2016 年 虹口區(qū) 高考 模擬試卷 理科數(shù)學(xué) 生注意： 頁， 23 道試題，滿分 150 分，考試時間 120 分鐘 . 作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分 . 一、填空題（本大題滿分 56 分） 本大題 共 14 題，只要求在答題紙相應(yīng)題 號 的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得 4 分，否則一律得零分 . 1 設(shè)集合 1 03 x ， 21，則 _. 2 在 中， 34A則 _. 3. 已知復(fù)數(shù) 2 ()13iz i z 為 虛 數(shù) 單 位 ， 表 示的共軛復(fù)數(shù)，則 _. 列 公比 1 足 ，且 2 4 3 44 , 3 ,a a a a 則12l i m ( )nn a a a L _. ) ( ) ( )f x x a x a R 存在反函數(shù) 1()，則 1(1) ( 4 ) _. 6 學(xué) 解 題中， 時 常會 碰到 形如“1” 的式子 ， 它與“兩 角和 的 正切公式 ” 的 結(jié)構(gòu) 類 似 .若 a ,b 是 非零實數(shù)，且滿足 s i n c o s 855 t a n 15c o s s i ， 則 _. 7. 若一個球的半徑與它的內(nèi)接圓錐的底面半徑之比為 5,3且內(nèi)接圓錐的軸截面為銳角三角形， 則該 球的體 積與它的內(nèi)接圓錐的體積之比 等于 _. 8某小區(qū)有排成一排的 8 個車位，現(xiàn)有 5 輛不同型號的轎車需要停放，則這 5 輛轎車停入車位后，剩余 3 個車位連在一起的概率為 _（結(jié)果用 最簡分 數(shù) 表示 ） . 9 若雙曲線 22 2 1yx b的一個焦點到其漸近線的距離為 22， 則 該雙曲線的焦距等于_. 10若復(fù)數(shù) z 滿足 3 4 (z z i i 為 虛 數(shù) 單 位 )， 則 z 的最小值為 _. 11 在極坐標(biāo)系中， 圓 2 被直線 1s )32截得的弦長為 12過拋物線 2 8的焦點 F 的直線與其相 交于 A， B 兩點， O 為坐標(biāo)原點 若 6, 則 的面積為 13 若關(guān)于 x 的方程 21x x a x有三個不同實根，則實數(shù) a 的取值范圍為 _. 14 在平面直角坐標(biāo)系中，定義 11 1 11 , ( ) ( , ) ( , )n n n n n n n n nn n nx x y n N P x y P x yy x y 為 點 到 點的一個變換，我們把它稱為點變換 2 2(1 , 0 ) ( , )P P x y， ，3 3 3( , )P x y L，是經(jīng)過點變換 得到的一組無窮點列，設(shè)1 1 2,n n n n P P P 等式12 2016na a a n 的值為_. 二 、 選擇題 （ 本大題共 4 題， 滿分 20 分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)題號上，將所選答案的代號涂黑，選對得 5 分，否則一律零分 . 15關(guān)于三個不同平面 , 與直線 l ， 下列命題中的假命題是 ( ) （ A） 若 , 則 內(nèi)一定存在直線平行于 ； （ B） 若 與 不垂直，則 內(nèi)一定不存在直線垂直于 ； （ C） 若 ,l ， 則 ;l （ D） 若 , 則 內(nèi)所有直線垂直于 . 16 若 函數(shù) ()y f x 的圖像與函數(shù) 3 的圖像關(guān)于直線 對稱，且( 1) ( 3 ) 3 ，則 實數(shù) a 等于 ( ) （ A） ( B) 1 （ C） 2 (D) 4 17 在銳角 中 , 60 ,B 2,A B A C C取值范圍 為 ( ) （ A） （ 0， 12） （ B） 1, 124 （ C） 0, 4 （ D） 0, 2 18 在平面直角坐標(biāo)系中，定義 1 1 2 2( , ) ( , )P x y Q x 與 之間的“直角距離”為 ： 1 2 1 2( , ) + Q x x y y 現(xiàn)給出下列 4 個命題： 已知 22(1 , 2 ) ( c o s , s i n ) ( ) ,P Q R , ( , )d P 定 值 ； 已知 ,三點不共線，則必有 ( , ) ( , ) ( , )d P Q d Q R d P R； A 1C 1O 1 用 示 , 之間的距離， 則 2 ( , )2P Q d P Q ； 若 是橢圓 22154上的任意兩點，則 ( , ) Q 的 最 大 值 為 6 則下列判斷正確的為 （ ） （ A） 命題 ， 均為真命題 （ B） 命題 ， 均為假命題 （ C） 命題 ， 均為假命題 （ D） 命題 ， ， 均為真命題 三、解答題（本大題共 5 題，滿分 74 分） 解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟 . 19 (本題滿分 12 分 ) 本題共 2 個小題， 第 1 小題 5 分 ， 第 1 小題 7 分 . 已知函數(shù) 的圖像過點 )3,12( 和點 )2,32( . （ 1）求函數(shù) () （ 2）將函數(shù) )(的圖像向左平移 )0( 個單位后，得到函數(shù) )(的圖像；已知點 )5,0(P ，若函數(shù) )(的圖像上存在點 Q ，使得 3| 求函數(shù) )(圖像的對稱中心 . 20 (本題滿分 14 分 ) 本題共 2 個小題， 第 1 小題 6 分 ， 第 1 小題 8 分 . 已知函數(shù) 2( ) 2 ( 0 )f x a x a x b a 在區(qū)間 1, 3 上的最大值為 5，最小值 為 1. （ 1）求 ,) （ 2）設(shè) ()() ，若不等式 ( 3 ) 3 0 在 0, 2x 上有解，求實數(shù) t 的取值范圍 . 21 (本題滿分 14 分 ) 本題共 2 個小題， 第 1 小題 6 分 ， 第 1 小題 8 分 . 如圖， 在直 四棱 柱1 1 1 1A B C D A B C D中，底 面 為菱形 ， 4 , 2 ,A C B D且側(cè)棱1 中 1 1 1O 11 交 點(1) 求 點1面1離 ； (2) 在線段1否存在一個 點 P ， 使得 直線 1直？若存在，求出線段 長；若不存 在，請 說明理由 . 22. (本題滿分 16 分 ) 本題共 3 個小題，第 1 小題 4 分，第 2 小題 6 分，第 3 小題 6 分 . 設(shè)橢圓 22: 1 ( 0 )a ，定義橢圓 C 的“相關(guān)圓” E 為 : 222222 . 若拋物線 2 4的焦點與橢圓 C 的 右 焦點重合，且橢圓 C 的 短軸 長與焦距相等 . （ 1）求橢圓 C 及其 “相關(guān)圓” E 的方程； （ 2）過“相關(guān)圓” E 上任意一點 P 作 其 切線 l ，若 l 與橢圓 C 交于 ,點， 求 證 : 為定值 （ O 為坐標(biāo)原點 ） ； (3) 在（ 2）的條件下， 求 面積的取值范圍 . 23. (本題滿分 18 分 ) 本題共 3 個小題，第 1 小題 5 分，第 2 小題 6 分，第 3 小題 7 分 . 若 數(shù)列 12: , , , ( , 2 )a a a n N nL 滿足 110 , 1 ( 1, 2 , , 1 ) ,a a k n 數(shù)列 2( ) a a a L （ 1） 若 5A 為 L 數(shù)列 ,且 5 0,a 試寫 出 5() 所有可能值 ； （ 2）若 L 數(shù)列 ，且 0, 求 () 最大值 ； （ 3）對任意給定的正整數(shù) ( 2) ,是否存 在 L 數(shù)列 ,得 ( ) 0 ?若存在，寫出滿足條件的一個 L 數(shù)列 若不存在，請 說明理由 . 2016 年虹口區(qū) 高考模擬數(shù)學(xué)試卷 參考 答 案 與評分標(biāo) 準(zhǔn) 2016 年 5 月 一、填空題（本大題共 14 題 ,每題 4分 ,滿分 56分） 1 0,3 2 24253 1 4 16 5 1 6. 3 3289. 6 10 71011 2 12. 62 13 , 2 2 14 11； 二 、 選擇題（本大題 共 4 題，每題 5 分， 滿分 20分 ） 15. D 16. C 17. A 18.(理 ) D； (文 ) D 三、解答題（本大題共 5 題，滿分 74 分） 19 (本題滿分 12 分 ) 本題共 2 個小題，第 1 小題 5 分，第 2 小題 7 分 . 解：（ 1）易知 c o ，則由條件，得 s i n c o s 36644s i n c o s 233 ， 2 分 解得 3 , 1 故 ( ) 3 s i n 2 c o s 2 2 s i n ( 2 )6f x x x x . 故函數(shù) ()，最小值為 2. 5 分 （ 2）由（ 1）可知： ( ) ( ) 2 s i n ( 2 2 )6g x f x x . 于是，當(dāng)且僅當(dāng) )2,0(Q 在 )(的圖像上時滿足條件 . 7 分 2)62s )0( g. 由 0 ，得 9 分 故 c 2s 2)( . 由22 ( ) k Z 于是，函數(shù) )(圖像的對稱中心為： )(0,42( . 12 分 20 (本題滿分 14 分 ) 本題共 2 個小題，第 1 小題 6 分，第 2 小題 8 分 . 解： （ 1）由 2( ) ( 1 ) 0f x a x b a a （ ） 及 條 件 ， 可 得( 3 ) 3 5 ,(1 ) 1f a bf b a 3 分 解得 1, 故 2( ) 2 2f x x x 6 分 B 1A 1D 1P（ 2）由（ 1）可得 ( ) 2( ) 2 ,x 于是題設(shè)條件得 23 2 3 0 0 , 23 在 上 有 解 , 8 分 即 221 1 1 1 12 2 1 2 0 , 2 3 2 2x x + 在 上 有 解 10 分 令 21 1 1 1 1, 1 ( 0 , 2 ) 2 , 1 2 2 9x u x t u u Q ， 則 在 上 有 解 12 分 21 1 1 1, 1 2 , 1 1 2 2u u t 當(dāng) 時 ， ， 于 是因此，實數(shù) t 的取值范圍為 , 1 . 14 分 21 （理） (本題滿分 14 分 ) 本題共 2 個小題， 每 小題 7 分 . 解： (1) 由于菱形的對角線互相垂直平分，故 以 交點 O 為 原點， 以射線 x y z、 、 軸 ， 建立空間直角坐標(biāo)系 . 由已知條件，相關(guān) 點的坐標(biāo)為 ( 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) 1 1 1( 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 3 ) , ( 0 , 1 , 3 ) , ( 0 , 1 , 3 ) B 2 分 設(shè)平面1 , , ),n x y zr 由 ( 4, 0, 0), 2 , 1, 3), 140 0, 0n A C x D x y zr u u u u u ? - = = 眄镲 =? - - + = 令 1z ， 則 (0, 3,1)n r . 5 分 因11 ( 0 , 2 , 0 ) ,故點1面1離為 11 ( 0 , 2 , 0 ) ( 0 , 3 , 1 ) 3 1 0 .( 0 , 3 , 1 ) 5D B u u u r = = = 7 分 (2) 設(shè) 1,O 則由 ( 2,1, 0), (0, 1, 3), ( 2 , 1 , 3 ) A B B P u u ur u u ur u u + = - - 又 1 ( 2 , 1, 3), 10 分 故當(dāng)1D 1( 2 , 1 , 3 ) ( 2 , 1 , 3 ) 1 0 5 0 C D u u ur u u u 12 分 于是，在線段1 P ， 使得1;D此時11 1 0 B O 14 分 22. (本題滿分 16 分 ) 本題共 3 個小題，第 1 小題 4 分，第 2 小題 6 分，第 3 小題 6 分 . 解： （ 1）因為拋物線 2 4的焦點 1,0 與橢圓 C 的右焦點重合，所以 1c ， 又因為 橢圓 C 的 短軸 長與焦距相等，所以 1. 2 分 故橢圓 C 的方程為： 22 12x y，其“相關(guān)圓” E 的方程為： 2223. 4 分 證 ： （ 2）（ i）當(dāng)直線 l 的斜率不存在時，不妨設(shè)其方程為 63x，則 6 6 6 6, , ,3 3 3 3 ， 所以2. 6 分 （ 直線 l 的斜率存在時，設(shè)其方程為 y kx m，并設(shè) 1 1 2 2, , ,A x y B x y， 則由22 12y kx mx y得 222 ( ) 2x k x m ,即 2 2 2( 1 2 ) 4 2 2 0k x k m x m , 8 分 故 = 2 2 2 2 2 21 6 4 (1 2 ) ( 2 2 ) 8 ( 2 1 ) 0k m k m k m ,即 222 1 0 ( * ) 且 21 2 1 2224 2 ( 1 ), 1 2k m mx x x 由 直線 l 與 “ 相關(guān)圓 ” E 相切 ，得 2222131m , 即 223 2 2 0 8 分 221 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 222 2 2( ) ( ) ( 1 ) ( )2 ( 1 ) ( 1 ) 4 3 2 2 1 2 1 2O A O B x x y y x x k x m k x m k x x k m x x mk m k m m k k u u ur u u B2即綜合上述，得 B 為 定 值 10 分 解： （ 3）由于 16 ,26O A B O P A B 所以求取值范圍，只需求出弦長 取值范圍 . 當(dāng)直線 l 的斜率不存在時，由（ 2）的（ i），知 263 12 分 當(dāng)直線 l 的斜率存在時，2 2 4 2 22212 2 2 4 2 4 28 ( 2 1 ) 8 4 5 1 81 (1 ) 1 .(1 2 ) 3 4 4 1 3 4 4 1k m k k k x x kk k k k k （ i）當(dāng) 0k 時 , 26|3 14 分 （ 當(dāng) 0k 時 , 因 為2 214 4 8k k ， 所以228 8 11 3 ,133 44 故 26 33 當(dāng)且僅當(dāng) 22k 時， 于是 取值范圍為 26, 3 因此取值范圍為 22, 16 分 23.（理） (本題滿分 18 分 ) 本題共 3 個小題，第 1 小題 5 分，第 2 小題 6 分，第 3 小題 7 分 . 解： （ 1）滿足條 件的 L 數(shù)列 5A ，及對應(yīng)的5() ： （ i） 0, 1, 2， 1, 0. 5( ) 4; (0, 1, 0， 1, 0. 5( ) 2; 0, 1, 0， 0. 5( ) 0; (0, 0. 5( ) 4;（ v） 0, 0， 0 . 5( ) 2; (0, 0, 1, 0. 5( ) 此，5()有可能值為： 4 , 2 , 0 , 2 , 4 . 5 分 (2) 由于 數(shù)列 ，且1 0, 1 1 ( 1, 2 , , 1 ) ,a k n L 故 n 必須是不小于 3 的奇數(shù) . 7 分 于是使 () 0 , 1 , 2 , 3 , , 2 , 1 , , 1 , 2 , , 3 , 2 , 1 , 0 .k k k k k 9 分 這里 2 1 3 ( ) ,n k k n N 、 并且 2 1( ) 2 1 2 ( 1 ) , k k k k L 因此， 2m a ) ( 3 ) n 為 不 小 于 的 奇 數(shù) 11 分 （ 3） 令 1 ( 1 , 2 , , 1 ) , 1 ,k k k kc a a k n c L 則于是由1 0,a 得 2 1 3 2 2