 y = 0，得 m 1k 7 分 聯(lián)立方程組y = 1，+ 1， 消去 y，得 (1 2k2)40，解得 0， 4 2 所以 k1 1 22 則 Q 點的坐標(biāo)為 ( 4 2 1 22 10 分 所以 1 221 4 212k，故直線 方程為 y 121 令 y 0，得 n 2k， 12 分 所以 ( k )( 2k) 2 所以 常數(shù)，常數(shù)為 2 14 分 18 （ 1）在 中，因為 3， 33， 90 ，所以 60 ， 在 中， 33 , , 6 02O A A M O A M ，由余弦定理，得 332 2 分 所以 2 2 2O M A M O A，即 N ， 4 分 所以 30 ，從而 為正三角形， 第 8 頁，共 12 頁 所以 的周長為 9，即防護網(wǎng)的總長度為 97 分 （2）設(shè) ( 0 6 0 )A O M ，在 B O N 中 ， 據(jù) 正 弦 定 理 得332 ， 9 分 又在 中，由s i n 6 0 s i n ( 6 0 )O M O A ， 得 332 s i n ( 6 0 ) ， 11 分 所以 1 2 7s i n 3 02 1 6 s i n ( 6 0 ) c o M O N 13 分 271 3 38 ( s i n 2 c o s 2 )2 2 2278 s i n ( 2 6 0 ) 4 3 ， 所以當(dāng)且僅當(dāng) 2 6 0 9 0 ，即 15時， 的面積取最小值為 27(2 3)42. 答：當(dāng) 分 時，可使 的面積最小，且最小值為 27(2 3)4216 分 19 (1) 當(dāng) b 1 時， f(x) 1x 1 1x 1 21， 則 f (x) 4x(1)2， 可得 f ( 2) 4 2， 又 f( 2) 2， 故 所求切線方程為 y 2 4 2(x 2)，即 4 2x y 10 0 當(dāng) 1 時， f(x) 1x 1 1x b， 則 f (x) 1(x 1)2 1(x b)2 (x 1)2 (x b)2(x 1)2(x b)2 2(b 1)(x b 12 )(x 1)2(x b)2 因為 b 0， 則 b 1 0 ，且 b b 12 12 故當(dāng) b x b 12 時， f (x) 0， f(x)在 (b， b 12 )上單調(diào)遞增 ； 當(dāng) b 12 x 12 時， f (x) 0， f(x)在 (b 12 ， 12 )單調(diào)遞減 ( )當(dāng) b 12 13，即 b 13時， f(x)在 13， 12單調(diào)遞減， 所以 f(x)f(13) 9b 92 6b； ( )當(dāng) 13 b 12 12，即 13 b 0 時， f(x)f(b 12 ) 4b 1 綜上所述， f(x)4b 1， 13 b 0，9b 92 6b， b 13(2) f(x)1即 1x a 1x b1 當(dāng) x b 時， x a 0， x b 0，此時解集為空集 當(dāng) a x b 時，不等式 (*)可化為 (x a) (x b)(x a)(x b)， 第 9 頁，共 12 頁 展開并整理得， (a b 2)x (a b)0， 設(shè) g (x) (a b 2)x (a b)， 因為 (a b)2 4 0，所以 g (x)有兩不同的零點，設(shè)為 x2( 又 g (a) b a 0， g (b) a b 0，且 b a， 因此 b a 所以 當(dāng) a x b 時，不等式 (a b 2)x (a b)0的解為 b x 當(dāng) x a 時，不等式 (*)可化為 (x a) (x b)(x a)(x b)， 展開并整理得， (a b 2)x (a b)0， 由 知，此時不等式的解為 a x 綜上所述， f(x) 1 的解構(gòu)成的區(qū)間為 (b， (a， 其長度為 (b) (a) a b a b 2 a b 2 故 不等式 f(x) 1 的解集構(gòu)成的區(qū)間長度 D 為定值 2 20（ 1）設(shè)等差數(shù)列 d ， 所以11na a ，1 ( 1 )2n n a d，由112 ( ) ( ) ( )n n n n n S S n S S n N，得112 ( 2 )n n n n nb a S n S a ，及由 0 又由 0得 1 1 1 1( 1 )2 ( ) 2 ( 1 ) 02n d n a d n n a n n d a n d 對一切 n N 都成立，即 2 2 2 21 1 1 1 1( 3 2 ) 2 0d d n a d d a n a a d a 對一切 n N 都 成立令1n ， 2n ，解之得10,0,或11,1,經(jīng)檢驗，符合題意， 所以 或 （ 2）由題意得 1212 ， 12 32，2 2 1 3 ( 2 1 ) 4 2 4n n ， 112 1 2 2 4 2 4 3 2 5 2 4n n nn n a 2 2 1 2 2 2 12 2 ( 2 )n n n n nb a S n S a 2 2 ( 4 2 4 ) 2 ( 8 2 8 2 )n n n 122 ( 2 9 4 ) 1 6nn 2 1 2 2 1 2 1 22 ( 2 1 ) ( 2 )n n n n nb a S n S a 1 1 1 16 2 ( 5 2 4 ) ( 2 1 ) ( 1 0 2 8 3 2 )n n n 112 ( 3 0 2 2 6 1 1 ) 1 6 8nn 1 2 1 12 2 1 2 ( 2 9 4 ) 1 6 2 ( 3 0 2 2 6 1 1 ) 1 6 8 n n n b n n n n 第 10 頁，共 12 頁 1 2 1552 ( 2 5 ) 8 2 8 2 ( 5 )22n n n 記21 52 8 2) ()2( 5nn ，即 15( ) 2 2 ( 5 ) 22 8n n ， 記 15( ) 2 ( 5 )22ng n n ， 則11 1 5 1 5( 1 ) ( ) 2 ( 5 ) 2 52 2 2 2n g n n n 1 252 n ， 當(dāng) 1n ， 2， 3 時， ( 1) ( ) 0g n g n ， 當(dāng) *nN 時， 4n ， ( 1) ( )g n g n 1 2 5 02 n ， 因為 1n 時， 13(1) 02g ，所以 (4) 0g ；且 1(6) 02g ； 53(7) 02g 所以 15( ) 2 2 ( 5 ) 22 8n n 在 7( *) N 時也是單調(diào)遞增， 1n 時， (1) 5 0f ； 2n 時， (2) 34 0f ； 3n 時， (3) 1 0 0 0f ； 4n 時， (4 ) 2 2 4 0f ； 5n 時， (5) 3 6 0 0f ； 6n 時， (6) 24 0f ； 7n 時， (7 ) 3 4 0 0 0f ， 所以滿足條件的正整數(shù) n 的集合為 1， 2， 3， 4， 5， 6 第卷（附加題，共 40分） 21A 因為 圓 O 的切線， 所以 2C A C E C D， 又 B ，所以 2C B C E C D， 即 B，又 B C D B C D ，所以 所以 B （ 1）因為 A A 1 3 02 a 13 0b 1 1 023 a 1 00 1 所以a 1，23 0解得 a 1， b 23 （ 2）由（ 1）得 A 3 02 1 ， 第 11 頁，共 12 頁 則 A 的特征多項式 f() 3 0 2 1 ( 3)( 1) 令 f() 0，解得 A 的特征值 1 1， 2 3 C 由 x s，y 去 s 得曲線 C 的普通方程為 y 由x 2 110t，y 4 310t 得直線 l 的普通方程為 y 3x 2 聯(lián)立直線方程與曲線 C 的方程，即 y x2，y 3x 2， 解得交點的坐標(biāo)分別為 (1， 1)， (2， 4) 所以線段 長度為 (2 1)2 (4 1)2 10 D 因為 x 為正數(shù)，所以 2 x2 2x 同理 2 y2 2y ， 2 z2 2z 所以 (2 x)( 2 y)( 2 z) 2 2 2 2 2 2 8 8x y z x y z