摘 要 量子色動力學(xué)（ 稱 為研究夸克之間強(qiáng)相互作用的規(guī)范 場 理論 ， 發(fā)展 于上世紀(jì) 70 年代， 有楊 稱規(guī)范場理論）的漸近自由性質(zhì) 得到證實(shí)。 格點(diǎn)規(guī)范理論 是研究量子色動力學(xué)的非微擾方法 。微擾 限于微擾真空假設(shè)和高能、 短距離相互作用， 在低能標(biāo)度下，強(qiáng)相互作用強(qiáng)度很強(qiáng)，微擾方法失效。而非微擾的格點(diǎn) 法 將量子色動力學(xué)建立在離散化的歐幾里得時空， 在考慮物理真空的同時，不受相互作用強(qiáng)度大小 的影響 ，選擇適當(dāng)格點(diǎn)間距 ，配合超級計算機(jī)，理論上可以得到比微擾近似更精確的解。 本文 引言部分介紹了量子色動力學(xué)。基于對強(qiáng)相互作用的學(xué)習(xí)了 解， 形成了 對 展 的 敘述。作為介紹格點(diǎn)規(guī)范理論的首要內(nèi)容，在該部分 給出了 格點(diǎn) 驗(yàn)證條件、即 連續(xù)理論下規(guī)范場的作用量 用量。 第二部分 是關(guān)于格點(diǎn)規(guī)范理論的研究。格點(diǎn)規(guī)范理論是現(xiàn)今比較流行的一種非微擾論，得 益于計算機(jī)處理能力的不斷強(qiáng)大，在計算機(jī)上模擬 計算結(jié)果越來越接近理論值。格點(diǎn) 思想來源于肯尼思威爾遜 （ ，他將連續(xù)的時空離散化，把時空定義在格點(diǎn)上 ，對格點(diǎn)上計算的結(jié)果采用極限 方法回歸到真實(shí)的連續(xù)時空。 在介紹格點(diǎn) 型之后，基于該模型計算格點(diǎn) 作用量 理論值 ，最后對作用量取連續(xù)極限，發(fā)現(xiàn)它與 用量一致。 第三部分 圍繞格點(diǎn) 數(shù)值模擬方法介紹。本文采用 法（ C 語言程序編程計算格點(diǎn) 用量。結(jié)合該方法，本文對格點(diǎn) 最后 將給出實(shí)際的計算結(jié)果， 對計算結(jié)果進(jìn)行分析、給出計算值與理 論值的分析比較。 在文章最后 對論文進(jìn)行了分析總結(jié) 。 關(guān)鍵詞 量子場論 強(qiáng)相互作用 格點(diǎn) 值方法 目 錄 1 引言 . 1 識強(qiáng)相互作用 量子色動力學(xué)開始的地方 . 1 原子核中的強(qiáng)相互作用力 . 1 用 “場 ”武裝的強(qiáng)相互作用 . 2 現(xiàn)強(qiáng)相互作用理論 湯川秀樹的介子交換理論 . 2 子色動力學(xué) 更深層次的強(qiáng)相互作用 . 2 從強(qiáng)子到夸克 . 2 夸克與膠子 . 3 量子色動力學(xué)及連續(xù) 用量 . 4 漸近自由和夸克禁閉 從微擾走向非微擾 . 5 漸近自由 . 5 夸克禁閉 . 6 2 格點(diǎn)規(guī)范理論 . 7 格點(diǎn) 型 . 7 模型基本量 . 7 純規(guī)范場下的格點(diǎn) . 7 從 用量到 . 8 3 用 法研究格點(diǎn)規(guī)范理論 . 11 法 . 11 法在格點(diǎn)上的計算 . 12 模擬問題 . 12 計算機(jī)模擬原理 . 12 計算機(jī)模擬步驟 . 13 計算機(jī)模擬結(jié)果 . 15 4 結(jié)論 . 16 致 謝 . 18 參 考 文 獻(xiàn) . 19 1 1 引言 自然界存在四種基本的相互作用力，它們分別是引力相互作用、電磁相互作用、弱相互作用和強(qiáng)相互作用。 范場論 是 研究這些相互作用的基本理論 。其中，引力相互作用在短距離情況下相比其他的三種相互作用、影響極小，幾乎無法感受到引力的存在，理論上很難在小尺度范圍內(nèi)對引力相互作用進(jìn)行研究。對于電磁相互作用和弱相互作用， 20 世紀(jì) 50 年代，確立了電磁相互作用的規(guī)范理論量子電 動力學(xué)（ 稱 隨后 1967 年， S. A. 出了電磁相互作用和弱相互作用統(tǒng)一理論 (黃濤， 2011)，該成果后于 80 年代得到實(shí)驗(yàn)證實(shí) 。 至此，關(guān)于強(qiáng)相互作用的規(guī)范場理論 為了最為年輕的理論 。 1973 年，普林斯頓的戴維格羅斯（ 他的學(xué)生弗蘭克威爾茨克（ 成的小組和哈佛大學(xué)的研究生戴維波利茨（ 別在 出了強(qiáng)相互作用存在漸近自由性質(zhì) (華生， 2008；黃濤， 2011)。這一成果使得量子色動力學(xué)研究強(qiáng)相互作用的夸克膠子模型得以確定 ，被認(rèn)為是 論確立的基礎(chǔ) 。三位科學(xué)家也因此共享了 2004 年諾貝爾物理學(xué)獎。 物理學(xué)家固然希望將弱電統(tǒng)一理論和 論構(gòu)建 自然界相互作用的 大統(tǒng)一理論，但在這之前， 論的研究完備 顯然已 成了當(dāng)下理論物理的一個熱點(diǎn)。 而伴隨著科技水平的不斷發(fā)展壯大， 超級計算機(jī)強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理能力給格點(diǎn) 發(fā)展帶來了條件，格點(diǎn) 低能標(biāo)度下微擾方法失效后提供了新的方法 。本文將簡單運(yùn)用法計算格點(diǎn) 過，我們要從 了解強(qiáng)相互作用 開始 。 認(rèn)識強(qiáng)相互作用 量子色動力學(xué)開始的地方 原子核中的強(qiáng)相互作用力 大自然 中有 一種強(qiáng)相互作用力 ，它存在于原子核范圍內(nèi) 。 在研究自然界最小粒子的過程中，人們的視野不斷深入：從原子、原子核到核子（質(zhì)子與中子的統(tǒng)稱）。于是，人們 深入到原子核尺度下的量子范疇， 開始思考質(zhì)子與中子怎樣形成原子核這一問題 。畢竟質(zhì)子是帶有一個電荷的，質(zhì)子之間理應(yīng)存在電磁力。加上組成原子核的中子顯然不帶電荷，又怎會和質(zhì)子聚集在一起。這就是 強(qiáng)相互作用力，它克服了電磁力的排斥作用，將質(zhì)子和中子聚合成原子核。之所以說是“強(qiáng)”，顯然是因?yàn)樗阋钥朔?qiáng)大的電磁力。 實(shí)驗(yàn)上對強(qiáng)相互作用的認(rèn)識是在 20 世紀(jì) 30 年代中期，一篇“高能”加速器質(zhì)子 散射實(shí)驗(yàn)的論文，讓人們意識到質(zhì)子行為不同于點(diǎn)電荷，自然界存在區(qū)別于弱電相互作用的 相互作用。 用“場”武裝的強(qiáng)相互作用 在 論中，強(qiáng)相互作用力實(shí)際上存在一個由經(jīng)典到量子化的轉(zhuǎn)化過程。 從“強(qiáng)相互作用力”到“強(qiáng)相互作用”， 開了經(jīng)典的“力”，而是采用了量子場論中最基本的概念 “場”來解釋“力 ”產(chǎn)生的原因。 量子場論的其中一個重要分支，用“場”的思想解釋強(qiáng)相互作用無可厚非 。不同于經(jīng)典的時空，質(zhì)子與中子所處的空間中彌漫著看不見的“場”，不同位置的“場”都會隨時間的變化而變化，這也就構(gòu)成了關(guān)于強(qiáng)相互作用的 動力學(xué)。 發(fā)現(xiàn)強(qiáng)相互作用 理論 湯川秀樹的介子交換理論 1932 年，費(fèi)米（ 德裔美國物理學(xué)家漢斯貝特（ 出用交換光子流來解釋帶電粒子之間相互作用的思想 (華生， 2008)，之后 日本物理學(xué)家湯川秀樹（ 這種思想發(fā)展成第一套有關(guān)強(qiáng)力的場 論。 1935 年湯川提出了質(zhì)子和中子通過交換一種未知的介子（其質(zhì)量介于質(zhì)子和電子之間）形成原子核內(nèi)很強(qiáng)的束縛力，這種介子稱為 介子，其質(zhì)量大約為 100濤， 2011)。這就是最早發(fā)現(xiàn)的強(qiáng)相互作用 。 一方面，湯川的強(qiáng)相互作用可以和電磁相互作用類比，電磁相互作用的相互作用強(qiáng)度以電荷 e 標(biāo)記 ，而強(qiáng)相互作用中的相互作用 強(qiáng)度則以 g 標(biāo)記。然而當(dāng)人們將湯 川理論與核力實(shí)驗(yàn)相比較時就發(fā)現(xiàn)有效相互作用強(qiáng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 1， 2 1 4 ( 1)4g ，這要比電磁相互作用 2 14 137e 大得多，因此微擾理論不再適用，高階 項(xiàng)的貢獻(xiàn)不僅不能忽略，而且作為修正項(xiàng)將嚴(yán)重影響計算結(jié)果的準(zhǔn)確值 (黃濤， 2011)。 另一方面，物理學(xué)家意識到 介子本身不是最基本的粒子，作為攜帶強(qiáng)相互作用的粒子 ，它并不是唯一的。關(guān)于攜帶強(qiáng)相互作用的粒子，它們有著更深層次的聯(lián)系。 量子色動力 學(xué) 更深層次的強(qiáng)相互作用 從強(qiáng)子到夸克 湯川強(qiáng)相互作用理論中，交換介子作用于核子之間。但是對于 一標(biāo)準(zhǔn)模型理論， 不能就此確立，如今 可以簡單地說，因?yàn)闇◤?qiáng)相互作用理論基于的粒子間3 相互作用還不能算是強(qiáng)相互作用中的最基本粒子間相互作用。 關(guān)于尋找強(qiáng)相互作用的最基本粒子，構(gòu)建現(xiàn)在所知道的夸克模型，最初離不開兩方面的原因。 （ 1）質(zhì)子 并 非 “ 點(diǎn)粒子 ” 可以說“質(zhì)子并非點(diǎn)粒子”其實(shí)是在一開始研究強(qiáng)相互作用時就已經(jīng)被物理學(xué)家意識到了的事實(shí)，也就是之前提到在實(shí)驗(yàn)上認(rèn)識強(qiáng)相互作用時。該實(shí)驗(yàn)用粒子加速器將750質(zhì)子射向氫原子靶，從拍下的大約 25 萬云室軌跡中可以找到約 160 次的碰撞(華生， 2008)。之后實(shí)驗(yàn)的結(jié)果被發(fā)表了，那篇論文其實(shí)就是加利福尼亞大學(xué)的密爾頓懷特（ 1935 年發(fā)表于物理評論（ 的 (華生， 2008)。論文發(fā)現(xiàn)了人們希望找到的質(zhì)子 得以使人在發(fā)現(xiàn)強(qiáng)相互作用力的同時理解到質(zhì)子區(qū)別于電子的“點(diǎn)粒子”狀態(tài)。 （ 2） 粒子 的 大爆發(fā) 在 20 世紀(jì) 50 年代， 加速器實(shí)驗(yàn)的發(fā)展勢頭強(qiáng)勁 。 1952 年第一臺質(zhì)子同步加速器 3布魯克海文質(zhì) 子同步加速器 始運(yùn)行 ， 同年歐洲粒子物理實(shí)驗(yàn)室（ 立 。 之后 ， 1954 年 6質(zhì)子同步加速器 伯克利質(zhì)子加速器 957年 的 杜布納 101959年 8 1960年 33魯克海文 子同步加速器 相繼投入使用 (華生， 2008)。 發(fā)展迅猛的加速器實(shí)驗(yàn) 加上一些宇宙射線 實(shí)驗(yàn) 為新粒子的發(fā)現(xiàn)提供了強(qiáng)大的設(shè)備支持。 短短的 10 年，從費(fèi)米提出 粒子 共振到 在 速器中發(fā)現(xiàn)與核子相對應(yīng)的反粒子， 新粒子的發(fā)現(xiàn)仿佛一觸即發(fā)， 至 60 年代中物理學(xué)家們陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了 60 多種參與強(qiáng)相互作用的粒子。 于是， 如何對諸多粒子進(jìn)行分類成了迫切的需要。 有了以上（ 1）（ 2）的情況， 人們很難再將類似核子這樣參與強(qiáng)相互作用的粒子當(dāng)作是基本粒子，既然質(zhì)子并非“點(diǎn)粒子”，而且這些粒子又如此繁多，物理學(xué)家開始尋求更深層次的基本粒子，期望能通過更基本的粒子對這些粒子進(jìn)行分類。 對于 強(qiáng)相互作用 的研究自然而然地使人們從湯川秀樹的介子交換理論中深入到核子 范圍， 而這正孕育了一套年輕的理論 量子色動力學(xué)。 夸克 與 膠子 在介紹夸克與膠子之前，我有必要簡單說明一下：從湯川秀樹的介子交換 理論到深入核子內(nèi)的量子色動力學(xué)，人們引入了更加基本的粒子： 夸克 (膠子 ( 這里 對過程 不作 具體 討論 。 (1)夸克和 3 色 6 味 4 夸克是研究強(qiáng)相互作用的規(guī)范理論中的基本粒子。 1964 年， 芝加哥大學(xué)的講師 默里蓋爾曼（ 和加州理工學(xué)院的喬治茨威格（ 出夸克（茨威格稱其為 強(qiáng)子的基本組成成分 (華生， 2008)?？淇说淖孕?1/2，是一種帶有色荷的費(fèi)米子。 目前 知道的有六種不同味的夸克：上、下、粲、奇、頂和底夸克，分別用 u， d， c， s， t 和 b 表示，夸克 還具有顏色屬性，可以攜帶的色有 三種：紅、綠、藍(lán) ，分別用 R， G， B 表示 。 這里的色其實(shí)只是夸克的一個量子數(shù)，與顏色無關(guān)。 (2)膠子 和 八重態(tài) 膠子屬于規(guī)范玻色子，但膠子和夸克一樣可以攜帶色荷，因此不同于阿貝爾 論中的光子，膠子與膠子之間可以直接發(fā)生相互作用，研究夸克或膠子間強(qiáng)相互作用的論實(shí)際上屬于非阿貝爾理論。關(guān)于這一非阿貝爾理論，科學(xué)家找到了 ) 群作為 論的群，它含有 8 個獨(dú)立的參數(shù)，在 對應(yīng) 8 種守恒的荷，對應(yīng)著攜帶8 不同荷的膠子。也就是說，在 論中，存在有 8 種不同的膠子，共同構(gòu)成了膠子的八重態(tài)。 量子色動力學(xué) 及 連續(xù) 用量 量子色動力學(xué)是研究夸克和膠子的強(qiáng)相互作用規(guī)范理論， 其基本粒子為夸克和膠子，以 ) 群為規(guī)范群，夸克之間傳遞強(qiáng)相互作用的粒子是膠子。 這里設(shè)費(fèi)米子夸克的場量為 ()f， f 為味指標(biāo)、 為色指標(biāo)；設(shè)玻色子膠子的場量為 a 為色指標(biāo)， 為 足定域規(guī)范不變性的經(jīng)典的色動力學(xué)拉氏密度為 (何漢新， 2009)： ()( 0 ) ( ) ( ) i )4fa f fa F D m (其中 i 2a a a a b c b A g f A AD g A (這里 g 是 ) 規(guī)范場耦合常數(shù)， () f 味的夸克質(zhì)量，2a 為 ) 群生成元， a 的矩陣表示為 陣： 5 1 2 3 45 6 7 80 1 0 0 i 0 1 0 0 0 0 11 0 0 i 0 0 0 - 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 010030 0 - i 0 0 0 0 0 010 0 0 0 0 1 0 0 - i 0 03i 0 0 0 1 0 0 i 020 0 陣滿足： T r 2 , ( , 1 , , 8 )ab ab (由公式（ 以知道 ，在 用量中既包括了夸克與膠子的相互作用，也包含了膠子與膠子之間的相互作用，因?yàn)榭淇撕湍z子都可以攜帶色荷。此處，針對純規(guī)范場理論、我們只考慮膠子之間的相互作用，可以得到連續(xù) 論的作用量，也即： Y - M i l l s 14 F (本文稍后的格點(diǎn)理論即通過驗(yàn)證該作用量來證明格點(diǎn)理論中選取的作用量的正確性。 漸近自由和夸克禁閉 從微擾走向非微擾 漸近自由 漸近自由的開端是： 1965 年兩位蘇聯(lián)物理學(xué)家弗拉德米爾范尼亞金（ 米哈依特倫特夫（ 計了一套 型理論，他們在計算過程中注意到相互作用強(qiáng)度隨距離縮短而減弱 (華生， 2008)。到了 1972 年格羅斯等人發(fā)現(xiàn) 的漸近自由，則確立了 論的基礎(chǔ)。 近自由意味著：夸克之間的距離越近，他們之間膠子傳遞的強(qiáng)相互作用越弱，高能標(biāo)度下，夸克行為越來越接近于自由粒子。 漸近自由也可解釋為 合常數(shù) ()g 隨著重整化標(biāo)度 的增加而減少 (何漢新，2009)： 6 35012 2 2d ( ) ( ) ( )= = d 1 6 (1 6 )g g （ () ） (其中 函數(shù)可以 利用微擾方法 求得分解系數(shù)： 012113381023(其中”數(shù) ，將0代入（ 忽略1的項(xiàng)，可得方程的解為 (何漢新， 2009)： 2 220 Q C l n ( / )S (加上1的影響，可得（ 的解為 (何漢新， 2009)： 2222 ) 2S 2 2 2 2 26 ( 1 5 3 1 9 ) l n l n ( / )12( ) 1( 3 3 2 ) l n ( / ) ( 3 3 2 ) l n ( / ) (這里 2 /4S g 由 ( (，在 6，若標(biāo)度 趨于無窮大，則跑動耦合常數(shù)相關(guān)的2()S和 (2) 2S ()都趨于零，也就是說在無限大動量極限下（因標(biāo)度 常寫為動量 Q ），夸克的相互作用消失，夸克表現(xiàn)為自由粒子，即夸克具有漸近自由性質(zhì)。 夸克禁閉 從漸近自由到夸克禁閉是量子色動力學(xué)由微擾走向非微擾的過程。 前面講到漸近自由是由于標(biāo)度 趨于無窮大，同樣針對 (當(dāng)標(biāo)度 減小 到22 時， 2()S的值趨于無窮大，這也就意味著夸克與夸克之間的色相互作用無窮大，夸克與夸克之間不能單獨(dú)分開，夸克產(chǎn)生“禁閉”。因此，自然界未發(fā)現(xiàn) 單個帶色荷的自由夸克。 可見，標(biāo)度 影響到了夸克兩種截然不同的特性。在漸近自由狀態(tài)下，跑動耦合常數(shù) 2()S可按微擾級數(shù)展開計算，然而在夸克禁閉狀態(tài)下， 22， 跑動耦合常數(shù)不夠小， 微擾論中計算耦合常數(shù)的微擾級數(shù)屬于漸近級數(shù)，微擾論失效。于是，人們 只能7 通過一些非微擾方法解決，而接下來將要據(jù)介紹的格點(diǎn) 是一種非微擾的計算機(jī)模擬方法。 2 格點(diǎn)規(guī)范理論 格點(diǎn) 型 模型基本量 在歐氏時空內(nèi)將時空離散化可以得到 格點(diǎn)模型。 定義格點(diǎn)： 我們把其中的一個格點(diǎn)標(biāo)記為 n ，在不同的時空方向上，格點(diǎn)間的最小距離為該方向上的矢量單位，相應(yīng)的單位矢量可以表示為 , , , ，因此可以確定格點(diǎn) , , ,n n n 定義場量：我們把 的費(fèi)米子夸克場和規(guī)范膠子場分別定義在格點(diǎn)及格點(diǎn)間的鏈節(jié)（格點(diǎn)間矢量）上，其中夸克固定在格點(diǎn)上，相應(yīng)的費(fèi)米子場用 表示，膠子在夸克間傳播形成規(guī)范場，我們用 A表示規(guī)范場 0,1, 2, 3 ，格點(diǎn)間矢量的方向即膠子的傳播方向。 純規(guī)范場下的格點(diǎn) 定義了格點(diǎn)基本量之后，我們暫不考慮夸克，從而討論純規(guī)范場情況下的格點(diǎn)了更好地計算格點(diǎn) 們定義格點(diǎn)間的矢量為鍵變量，即格點(diǎn) n 與 n 間的鍵變量為 ( , )U n n ，也作 ()即表示在格點(diǎn) n 上沿 方向的鍵變量 ，其物理意義表現(xiàn)為格點(diǎn) n 和 n 之間規(guī)范場 A路徑積分 (黃卓然， 1994)： +( , ) e x p i g ( )n n P A x d x (這里 ( ) S U ( )U n N 規(guī) 范群，定義鍵變量 是幺正的 (何漢新， 2009)： 1( , ) ( , ) ( , )U n n U n n U n n (由于幺正矩陣可寫為某一虛矩陣的指數(shù)，因此有 (何漢新， 2009)： ( , ) e x p ( i ( ) )2 a n n a g A n (這里 g 為耦合常數(shù)， a 為 )N 群的生成元 。 將四個連續(xù)閉合的鍵變量 可以 組成 格點(diǎn)空間內(nèi)的一個最小單元， 相鄰格點(diǎn)間的格點(diǎn)8 距離為 a ， 定義 這個最小單元 為一個方塊 U ， 或則有 (華生， 2008；何漢新， 2009)： 1 2 3 4( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ) ( ) ( ) ( ) n n U n n U n n U n nU n U n U n U n (其中， 1( ) ( , ) ( , )U n U n n U n n (以下是一個方塊模型： 圖 1 格點(diǎn)方塊及其格點(diǎn)、鍵變量 純規(guī)范場中的格點(diǎn)方塊已經(jīng)完全沒有了夸克場的影響，是格點(diǎn) 算中最簡單的情況，我們將針對這一情況研究 用量及連續(xù)極限，從中發(fā)現(xiàn)格點(diǎn) 型的正確性。 從 用量 到 用量 前面已經(jīng)介紹了格點(diǎn) 型， 接下來，將在格點(diǎn) 型上定義 用量，并計算格點(diǎn)上的 用量來對比連續(xù)理論下的 用量 。 純規(guī)范場下，針對一個格點(diǎn)方塊，方塊的 用量定義為 (1994)： 1 ( T r T r ) 12 T r 1 U (也即： n n n n ()() () 9 1 T 21g (由 (知： ( ) ( ) ( ) ( ) n U n U n U n (又由 ( +( ) ( , ) e x p i g ( )n U n n P A x d x 及算符運(yùn)算定理 (何漢新， 2009)： ( ) ( ) ( )a a av v vA n A n a A n (綜上可知： 3( ) e x p i g ( ( ) ( ) )2e x p ( i g ( ) ) e x p ( i g ( ) )22e x p i g ( ) ( ) e x p ( i g ( ) )22e x p i g 2 ( ) ( ) + ( ) )2aU n P A n A n A n a A n A n a A n a （ ）（(類似可得 (黃卓然， 1994)： 333( ) e x p ( i g 2 ( ) ( ) ( ) )2( ) e x p ( i g 2 ( ) 2 ( ) ( ) + ( ) )2( ) e x p ( i g 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) )2v v v vv v v v n v A n a A n n A n a A n a A n n v A n a A n a A n a (又因?yàn)椋?1e x p e x p e x p ( , )2A B A B A B 其中 A、 B 表示算符。 故 由 ( (得： 10 223223( ) ( ) = e x p i g 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) , ( ) + ( )2( ) ( ) = e x p i g 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) , ( ) + ( )2v v v v v v v n U n A n A n a A n a A n a A n A n n v U n v A n A n a A n a A n a A n A n a （）（ -）將以上結(jié)果代入 (可得： 2 2 2 32 2 2 2 3( ) ( ) ( ) ( )= ( ) ( ) ( ) ( )= e x p i g ( ) ( ) g ( ) , ( ) ( ) e x p i g ( ) ( ) i g ( ) , ( ) ( ) v v vv v v n U n U n U nU n v U n v U n U n A n a A n A n n A n a A n A n a - -(又因?yàn)?(何漢新， 2009)： ( ) ( ) ( ) i g ( ) , ( ) v v v vF n A n A n A n A n (把 (入 ( 2e x p ( i g ( ) )U a F n ( 2,422,42,241 T r e x p i g ( ) 1 T r 1 + i g ( ) ( ) ( ) 21( ) ( )224 n F n F n F F (0a 時離散的時空變成了真實(shí)的連續(xù)時空， 加上條件：21g ， 3S Ld ， 可以得到 連續(xù)的 歐氏空間下 的拉氏量 為： ,14 F (對比 (連續(xù) 用量， 發(fā)現(xiàn)相差一個負(fù)號，這是由于 論11 采用的是更簡潔的 閔可 夫斯基空間坐標(biāo)，該種形式的坐標(biāo)為 1 2 3 4, , ,x x x x。然而格點(diǎn) , , , )x y z t 。盡管兩者有所不同，但是仍然存 在以下關(guān)系： 1 2 3 4, , , ix x x y x z x c t 歐幾里得拉格朗日量與閔可夫斯基拉格朗日的關(guān)系為： i|E M (可見， 在連續(xù)極限下 ( 0a )，我們利用格點(diǎn) 算得到的純規(guī)范場拉格朗日作用量與 論的拉格朗日作用量保持一致： Y - M i l l s,14 F F L (3 用 法研究格點(diǎn)規(guī)范理論 法 前面介紹格點(diǎn)規(guī)范理論主要說明：格點(diǎn) 型及連續(xù)極限下由純規(guī)范場 論一致的作用量。由此也只是大體了解格點(diǎn)規(guī)范理論，知道在研究 微擾法失效后，有這樣一種非微擾的方法正在填補(bǔ) 究的缺陷。然而，更為重要的是，這樣的理論必須與物理量有聯(lián)系，我們應(yīng)該可以用這種理論解決最實(shí)際的問題 求解物理量。 法是在格點(diǎn)上求物理量的一種簡單處理方法，屬于 法中的一種重要抽樣方法，在處理格點(diǎn)時主要涉及到格點(diǎn)組態(tài)的更新 (利用格點(diǎn)上的組態(tài)求解物理量 ( （ 1） 為了更好地對 法進(jìn)行說明，可嘗試先了解如何利用格點(diǎn)上的組態(tài)求解物理量： 通常情況下，組態(tài) U 是被隨機(jī)定義在格點(diǎn)上的，為了求解相關(guān)的物理量，我們 先引入物理量對應(yīng)算符 F 的期望值 (黃卓然， 1994)： /d d d U F e Z (關(guān) 于 應(yīng)用到格點(diǎn) 上的組態(tài)， 當(dāng)組態(tài)數(shù)目較大時， 我們可以 以格點(diǎn)離散的形式得到近似的表達(dá)式 (羅向前，劉巖， 2006)： ()1 () U (12 上式 可以看到，要求得相應(yīng)的表達(dá)式必須對所有組態(tài)進(jìn)行求和。不管怎么說，這是不太現(xiàn)實(shí)的，在統(tǒng)計物理方面，人們選擇“重要抽樣”的思想，只對貢獻(xiàn)較大的組態(tài)進(jìn)行求和，對于貢獻(xiàn)較少的部分則省略掉。 這樣，物理量可以通過求選取的組態(tài)平均值 得到。 （ 2） 組態(tài)的選擇取決于玻爾茲曼因子 (即 () ， 法中通過 現(xiàn)組態(tài)的選擇： 假設(shè)更新前 的組態(tài)和更新后的組態(tài)分別為： U 和 U ，二者滿足： () e (其中， ()是組 態(tài)從 U 變化到 U 所產(chǎn)生的作用量的變化量，并且 (的玻爾茲曼因子 () 滿足 (1992)： ( ) ( )m i n 1 , S U S (組態(tài)更新與否并非完全確定的，組態(tài) U 以一定的概率確定是否更新為 U ，用()P U U 表示這一概率，則 ()P U U 滿足： ()10()0f Ue i f S (通常，由于組態(tài)的初始化是通過隨機(jī)數(shù)實(shí)現(xiàn)的，所以組態(tài)的更新需要進(jìn)行一定的時間才能達(dá)到合理的狀態(tài)，即組態(tài)的分布需要一定次數(shù)的更新之后才能滿足重要抽樣條件。法的關(guān)鍵也在于找到合適的系統(tǒng)組態(tài)，之后再在該系統(tǒng)組態(tài)下 ， 計算相關(guān)的物理量。 法在格點(diǎn)上的計算 模擬問題 本文解決的問 題是：用 法研究 1+1 維 出平均作用量與 的函數(shù)關(guān)系， 同時模擬計算對應(yīng)平均作用量的理論值，將理論值與格點(diǎn) 算 的 程序 結(jié)果進(jìn)行比較 ，擬合出相應(yīng)的圖形 。 問題的關(guān)鍵是利用 用量進(jìn)行計算機(jī)模擬，得到 與平均作用量的關(guān)系。 計算機(jī)模擬原理 本文利用計算機(jī)進(jìn)行程序模擬涉及到的主要原理為 ：純規(guī)范場 的 用量、13 法。 計算機(jī)模擬步驟 計算機(jī)模擬的過程主要分為四個步驟： (1) 確定格點(diǎn)的初組態(tài) 為了計算格點(diǎn)的方塊平均值，我們需要確定格點(diǎn)最初的組態(tài)。包括格點(diǎn)的大小和格點(diǎn)上的規(guī)范場作用量。 格點(diǎn)的大小可以根據(jù)實(shí)際計算確定，通常為了減少運(yùn)算量，可以用 44 的格點(diǎn)驗(yàn)證程序的可行性。格點(diǎn)的大小 可以改變 ， 如 16 16 、 32 32 等。 程序模擬中通過函數(shù) 產(chǎn)生一組 01 之間的隨機(jī)數(shù) 來確定各個格點(diǎn)上的規(guī)范場作用量 U。 具體的表達(dá)式滿足： , e x p 2 r a n d ( ) x y (2) 格點(diǎn)組態(tài)的更新 格點(diǎn)組態(tài)的更新是為了得到一個相對平衡的格點(diǎn)系統(tǒng)，主要通過 法條件來進(jìn)行更新組態(tài)。 用另一組隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生一個新的組態(tài)，假設(shè)該組態(tài)為 U 。另假設(shè)待更新的組態(tài) U 與另外 3 個組態(tài)1 2 3 ，即更新前有： 1 2 3=U U U U U(將新的組態(tài) U 代替 (的 U ，可以組成另外的一個方塊： 1 2 3=U U U U U(將 ( (別代入 (可以計算得到兩個方塊的作用量 ， 的值已知 。 根據(jù) 法原理，比較兩個方塊的作用量的變化： a 如果新的組態(tài)產(chǎn)生的方塊作用量比原組態(tài)構(gòu)成的方塊作用量小，則用新的組態(tài) U 代替原 來的組態(tài) U ； b 如果新 的組態(tài)產(chǎn)生的方塊作用量比原組態(tài)構(gòu)成的方塊作用量大，則可能用新組態(tài) U代替原組態(tài) U ，也 可能保持原組態(tài) U 不變。 以上即完成了一個組態(tài)的更新，運(yùn)用同樣的方法對格點(diǎn)系統(tǒng)中的每一組態(tài)進(jìn)行更新，可完成一次整個格點(diǎn)系統(tǒng)的組態(tài)更新。 通常情況下，格點(diǎn)的更新需要反復(fù)進(jìn)行 ，才能得到盡可能準(zhǔn)確的規(guī)范場分布，從而14 進(jìn)行作用量計算。 (3) 格點(diǎn)作用量平均值的計算 a 格點(diǎn)系統(tǒng)的預(yù)熱過程：在計算作用量平均值之前，先根據(jù)步驟（ 2）對格點(diǎn)系統(tǒng)更新 200 次； b 計算一個格點(diǎn)系統(tǒng)的總作用量：完成 200 次格點(diǎn)系統(tǒng)更新后，在最新的規(guī)范場分布下利用 (算每個方塊的作用量 ，求和得到一個總的作用量； c 持續(xù)計算一組格點(diǎn)系統(tǒng)的總作用量：計算出一個格點(diǎn)系統(tǒng)總的作用量后，按步驟（ 2）繼續(xù)更新格點(diǎn)組態(tài)，每完成 5 次格點(diǎn)系統(tǒng)的更新計算一個系統(tǒng)總的作用量，總共計算 500個格點(diǎn)系統(tǒng)總的作用量； d 計算一個格點(diǎn)方塊的作用量平均值： 對所求的 500 組格點(diǎn)系統(tǒng)總作用量取算術(shù)平均可得到格點(diǎn)系統(tǒng)的總作用量平均值，再除以格點(diǎn)系統(tǒng)的格點(diǎn)方塊數(shù)量，即可得到單個格點(diǎn)方塊的作用量平均值。 (4) 均勻改變公式 ( 的值，重復(fù)步驟 (1)(2)(3)。 程序中 的取值范圍為 0,6，為了得到有效的擬合曲線， 的取值間隔越小越好，這里以 取值間隔，得到多組 值下對應(yīng)的格點(diǎn)方塊作用量平均值。 (5) 求作用量的理論值 為了從實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證格點(diǎn) 法的正確性，我們在得到格點(diǎn) 用量的平均值后，需要計算出它的理論值，從而 能 進(jìn)行 結(jié)果比較。 作用量的理論值為： 10()R e ( )