編號 南京航空航天大學(xué) 畢業(yè)論文 題 目 小波分析在圖像損傷檢測中的應(yīng)用研究 學(xué)生姓名 孫國民 學(xué) 號 060430119 學(xué) 院 民航（飛行）學(xué)院 專 業(yè) 交通運(yùn)輸（適航技術(shù)與管理） 班 級 0704601 指導(dǎo)教師 陳果 副教授 二 八 年六月 南京航空航天大學(xué) 本科 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 誠信承諾書 本人鄭重聲明：所呈交的畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）（題目： 小波 分析在圖像損傷檢測中的應(yīng)用研究 ）是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的成果。 盡本人所知， 除了畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。 作者簽名： 年 月 日 （學(xué)號）： 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）報(bào)告紙 i 小波分析在圖像損傷檢測中的應(yīng)用研究 摘 要 磨損是機(jī)械損傷的重要形式，磨粒是研究磨損的重要依據(jù)。所以，磨粒分析是進(jìn)行損傷檢測的有效手段之一。被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”的小波分析由于在時(shí)頻兩域都具有多分辨分析的功能，在 圖像處理方面有諸多優(yōu)點(diǎn)。本文對采集到的滑油濾上的磨粒照片進(jìn)行小波分析，通過對分解、降噪、重構(gòu)后的圖像進(jìn)行邊緣檢測等處理，提取出反映磨粒重量的磨粒覆蓋區(qū)域的面積和周長兩個(gè)幾何特征量。然后通過大量實(shí)驗(yàn)獲取特征量與對應(yīng)磨屑重量的樣本，運(yùn)用多元線性回歸分析方法得到特征量與對應(yīng)磨屑重量的回歸方程，并進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。最后進(jìn)行 實(shí)驗(yàn) 驗(yàn)證，計(jì)算磨粒重量。結(jié)果顯示，本文所采用的方法是可以接受的。 關(guān)鍵詞 ： 損傷檢測，小波分析，圖像處理，特征提取 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）報(bào)告紙 is an of is an is of in in In we of we of of by of of a of we of we we of in is 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）報(bào)告紙 錄 摘 要 . i . 一章 引 言 . 1 題來源與研究意義 . 1 文的主要工作 . 2 第二章 小波分析用于特征提取 . 4 波變換簡介 . 4 傅立葉變換到小波變換 . 4 續(xù)小波變換 . 7 散小波變換 . 8 分辨分析和 . 9 像信號的二維小波變換 . 12 波分析用于特征提取 . 13 波消噪 . 13 緣檢測 . 14 粒特征參數(shù)提取 . 19 第三章 磨損狀態(tài)回歸分析 . 20 歸分析 . 20 本概念 . 20 元線性回歸 . 22 元線性回歸 . 24 設(shè)檢驗(yàn) . 26 損狀態(tài)的回歸分析 . 28 第四章 應(yīng)用研究 . 29 件功能介紹 . 29 本處理流程 . 30 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）報(bào)告紙 件用于實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證 . 36 對模擬圖像的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證 . 36 對真實(shí)磨粒圖像的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證 . 38 驗(yàn)結(jié)果與討論 . 40 第五章 結(jié)論與展望 . 41 參 考 文 獻(xiàn) . 42 致 謝 . 44 附 錄 . 45 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）報(bào)告紙 1 第一章 引 言 隨著科學(xué)技術(shù)和工業(yè)生產(chǎn)的迅速發(fā)展，各行各業(yè)所使用的生產(chǎn)設(shè)備日趨集成化、大型化、自動化、高速化和智能化，設(shè)備在 生產(chǎn)中的地位也越來越重要，能否保證一些關(guān)鍵性的設(shè)備正常運(yùn)轉(zhuǎn)， 關(guān)系 到 一個(gè)行業(yè)發(fā)展的各個(gè)層面。設(shè)備的故障診斷與損傷檢測正是在這一客觀形勢促使下而產(chǎn)生的重要技術(shù) 1。 題來源與研究意義 工程實(shí)際中，需要用健康檢測（監(jiān)控） 技術(shù)對渦輪發(fā)動機(jī)和齒輪箱等飛機(jī)和船舶關(guān)鍵部件進(jìn)行周期性狀態(tài)評 估 2。 摩擦故障是機(jī)械設(shè)備故障的主要形式之一。磨損、疲勞和腐蝕是機(jī)械零件失效的三種主要形式和原因，而其中磨損失效占了約 80%13。在大多數(shù)情況下，磨損會導(dǎo)致機(jī)械零部件的逐漸損耗，降低機(jī)械的工作效率、精度，增加機(jī)械的能耗，造成漏油、漏氣、噪音等等。當(dāng)磨損到達(dá)一定程度，就會使部件喪失正常的工作能力，從而導(dǎo)致失效。而且由于磨損還可能誘導(dǎo)其它形式的故障，將會引起連鎖反應(yīng)，甚至某些情況下還會引起災(zāi)難性的事故。因此， 對機(jī)械設(shè)備磨損狀態(tài)進(jìn)行監(jiān)測顯得尤為重要。 油樣分析是一種有效的磨損狀態(tài)檢測方法。通過油樣分析來理解機(jī)器的工作狀態(tài)已經(jīng)有很長的歷史了，最早是通過油液自身的理化性能如粘度、酸度、水分等的變化來判斷機(jī)器的工作狀態(tài)的。這種方法是一種廣泛采用的常規(guī)分析方法。但是由于油液在機(jī)器的潤滑系統(tǒng)或液壓系統(tǒng)中，作為潤滑劑或工作介質(zhì)是循環(huán)流動的，其中包含著大量的由于各種摩擦產(chǎn)生的各種磨損殘余物，稱為磨屑或磨粒。人們在實(shí)踐中認(rèn)識到這種磨損殘余物攜帶的關(guān)于機(jī)器狀態(tài)的信息遠(yuǎn)比油液本身理化性能變化的信息要豐富得多?；蜑V磨屑中包含有大量尚 未被開發(fā)利用的信息。如果被恰當(dāng)?shù)亻_發(fā)利用，這些信息能夠用于全面的機(jī)械狀態(tài)監(jiān)控和幫助做出正確、相關(guān)的維修建議。 標(biāo)準(zhǔn)的滑油分析方法不能產(chǎn)生對有精細(xì)過濾裝置的系統(tǒng)的操作出上述類似的建議所需要的結(jié)果。此外，當(dāng)前濾屑分析的手工方法依賴于專家知識和專門技術(shù)，但手工方法具有耗時(shí)、成本高昂和不一致的性質(zhì)。有滑油潤滑的機(jī)械裝置的磨損狀況確定的傳統(tǒng)方法包括：利用油壓油溫指示、磁電磨屑探測器、顆粒計(jì)數(shù)器、油樣光譜分析（ 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）報(bào)告紙 2 鐵譜分析等。這些傳統(tǒng)的方法在滿足一些特殊標(biāo)準(zhǔn) 時(shí)是很成功的 2： 油樣光譜分析方法可感知的微小磨粒的尺寸能夠代表設(shè)備產(chǎn)生的所有磨屑。 油慮上的磨屑要足夠用于診斷。 產(chǎn)生的磨屑的總數(shù)能夠指示機(jī)械的狀態(tài)。 過去，使用粗糙的過濾系統(tǒng)，這些條件都能夠被滿足。當(dāng)今的精細(xì)過濾系統(tǒng)（小于 10微米）里，由于所有大于過濾器濾孔尺寸的磨屑都被過濾掉了，滑油中大部分的大粒子都不能夠符合上述的一條或更多條標(biāo)準(zhǔn)。因此，對這些系統(tǒng)的磨損狀態(tài)的確定，都認(rèn)為鐵譜分析和 適用。同時(shí)，一些特殊的故障類型，像齒輪故障等，會產(chǎn)生一些傳統(tǒng)方法無法探測的超大的磨粒。另外，實(shí)踐中相當(dāng) 多的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，產(chǎn)生的磨粒的數(shù)量并不是磨損狀態(tài)的唯一指標(biāo)，還有磨粒的尺寸，在一定程度上，磨粒的形態(tài)同磨粒的數(shù)量同等重要。 磨粒是研究磨損的重要依據(jù)，它是揭示摩擦表面磨損機(jī)理、監(jiān)測磨損過程以及診斷磨損失效類型的最直接的信息元。根據(jù)磨粒的特征確定其類別，從而判斷出相應(yīng)磨的擦表面發(fā)生的磨損過程及其失效類型 4。同時(shí)樣本中各種特征磨粒的分類統(tǒng)計(jì)結(jié)果以及粒度變化趨勢，可用來評估相應(yīng)磨損失效的嚴(yán)重程度。迄今為止，基于磨粒分析的機(jī)械設(shè)備故障診斷方法主要有磁塞檢查法、顆粒計(jì)數(shù)法、油液光譜分析法、油液鐵譜分析法等 23。 小波分析是近十幾年才發(fā)展起來并迅速應(yīng)用到圖像處理和語音分析等眾多領(lǐng)域的一種數(shù)學(xué)工具 ， 屬于時(shí)頻分析的一種。小波變換是一種信號的時(shí)間 時(shí)間 的分析方法 ，它具有多分辨率分析 (特點(diǎn) 56,而且在時(shí)頻兩域都具有表征信號局部特征的能力 ,是一種窗口大?。娣e）不變 ,但其形狀（寬窄、高低）可改變 ,時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的時(shí)頻局部化分析方法。小波變換在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率 ,在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨 率 ,適合于探測正常信號中夾帶的瞬間反?，F(xiàn)象并展示其細(xì)節(jié)成分 ,所以被譽(yù)為分析信號的顯微鏡。對磨屑圖像進(jìn)行以小波分析為基礎(chǔ)的數(shù)字圖像分析和處理，可以將圖像分析和處理技術(shù)運(yùn)用于磨粒圖像的分析和處理，通過對滑油中的磨損顆粒進(jìn)行識別，獲取發(fā)動機(jī)的模式狀態(tài)信息，從而為航空發(fā)動機(jī)的維修提供決策依據(jù)。 綜上所述，運(yùn)用小波分析對損傷檢測中的滑油磨屑圖像進(jìn)行分析和處理，獲取磨屑的特征參數(shù)，進(jìn)而得到發(fā)動機(jī)的狀態(tài)信息，在工程實(shí)際中有很大的應(yīng)用前景。 文的主要工作 工程實(shí)際中，磨屑的 總重量是進(jìn)行損傷狀態(tài)決策的重要依據(jù) 。 但每次都對采集到的磨 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）報(bào)告紙 3 屑進(jìn)行稱量是既費(fèi)時(shí)又費(fèi)力的?？间浀侥バ嫉拿娣e和周長等幾何特征參數(shù)可以在一定程度上反映磨屑的重量，可以直接對滑油濾上的磨屑進(jìn)行圖像采集，再對采集到的圖像進(jìn)行后期處理，提取磨屑的幾何特征參數(shù)，擬合出磨屑的重量。 本 文 對采集到的滑油濾上的磨屑照片進(jìn)行小波分析，通過對分解、降噪、重構(gòu)后的圖像進(jìn)行 邊緣檢測等處理 ，計(jì)算出磨屑目標(biāo)所覆蓋的區(qū)域面積及區(qū)域的連通性（其中磨屑目標(biāo)覆蓋區(qū)域的連通性的提取、計(jì)算是利用小波分析技術(shù)對目標(biāo)進(jìn)行邊緣檢測與提?。?，根據(jù)區(qū)域面積和連通性確定磨屑目標(biāo)的堆積程度并以此確定修 正系數(shù)，最后得到反映磨屑重量的特征量。然后再通過大量實(shí)驗(yàn)獲取特征量與對應(yīng)磨屑重量的樣本，運(yùn)用多元線性回歸分析方法得到特征量與對應(yīng)磨屑重量的相關(guān)性，并進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。最后進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證，模擬顯示特征量的大小以及所對應(yīng)的故障嚴(yán)重程度。 最后，本文通過 文中所涉及到的對磨屑圖像的處理過程全部在一個(gè) 序中實(shí)現(xiàn)了，并將處理的中間和最終結(jié)果通過一個(gè)友好的圖形用戶界面通過用戶的選擇操作選擇性地顯示出來?？梢詫?shí)現(xiàn)如下功能： (1) 從圖片庫中批量讀取圖片和每幅圖像中對應(yīng)的磨屑重量，通過對每幅圖像 進(jìn)行小波變換等處理后提取特征值，利用已知的磨屑重量一起做回歸分析和假設(shè)檢驗(yàn)（線性回歸模型的顯著性檢驗(yàn)和回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)），繪制回歸曲面（曲線），并將結(jié)果寫入磁盤文件以待下次使用。 (2) 從文件中讀取處理批量圖像得到的結(jié)果數(shù)據(jù)，繪制回歸曲面（曲線）。 (3) 讀入一張待分析的圖片，利用上述處理批量圖片得到的結(jié)果和回歸函數(shù)計(jì)算出待分析圖片中磨屑的質(zhì)量，顯示最終結(jié)果，并可根據(jù)用戶的 選擇 操作顯示中間處理結(jié)果。 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）報(bào)告紙 4 第 二 章 小波 分析 用于特征 提取 波變換簡介 傅立葉變換到小波變換 （ 1） 傅 立葉分析 傳統(tǒng)的信號分析是建立在傅立葉（ 換基礎(chǔ)之上的 。 大量的實(shí)際應(yīng)用已經(jīng)證明了在數(shù)學(xué)、科學(xué)和工程中，特別對于周期性、時(shí)不變的或平穩(wěn)現(xiàn)象，傅立葉分析是非常有用和有效的，但是傅立葉變換存在以下幾個(gè)缺陷 5： 1）由于傅立葉變換是一種全局變換，只能用單個(gè)變量描述信號，對信號性質(zhì)的討論要么完全在時(shí)域，要么完全在頻域，無法同時(shí)表述信號的時(shí) 時(shí) 此在非平穩(wěn)信號分析和實(shí)時(shí)信號處理的許多應(yīng)用中，傅立葉變換就會感到力不從心了。 2）為了提取 信號的頻譜信息，傅立葉變換要取無限的時(shí)間量。 3）傅立葉變換沒有反映出頻率隨時(shí)間的變化情況。人們實(shí)際上需要的是，能夠確定時(shí)間間隔，使在任何希望的時(shí)間范圍上產(chǎn)生頻譜信息。 所以，在我們用傅立葉變換對非平穩(wěn)信號進(jìn)行分析時(shí)，不能提供完全的信息，也即通過傅立葉變換，我們雖然可以知道信號所含有的頻率信息，但不能知道這些頻率信息究竟出現(xiàn)在那些時(shí)間段上。亦可以理解為，傅立葉變換是將時(shí)空信息變換成頻率信息，變換后不含時(shí)空域定位信息?？梢?，若要提取局部時(shí)間（空間）段上的頻率特征信息，傅立葉變換就不實(shí)用了。 （ 2） 短時(shí)傅立葉 變換 為了研究信號在局部范圍的頻率特征， 1946 年提出了短時(shí)傅立葉變換 6（ 也稱為窗口傅立葉變換、 換，簡稱 其基本思想是：取一個(gè)光滑的函數(shù) g(t)在區(qū)間 +及 - +上光滑地由 1 變成 0。如圖 示 。 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）報(bào)告紙 5 用 g()同待分析的函數(shù)相乘，然后再進(jìn)行傅立葉變換： (其中 (稱上式為窗口函數(shù) g(t)的窗口 換或 換。因?yàn)樗拥拇翱诤袝r(shí)空域信息，所以對時(shí)空域信號進(jìn)行窗口傅立葉變換后仍然含有時(shí)空域信息。因此，窗口傅立葉變換可以用于時(shí)頻分析，但是窗口大小是固定的 7。 由于信號的頻率和周期是成反比的 ，對于高頻譜的信號，時(shí)間間隔要相對的小，才能給出比較好的精度，而對于低頻譜的信號，時(shí)間間隔要相對的寬，才能給出比較完整的信息，也就是說，需要一個(gè)靈活可變的時(shí)間 得在高 “中心頻率 ”時(shí)自動變窄，而在低 “中心頻率 ”時(shí)自動變寬。所以，窗口形狀、大小不隨頻率而改變是短時(shí)傅立葉變換的一個(gè)嚴(yán)重缺點(diǎn)。此外，在數(shù)值計(jì)算中必須將依賴于參數(shù)的連續(xù)變換離散化。將傅立葉變換離散換后即得到按正交函數(shù)展開的傅立葉級數(shù)，這在理論研究和實(shí)際計(jì)算中都是非常重要的。但對于窗口傅立葉變換，可以證明：無論怎么離散化，均不可能使它成為一組 正交基。鑒于種種嚴(yán)重缺圖 口函數(shù) g(t) 圖 時(shí)傅立葉變換 t 窗口 ( ) ( ) ( ) , * ( )jt f t g t e d t f t g t * ( ) ( ) ( )j t j t g t e g t e 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）報(bào)告紙 6 點(diǎn)， 換未能得到廣泛的應(yīng)用和進(jìn)一步的發(fā)展。 （ 3） 小波變換與小波分析 小波變換繼承和發(fā)展了 換局部化的思想，同時(shí)又克服了窗口大小不隨頻率變化、缺乏離散正交基等缺點(diǎn)，是比較理想的對信號進(jìn)行局部頻譜分析、處理非卷積型線性算子、變系數(shù)線性微分算子等的數(shù)學(xué)工具 8910。 小波變換是 20 世紀(jì) 80 年代后期形成的一個(gè)新興的數(shù)學(xué)分支，它是在傅立葉分析的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，其理論基礎(chǔ)涉及到泛函分析、傅立葉分析、樣條分析、調(diào)和分析和數(shù)值分析等理論 511。小波分析與傅立 葉分析存在極大的不同。從微觀上看，小波分析與傅立葉變換的根本區(qū)別是由小波和正弦波的不同局部化性質(zhì)產(chǎn)生的；從宏觀上看，傅立葉分析是整體域分析，用單獨(dú)的時(shí)域或頻域表示信號的特征；而小波分析是局部化時(shí)頻分析，通過時(shí)域和頻域的結(jié)合表示信號的特征，對高頻成份采用逐級精細(xì)的時(shí)域或空域取樣步長，從而可以聚焦到對象的任意細(xì)節(jié)。小波分析的這一特點(diǎn)，使得它特別適合于對信號奇異性的分析，被譽(yù)為 “數(shù)學(xué)顯微鏡 ”。作為時(shí) 波分析比傅立葉分析有著許多本質(zhì)的區(qū)別，小波分析從根本上克服了傅立葉分析只能以單個(gè)變量描述信號的缺點(diǎn)， 并且通過尺度變化，小波變換能有效地檢測瞬變信號。小波分析能夠從信號中提取許多有用的信息，是各種信號處理方法（如時(shí)頻分析、多尺度分析和子帶編碼）的統(tǒng)一處理框架，它的快速算法為分析和解決實(shí)際問題帶來了極大的方便。 （ 4） 傅立葉變換和小波變換的比較 下面我們將上述提到的小波分析方法和傅里葉變換進(jìn)行比較，就更可以顯示出小波變換特長所在。 1） 傅里葉變換的實(shí)質(zhì)是把能量有限的信號 f(t)分解到以 為正交基的空間上去；小波變換的實(shí)質(zhì)是把能量有限的 信號 f (t)分解到 ( 1 , 2 , ,J)和構(gòu)成的空間上去。 2）傅里葉變換用到的基木函數(shù)只有 )t 、 )t 和 )，具有惟一性；小波分析所用到的小波函數(shù)則不是惟一的，同一個(gè)工程問題用不同的小波函數(shù)進(jìn)行分析有時(shí)結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。小波函數(shù)的選用是小波分析應(yīng)用到實(shí)際中的一個(gè)難點(diǎn)問 題也是分析研究的一個(gè)熱點(diǎn)問題，目前往往是通過經(jīng)驗(yàn)或不斷地試驗(yàn)，將不同的分析結(jié)果進(jìn)行對照分析來選擇小波函數(shù)。 3） 在頻域中，傅里葉變換具有較好的局部化能力，特別是對于那些頻率成分比較簡單的確定性信號，傅里葉變換很容易把信號表示成各頻率成分的疊加和的形式，但在時(shí)域中，傅里葉變換沒有局部化能力，無法從信號 ()傅里葉變換 ()F 中看出 ()任一時(shí)間點(diǎn)附近 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）報(bào)告紙 7 的性態(tài)。 4） 在 小波分析中，尺度 a 越大相當(dāng)于傅里葉變換中的 的值越小。 5） 在短時(shí)傅里葉變換中，變換系數(shù) ()主要依賴于信號在時(shí)間窗內(nèi)的情況，一旦時(shí)間窗函數(shù)確定，則分辨率也就固定了。而在小波變換中，變換系數(shù) ( , )a 雖然也是依賴于信號在時(shí)問窗內(nèi)的情況，但時(shí)間寬度是隨尺度 a 的變換而 變化的，所以小波變換具有時(shí)間局部分析能力。 6） 若用信號通過濾波器來解釋，小波變換與短時(shí)傅里葉變換不同之處在于：對短時(shí)傅里葉變換來說，帶通濾波器的帶寬 與中心頻率 無關(guān)；相反，小波變換帶通濾波器的帝寬 則正比于中心頻率 ，即 C 為常數(shù) 亦即濾波器由一個(gè)恒定的相對帶寬，稱之為等 Q 結(jié)構(gòu)。 總之，小波變換作為一種數(shù)學(xué)理論和方法在科學(xué)技術(shù)和工程界引起了越來越多的關(guān)注和重視。尤其在 工 程應(yīng)用領(lǐng)域，特別是在信號處理、圖像處現(xiàn)、模式識別、語音識別、量子物理、地震勘測、流體力學(xué)、電磁場、 像、機(jī)器視覺、機(jī)械狀態(tài)監(jiān)控與故障診斷、分形、數(shù)值汁算等領(lǐng)域被認(rèn)為是近年來在工具和方法上的重大突破。 續(xù)小波變換 （ 1） 小波變換與連續(xù)小波變換 波 ( 常定義為時(shí)間或空間的一個(gè)震蕩函數(shù)，例如一條正弦曲線。 析也是波的分析，它借助于正弦曲線（或余弦曲線、復(fù)指數(shù)）展開信號或函數(shù)。小波是 “小的波 ”，即小區(qū)域的波，是一種特殊的長度有限、平均值為 0 的波形。它有兩個(gè)特點(diǎn)：一是 “小 ”，即在時(shí)域都具有緊支集或近似緊支集；二是正負(fù)交替的 “波動性 ”，即直流分量為零。小波具有在時(shí)間上集中能量的能力，是分析瞬變的、非平穩(wěn)的或時(shí)變現(xiàn)象的一個(gè)工具 510。 小波變換的定義是把某一被稱為基本小波（也叫母小波 函數(shù) (t)做位移 后，再在不 同尺度 a 下與待分析的信號 x(t)做內(nèi)積： *, 1( , ) ( ) , ( ) ( ) ( )|xa a x t t x t d ， , , 0a R a ( 對應(yīng)的頻域形式是： ( , ) | | 1 / 2 ( ) ( )2 jx a a X a e d ( 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）報(bào)告紙 8 式中， a 為伸縮因子， 為平移因子， () 任意平方可積空間 2()函數(shù)，,1( ) ( ) 是基本小波的位移和尺度伸縮， ()X 、 () 本別是 () ()t 的傅立葉變換。 需要注意的是，任何變換都必須存在反變換才具有實(shí)際意義，但反變換不一定存在。對小波變換而言，所采用的小波必須滿足所謂的 “容許條件 ”（ 才存 在反變換。 容許條件是指： (當(dāng)滿足上式容許條件時(shí)，才能由小波變換系數(shù) ( , )a 反演出原函數(shù) ()反演公式是： ,220 0 01 1 1( ) ( , ) ( , ) ( )a d a tx t W T x a d W T a dC a C a (（ 2） 小波變換的特點(diǎn) 小波變換具有如下特點(diǎn) 5： 1） 時(shí)頻局域性、多分辨分析、數(shù)學(xué)顯微鏡，也叫多尺度的特點(diǎn)，可以由粗 及細(xì)的逐步觀察信號。 2） 自適應(yīng)窗口濾波：低頻寬、高頻窄。小波變換可看成用基本頻率特性為 ()的帶通濾波器在不同尺度 a 下對信號做濾波。由于傅立葉變換的尺度特性可知這組濾波器具有品質(zhì)因數(shù)恒定，即相對帶寬（帶寬與中心頻率之比）恒定的特點(diǎn)。（注意， a 越大頻率越低。） 3） 適用于去噪、濾波、邊緣檢測等。適當(dāng)?shù)倪x擇基小波，使 (t)在時(shí)域上為有限支撐，()在頻域上也比較集中，就可以使小波變換在時(shí)、頻域都具有表征信號局部特征的能力，因此有利于檢測信號的順態(tài)或奇異點(diǎn)。 散小波變換 將連續(xù)小波變換中的 尺度因子 a 和平移因子 離散化，就得到了離散小波變換。通常，尺度因子 a 和平移因子 的離散化公式分別取000mb na b，其中 ,n m Z ，0樣，對應(yīng)的離散小波, ()寫成： (而離散化小波系數(shù)可表示為： (, 0 0 0( ) ( )t a a t n b, ,( ) ( )mn f t t d t 20| ( ) | 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）報(bào)告紙 9 )(;0 2 2101 Z)( )2()( 1 ，即可到到實(shí)際數(shù)值計(jì)算時(shí)使用的重構(gòu)公式： (式中， c 是一個(gè)與信號無關(guān)的常數(shù)。 實(shí)際使用中，最常用的是二進(jìn)小波，即 (中離散化參數(shù)取002, 1時(shí)的離散化小波： (分辨分析和 法 多分辨分析（ 念是由 1986 年提出來的，它從空間的概念上形象的說明了小波的多分辨特性，將在此之前所有的正交小波基的構(gòu)造統(tǒng)一起來，使小波理論產(chǎn)生突破性的進(jìn)展。同時(shí) 多分辨分析理論的基礎(chǔ)上，引入了一種計(jì)算離散柵格小波變換的快速算法，即著 名的 法。該算法在小波分析中的地位很重要，相當(dāng)于快速傅立葉變換在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。 （ 1） 多分辨分析理論 多分辨率分析是用小波函數(shù)的二進(jìn)伸縮和平移表示函數(shù)這一思想的更加抽象復(fù)雜的表示形式，重點(diǎn)處理整個(gè)函數(shù)集，而非側(cè)重處理作為個(gè)體的函數(shù) 12。從數(shù)學(xué)空間的角度，多分辨分析的思想就是先在能量有限函數(shù)空間 )(2 某個(gè)子空間建立基底，然后利用簡單的伸縮與平移變換，把子空間的基底擴(kuò)充到 )(2 。 多分辨分析定義：設(shè)是空間 )(2 的一個(gè)閉空間列，稱為多分辨分析，如果滿足以下條件：即， a） b） c）存在0V，使得 )(是0。 其中，a )(0 ，存在 使得對任意 )( 2 (其中， 稱為尺度函數(shù)，多分辨分析又稱為多尺度分析。對于多分辨分析，有 (接下來從函數(shù)空間的剖分上引入多分辨率的概念。 我們把平方可積的函數(shù) )()( 2 看成是某一逐級逼近的極限情況。每級逼近都是2222 )( Zn Z ,)21()( ( ) ( )m n m nx t c C t , ( ) ( 2 )t t n 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）報(bào)告紙 10 4 2 3 1 j= 4 函數(shù)空間的剖分 用某一低通平滑函數(shù) )(t 對 )(平滑的結(jié)果，在逐級逼近時(shí)平滑函數(shù) )(t 也做逐級伸縮，這就是 “多分辨率 ”，即用不同分辨率來逐級逼近待分析函數(shù) )(把空間做逐級二分解產(chǎn)生一組逐級包含的子空間： 到 的整數(shù)， j=4時(shí)，如圖 空間剖分是完整的，即當(dāng) j 時(shí)， )(2 ，包含整個(gè)平方可積的實(shí)變函數(shù)空間。 (當(dāng) j 時(shí)， 0空間最終剖分到空集為止。 (多分辨分析的一個(gè)最大的特點(diǎn)是從函數(shù)空間的高度研究函數(shù)的分辨率表示，將一個(gè)函數(shù)表示為一個(gè)低頻成份與不同分辨率的高頻成份，更重要的是，多分辨分析能夠提供一個(gè)構(gòu)造小波的統(tǒng)一框架，并且能夠提供函數(shù)分解與重構(gòu)的快速算法。 （ 2） 信號分解和重構(gòu)的 法 多 分辨分析理論為人們討論信號的局部信息提供了一個(gè)相當(dāng)直觀的框架。非平穩(wěn)信號的頻率是隨時(shí)間變化的，可以分為慢變和快變兩部分。慢變部分對應(yīng)于非平穩(wěn)信號的低頻部分，代表信號的主要輪廓；而快變部分對應(yīng)于信號的高頻信息，表示信號的細(xì)節(jié)部分。上述結(jié)論對于圖像仍然成立，即任何一幅圖像都可以分解為兩部分：低頻（主體信息）和高頻（細(xì)節(jié)紋理）。正是基于該思想， 1983 年， 圖像的分解與重構(gòu)中提出了著名的 式算法，該算法的基本思想是：將原始圖像 看作在分辨率為 120 下的近似 近似進(jìn)一步分解為一個(gè)粗分辨率 2j ( 0j )下的近似 j J)下的細(xì)節(jié) 1989 年， 小波變換多分辨分析理論與圖像處理的應(yīng)用研究中受到塔式算法的啟發(fā)，提出了信號 的塔式多分辨分解與重構(gòu)的著名算法，也稱 法。 )(2 0 , 11221110 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）報(bào)告紙 11 )( ,)(2)()()(2,),()(),(,11,11 Zl (),()(),( ,1,1,1 21111 ( ) ( )22h x k法的基本思想可以歸納如下：設(shè)是 )(2 的一個(gè)多分辨分析，尺度函數(shù) 滿足： i) 是0 在 )( 2 ，有 成立。定義序列 )( 2 ，函數(shù))(x 與空間 下式 則： 1） 1,，從而， 2）, 是 )(2 規(guī)范正交基。 由1可得：對任意整數(shù) N 與 M0,有： 從而，f ，有唯一的分解。即： 其中， ,。 ,，它們有唯一的級數(shù)表示。即： (由1得 (從而： 經(jīng)計(jì)算可得 解算法為： (構(gòu)算法為： k k ()()()( ,111 /2 ( ) 2 ( 2 ) , , s p a n x x n n Zj j n 1 ( ) ( )22 g x k1( 1) 1 1 1 2N N N N N N M N V W W W V 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）報(bào)告紙 12 21 (可以看成是低通濾波器系數(shù)， 可以看成是高通濾波器系數(shù)。 是 的近似信號， 是 的細(xì)節(jié)信號。 事實(shí)上 解算法相當(dāng)于先把輸入信號通過濾波器 或 ，再對濾波器輸出進(jìn)行抽樣，取其偶數(shù)部分。此時(shí)，獲得的信號的分辨率是原始信號的 1/2。 構(gòu)算法相當(dāng)于先對近似信號與細(xì)節(jié)信號進(jìn)行插值，相鄰兩個(gè)數(shù)值之間插一個(gè)0，再分別通過濾波器 與 ，最后把兩濾波器的輸出相加。 根據(jù) 法，一維信號的小波分解與重構(gòu)過程可由兩組濾波器的級聯(lián)濾波而產(chǎn)生，設(shè) 一輸入序列， 為經(jīng)過 i 次低通濾波而得到的輸出， 為第 i 次高通濾波得到的輸出，一維信號的小波分解與重構(gòu)過程如圖 a,b 所示。這種分解方式為塔式分解，其中，每次對低頻分量（即近似信號）進(jìn)行分解。 1a） 分解過程 1b） 重構(gòu)過程 圖 維信號的分解與重構(gòu)過程 像信號的二維小波變換 對于二維圖像信號，可 以用分別在水平和垂直方向進(jìn)行濾波的方法實(shí)現(xiàn)二維小波多分辨率分解 1316，圖 二維張量小波變換示意圖。其中： 1） 帶是由兩個(gè)方向利用高通小波濾波器卷積后產(chǎn)生的小波系數(shù)，它表示圖像的對角邊緣特性。 2） 帶是在行方向利用低通小波濾波器卷積后，再用高通小波濾波器在列方向卷積后產(chǎn)生的小波系數(shù)，它表示圖像的水平方向奇異特性。 3） 帶是在行方向利用高通小波濾波器卷積后，再在列方向用低通小波濾波器卷積后產(chǎn)生的小波系數(shù)，它表示圖像的垂直方向奇異特性。 2 ( )k k Zh l Z 2 ( )k k Zg l Z 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）報(bào)告紙 13 4） 帶是由兩個(gè)方向利用低通小波 濾波器卷積后產(chǎn)生的小波系數(shù)，它是圖像的近似表示。 波分析用于特征提取 波 消噪 圖像消噪在信號處理中是一個(gè)經(jīng)典的問題，傳統(tǒng)的消噪方法是采用平均或線性方法，常采用的是維納濾波，但是消噪效果不夠好。隨著小波理論的發(fā)展，它以自生良好的時(shí)頻特性在圖像消噪領(lǐng)域受到越來越多的關(guān)注，開辟了用非線性方法消噪的先河。具體來說，小波能夠消噪得益于小波變換具有如下特點(diǎn)： 1）低熵性：小波系數(shù)的稀疏分布，是圖像變換后的熵降低。 2）多分辨率特性 :由于采用多分辨率的方法，可以非常好地刻 畫信號的非平穩(wěn)性，如突變和斷點(diǎn)等，可以在不同分辨率下根據(jù)信號和噪聲的分布來去除噪聲。 3）去相關(guān)性：小波變換可以對信號去相關(guān)，并且噪聲在變換后有白化趨勢，所以小波域比時(shí)域更利于去噪。 4）基函數(shù)選擇靈活：小波變換可以靈活選擇基函數(shù)，也可根據(jù)信號特點(diǎn)和消噪要求選擇多帶小波、小波包的那個(gè)，對不同場合，可以選擇不同的小波母函數(shù)。 常用的圖像現(xiàn)在方法是小波閾值消噪方法 121617，它是一種實(shí)現(xiàn)簡單而效果較好的消噪方法。閾值消噪方法的思想很簡單，就是對小波分解后的各層系數(shù)模大于和小于某閾值的系數(shù)分 別進(jìn)行處理，然后利用處理后的小波系數(shù)重構(gòu)出消噪后的圖像。在閾值消噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對小波分解系數(shù)的不同處理策略以及不同估計(jì)方法，常用的閾值函數(shù)有硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)。硬閾值函數(shù)可以很好地保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會出現(xiàn)偽吉布斯效應(yīng)等視覺失真現(xiàn)象；軟閾值處理相對較平滑，但可能會造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象，為此人們又提出了半軟閾值函數(shù)。 L H H H L H L a) (b) (c) 圖 維張量積小波變換 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）報(bào)告紙 14 小波閾值消噪方法處理閾值的選擇，另一個(gè)關(guān)鍵因素是閾值的具體估計(jì)。如果閾值太小消噪后的圖像仍然存在噪聲；相反如果閾值太大，重要的圖像特征又將被濾掉，引起偏差。從直觀上講，對給 定的小波系數(shù)，噪聲越大，閾值就越大。 圖像信號的小波消噪步驟有三步，和一維信號的消噪步驟完全相同，唯一的差別是，處理工具用二維小波分析代替了一維小波分析工具。二維小波用于圖像消噪的步驟如下： 步驟 1：對二維圖像信號進(jìn)行小波分解。 在這一步，應(yīng)當(dāng)選擇合適的小波和恰當(dāng)?shù)姆纸鈱訑?shù)（記為 N），然后對待分析的二維圖像信號 X 進(jìn)行 N 層分解計(jì)算。 步驟 2：對分解后的高頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化。 對于分析的每一層，選擇 恰當(dāng)?shù)拈撝挡υ搶痈哳l系數(shù)進(jìn)行閾值量化處理。 步驟 3：圖像重構(gòu)。 根據(jù)小波分解后的第 N 層近似（低頻系數(shù)）和經(jīng)過閾值 量化后的各層細(xì)節(jié)（高頻系數(shù)），來計(jì)算二維信號的小波重構(gòu)。 緣檢測 （ 1） 邊緣檢測研究現(xiàn)狀 圖像邊緣是一種重要的視覺信息，是圖像最基本的特征之一。邊緣表示為圖息的某種不連續(xù)性 (如灰度突變、紋理及色彩的變化等 )，邊緣能大大地減少所要處理的信息，同時(shí)又保留圖像中物體的形狀信息。通常情況下，信號中的奇異點(diǎn)或突變點(diǎn)被認(rèn)為是圖像的邊緣點(diǎn)，其附近灰度的變化情況可從它相鄰象素灰度分布的梯度來反映。因此常規(guī)的邊緣檢測是在原始圖像（即時(shí)域）上，利用圖像邊緣點(diǎn)處的灰度階躍變化進(jìn)行邊緣檢測，然后提取圖像的邊緣。常用 的時(shí)域邊緣檢測算法有： 子、 子、 子、 子、 些算子運(yùn)算量小，速度快；但沒有考慮噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，在檢測邊緣時(shí)，如果采用小的模板，性能就會受到噪聲較大的影響；如果采用較大的模板，雖然抗噪聲能力較強(qiáng)，但又存在定位差等問題。 近年來，不少研究者從邊緣模型及噪聲模型出發(fā)，采用最簡單的階躍邊緣與可加性的白噪聲模型，提出了邊緣檢測的最優(yōu)濾波器。邊緣檢測的基本問題是解決檢測精度與抗噪聲能力之間的矛盾，由于邊緣和噪聲在頻域中同是高頻分量，簡單的微分運(yùn)算 會增加圖像中的噪聲，所以一般在微分運(yùn)算之前應(yīng)采取適當(dāng)?shù)钠交瑸V波來減小噪聲的影響。 用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法對此問題進(jìn)行了分析，推導(dǎo)出由四個(gè)指數(shù)函數(shù)線性組合形式的最優(yōu)邊緣檢測算子， 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）報(bào)告紙 15 其算法的實(shí)質(zhì)是用一個(gè)準(zhǔn)高斯函數(shù)作平滑運(yùn)算，然后以帶方向的一階微分定位導(dǎo)數(shù)最大值，子可以用高斯函數(shù)的梯度來近似，