第 1 頁（共 18 頁） 2016 年陜西省安康市高考數(shù)學三模試卷（文科） 一、選擇題（本大題共 12小題，每小題 5分，共 60分 有一項是符合題目要求的 . 1若集合 P=x|4 x 10， Q=x|3 x 7，則 P Q 等于（ ） A x|3 x 7B x|3 x 10C x|3 x 4D x|4 x 7 2設(shè)復數(shù) z=2+i，則復數(shù) z（ 1 z）的共軛復數(shù)為（ ） A 1 3 1+31+31 3i 3 的 值為（ ） A 2B 1C 2D 1 4如圖，在平行四邊形 ， E 為 中點，且 =x +y ，則（ ） A x= 1， y= B x=1， y= C x= 1， y= D x=1， y= 5已知函數(shù) f（ x） = x ）（ 0）的部分圖象如圖所示，則函數(shù) g（ x） =x+ ）的圖象的一條對稱軸方程為（ ） A x= B x= C x= D x= 6在等差數(shù)列 ， a3+a6=，且 ，則 取值范圍是（ ） A（ ， 9B 9， +） C（ ， 9） D（ 9， +） 7若 x， y 滿足約束條件 ，則目標函數(shù) z=2x+3y 的最大值為（ ） A 2B 3C 11D 18 8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的 S 等于（ ） 第 2 頁（共 18 頁） A B C D 9一直三棱柱的每條棱長都是 3，且每個頂點都在球 O 的表面上，則球 O 的半徑為（ ） A B C D 3 10某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） A 72B 80C 86D 92 11已知雙曲線 M： =1（ b 0）的左、右焦點分別為 點 雙曲線的一條漸近線平行的直線與另一條漸近線交于點 P，若點 P 在 焦點為（ 0， 1）的拋物線 y=雙曲線 M 的離心率為（ ） A B C D 12設(shè)函數(shù) f（ x） =3|x 1| 2x+a， g（ x） =2 在區(qū)間（ 0， 3）上， f（ x）的圖象在 g（ x）的圖象的上方，則實數(shù) a 的取值范圍為（ ） A（ 2， +） B 2， +） C（ 3， +） D 3， +） 二、填空題：本大題共 4小題，每小題 5分 . 13某公司 13 個部門接受的快遞的數(shù)量如莖葉圖所示，則這 13 個部門接收的快遞的數(shù)量的中位數(shù)為 14橢圓 （ m 1）的短軸長為 m，則 m= 第 3 頁（共 18 頁） 15若函數(shù) f（ x） =（ a+2） x 為奇函數(shù)，則曲線 y=f（ x）在點（ 1， f（ 1）處的切線方程為 16記 n表 示正整數(shù) n 的個位數(shù)，設(shè) 前 n 項和， 2n， bn=n，則 三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17如圖，在四邊形 ， ， （ 1）求 （ 2）求 長 18已知某中學 高三文科班學生的數(shù)學與地理的水平測試成績抽樣統(tǒng)計如下表： X 人數(shù) Y A B C A 14 40 10 B a 36 b C 28 8 34 若抽取學生 n 人，成績分為 A（優(yōu)秀）、 B（良好）、 C（及格）三個等級，設(shè) x， y 分別表示數(shù)學成績與地理成績，例如：表中地理成績?yōu)?A 等級的共有 14+40+10=64 人，數(shù)學成績?yōu)锽 等級且地理成績?yōu)?C 等級的有 8 人已知 x 與 y 均為 A 等級的概率是 （ 1）設(shè)在該樣本中，數(shù)學成績優(yōu)秀率是 30%，求 a， b 的值； （ 2）已知 a8， b6，求數(shù)學成績?yōu)?A 等級的人數(shù)比 C 等級的人數(shù)多的概率 19如圖，在四棱錐 A ， 等邊三角形，平面 平面 ，四邊形 高為 的等腰梯形， O 為 中點 （ 1）求證： （ 2）求 O 到平面 距離 第 4 頁（共 18 頁） 20已知圓 M 與圓 N：（ x ） 2+（ y+ ） 2=于直線 y=x 對稱，且點 D（ ， ）在圓 M 上 （ 1）判斷圓 M 與圓 N 的位置關(guān)系 （ 2）設(shè) P 為圓 M 上任意一點， A（ 1， ） B（ 1， ）， 與 不共線， 交 G，求證 面積之比為定值 21設(shè)函數(shù) f（ x） = 2x， g（ x） = （ k 0） （ 1）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)增區(qū)間； （ 2）若對任意 0， ，總存在 ， 1，使得 f（ g（ 求實數(shù) k 的取值范圍 四 2、 23、 24 三題中任選一題作答 能做所選的題目 則按所做的第一個題計分，解答時請寫清題號 .選修 4何證明選講 22如圖， 邊上的點 C、 D、 E 都在 O 上，已知 B （ l）求證：直線 O 相切； （ 2）若 ，且 ，求 長 選修 4標系與參數(shù)方程 23在極坐標中，直線 l 的方程為 （ 34=2，曲線 C 的方程為 =m（ m 0） （ 1）求直線 l 與 極軸的交點到極點的距離； （ 2）若曲線 C 上恰好存在兩個點到直線 l 的距離為 ，求實數(shù) m 的取值范圍 選修 4等式選講 24已知不等式 |x+2|+|x 2 丨 10 的解集為 A （ 1）求集合 A； （ 2）若 a， bA， xR+，不等式 a+b（ x 4）（ 9） +m 恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍 第 5 頁（共 18 頁） 2016 年陜西省安康市高考數(shù)學三模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題 共 12小題，每小題 5分，共 60分 有一項是符合題目要求的 . 1若集合 P=x|4 x 10， Q=x|3 x 7，則 P Q 等于（ ） A x|3 x 7B x|3 x 10C x|3 x 4D x|4 x 7 【考點】 并集及其運算 【分析】 直接利用集合的并集的運算法則，求出 P Q 即可 【解答】 解：集合 P=x|4 x 10， Q=x|3 x 7，則 P Q=x|3 x 10， 故選： B 2設(shè)復數(shù) z=2+i，則復數(shù) z（ 1 z）的共軛復數(shù)為（ ） A 1 3 1+31+31 3i 【考點】 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 把 z=2+i 代入 z（ 1 z），利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，然后求得復數(shù) z（ 1 z）的共軛復數(shù) 【解答】 解： z=2+i， z（ 1 z） =（ 2+i）（ 1 i） = 1 3i， 復數(shù) z（ 1 z）的共軛復數(shù)為 1+3i 故選： B 3 的值為（ ） A 2B 1C 2D 1 【考點】 運用誘導公式化簡求值 【分析】 由條件利用誘導公式進行 化簡所給的式子，可得結(jié)果 【解答】 解： = = =1， 故選： B 4如圖，在平行四邊形 ， E 為 中點，且 =x +y ，則（ ） A x= 1， y= B x=1， y= C x= 1， y= D x=1， y= 【考點】 平面向量的基本定理及其意義 【分析】 利用平面向量的三角形法則用 表示出 【解答】 解： 四邊形 平行四邊形， ， ， E 是 點， = = 第 6 頁（共 18 頁） = = x=1， y= 故選 D： 5已知函數(shù) f（ x） = x ）（ 0）的部分圖象如圖所示，則函數(shù) g（ x） =x+ ）的圖象的一 條對稱軸方程為（ ） A x= B x= C x= D x= 【考點】 正弦函數(shù)的圖象 【分析】 由周期求出 ，可得 g（ x）的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象的對稱性求得 g（ x）的圖象的對稱軸方程 【解答】 解：根據(jù)函數(shù) f（ x） = x ）（ 0）的部分圖象，可得 = ， =2， 則函數(shù) g（ x） =x+ ） =2x+ ），令 2x+ =得 x= ， kZ， 故函數(shù) g（ x）的圖象的對稱軸方程為 x= ， kZ，當 k=1 時， x= ， 故選： B 6在等差數(shù)列 ， a3+a6=，且 ，則 取值范圍是（ ） A（ ， 9B 9， +） C（ ， 9） D（ 9， +） 【考點】 等差數(shù)列的通項公式 【分析】 由等差數(shù)列的性質(zhì)得 a3+a6=a4+而 ，又 ，進而 d ，由此能求出 【解答】 解： 在等差數(shù)列 ， a3+a6=，且 大于 1， 又 a3+a6=a4+ ，又 ， 5 3d1， d ， a8=d5+4=9 取值范圍是 9， +） 故選： B 第 7 頁（共 18 頁） 7若 x， y 滿足約束條件 ，則目標函數(shù) z=2x+3y 的最大值為（ ） A 2B 3C 11D 18 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求 z 的最大值 【解答】 解：作出不等式對應的平面區(qū)域（陰影部分）， 由 z=2x+3y，得 y= ， 平移直線 y= ，由圖象可知當直線 y= 經(jīng)過點 C 時，直線 y= 的截距最大，此時 z 最大 由 ，解得 ， 即 C（ 3， 4） 此時 z 的最大值為 z=23+34=6+12=18， 故選： D 8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的 S 等于（ ） A B C D 【考點】 程序框圖 第 8 頁（共 18 頁） 【分析】 根據(jù)程序框圖的流程，依次寫出每次循環(huán)得到的 S， i 的值，當 S= 時，滿足條件S 1，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得 S=600， i=1 執(zhí)行循環(huán)體， S=600， i=2 不滿足條件 S 1，執(zhí)行循環(huán)體， S=300， i=3 不滿足條件 S 1，執(zhí)行循環(huán)體， S=100， i=4 不滿足條件 S 1，執(zhí)行循環(huán)體， S=25， i=5 不滿足條件 S 1，執(zhí)行循環(huán)體， S=5， i=6 不滿足條件 S 1，執(zhí)行循環(huán)體， S= ， i=7 滿足條件 S 1，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 故選： C 9一直三棱柱的每條棱長都是 3，且每個頂點都在球 O 的表面上，則球 O 的半徑為（ ） A B C D 3 【考點】 球的體積和表面積 【分析】 正三棱柱的兩個底面的中心的連線的中點就是球的球心，球心與頂點的連線長就是半徑，利用勾股定理求出球的半徑 【解答】 解：正三棱柱的兩個底面的中心的連線的中點就是球的 球心，球心與頂點的連線長就是半徑， 所以， r= = 故選： A 10某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） A 72B 80C 86D 92 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 利用三視圖復原的幾何體，畫出圖形，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可 【解答】 解：如圖：三視圖復原的幾何體是五棱柱 其中底面面積 S= =14， 第 9 頁（共 18 頁） 底面周長 C=1+4+5+1+5=16，高為 h=4， 表面積為： 2S+8+64=92 故選： D 11已知雙曲線 M： =1（ b 0）的左、右焦點分別為 點 雙曲線的一條漸近線平行的直線與另一條漸近線交于點 P，若點 P 在焦點為（ 0， 1）的拋物線 y=雙曲線 M 的離心率為（ ） A B C D 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 根據(jù)條件求出交點坐標，結(jié)合點與拋物線的關(guān)系建立方程進行求解即可 【解答】 解：過點 c， 0）與雙曲線的一條漸近線 y=x 平行的直線方程為 y=b（ x+c）， 與另一條漸近線 y= 立得 得 ，即 P（ ， ）， 由 y=得 y，則焦點坐標為（ 0， ）， 由 =1 得 m= ， = ，即 c=8b， c2=， ，即 e= = ， 故選： C 12設(shè)函數(shù) f（ x） =3|x 1| 2x+a， g（ x） =2 在區(qū)間（ 0， 3）上， f（ x）的圖象在 g（ x）的圖象的上方，則實數(shù) a 的取值范圍為（ ） A（ 2， +） B 2， +） C（ 3， +） D 3， +） 【考點】 函數(shù)恒成立問題 【分析】 由題意可得 3|x 1| 2x+a 2 x 3 上恒成立，即有 a 2 x 3|x 1|的最大值，由二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的最值的求法，可得 x=1 時，右邊取得最大值，即可得到 a 的范圍 【解答】 解：由題意可得 3|x 1| 2x+a 2 x 3 上恒成立， 第 10 頁（共 18 頁） 即有 a 2 x 3|x 1|的最大值， 由 h（ x） =2 x 3|x 1|=3（ x 1） 2 3|x 1|， 當 x=1（ 0， 3）時， h（ x）取得最大值，且為 3 0 1=2， 即有 a 2 故選 A 二、填空題：本大題共 4小題，每小題 5分 . 13某公司 13 個部門接受的快遞的數(shù)量如莖葉圖所示，則這 13 個部門接收的快遞的數(shù)量的中位數(shù)為 10 【考點】 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 【分析】 利用莖圖的性質(zhì)和中位數(shù)的定義直接求解 【解答】 解：由莖葉圖的性質(zhì)得： 某公司 13 個部門接受的快遞的數(shù)量按從小到大的順序排的第 7 個數(shù)為中位數(shù)， 第 7 個數(shù)是 10， 這 13 個部門接收的快遞的數(shù)量的中位數(shù)為 10 故答案為： 10 14橢圓 （ m 1）的短軸長為 m，則 m= 2 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 根據(jù)題意，將橢圓 的方程變形為標準方程可得 + =1，比較 與 1的大小可得該橢圓的焦點在 y 軸上，且 b= ，進而依據(jù)題意可得 m=2 ，解可得 可得答案 【解答】 解：根據(jù)題意，橢圓 的方程可以變形為 + =1， 又由 m 1，則 1， 故該橢圓的焦點在 y 軸上，則 b= ， 又由該橢圓的短軸長為 m，則有 m=2 ， 解可得 m=2； 故答案為： 2 15若函數(shù) f（ x） =（ a+2） x 為奇函數(shù)，則曲線 y=f（ x）在點（ 1， f（ 1）處的切線方程為 y=8x+4 【考點】 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程 第 11 頁（共 18 頁） 【分析】 由奇函數(shù)的定義可得 f（ x） = f（ x），求得 a=0，求出 f（ x）的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得所求切線的方程 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =（ a+2） x 為奇函數(shù)， 可得 f（ x） = f（ x），即有（ a+2） 2x=（ a+2） x3+2x， 可得 a=0， f（ x） =2x， f（ x）的導數(shù)為 f（ x） =6， 可得 y=f（ x）在點（ 1， f（ 1）處的切線斜率為 6+2=8，切點為（ 1， 4）， 即有 y=f（ x）在點（ 1， f（ 1）處的切線方程為 y+4=8（ x+1）， 即為 y=8x+4 故答案為： y=8x+4 16記 n表示正整數(shù) n 的個位數(shù)，設(shè) 前 n 項和， 2n， bn=n，則 24n+1+20n 2 【考點】 數(shù)列的求和 【分析】 先判斷出 周期為 4，再根據(jù)的數(shù)列的求和公式計算即可 【解答】 解： 2n， a1=， a2=， a3=， a4=， 周期為 4， 1+2+n=（ a1+（ 21+22+24n） =（ 2+4+8+6） n+=24n+1+20n 2， 故答案為： 24n+1+20n 2 三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17如圖，在四邊形 ， ， （ 1）求 （ 2）求 長 【考點】 相似三角形的性質(zhì) 【分析】 （ 1）利用 ，可得 B用 ，即可求 （ 2）利用余弦定理求出 利用正弦定理求出 即可求出 長 【解答】 解：（ 1） ， 第 12 頁（共 18 頁） B 21， ， ， ， ； （ 2） ， =8+8 2 =4， 2 ， ， 設(shè) 于 O，則 ， = ， +1 18已知某中學高三文科班學生的數(shù)學與地理的水平測試成績抽樣統(tǒng)計如下表： X 人數(shù) Y A B C A 14 40 10 B a 36 b C 28 8 34 若抽取學生 n 人，成 績分為 A（優(yōu)秀）、 B（良好）、 C（及格）三個等級，設(shè) x， y 分別表示數(shù)學成績與地理成績，例如：表中地理成績?yōu)?A 等級的共有 14+40+10=64 人，數(shù)學成績?yōu)锽 等級且地理成績?yōu)?C 等級的有 8 人已知 x 與 y 均為 A 等級的概率是 （ 1）設(shè)在該樣本中，數(shù)學成績優(yōu)秀率是 30%，求 a， b 的值； （ 2）已知 a8， b6，求數(shù)學成績?yōu)?A 等級的人數(shù)比 C 等級的人數(shù)多的概率 【考點】 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 （ 1）由頻率 = ，能求出 a， b 的值 （ 2）由 14+a+28 10+b+34，得 a b+2由此利用列舉法能求出所求概率 【解答】 解：（ 1）由頻率 = ，得到 ， ，故 a=18， 而 14+a+28+40+36+8+10+b+34=200， b=12 （ 2） a+b=30 且 a8， b6， 由 14+a+28 10+b+34，得 a b+2 第 13 頁（共 18 頁） （ a， b）的所有結(jié)果為（ 8， 22）， （ 9， 21），（ 10， 20），（ 11， 19）， （ 24， 6）共 17 組， 其中 a b+2 的共 8 組， 故所求概率為： 19如圖，在四棱錐 A ， 等邊三角形，平面 平面 ，四邊形 高為 的等腰梯形， O 為 中點 （ 1）求證： （ 2）求 O 到平面 距離 【考 點】 點、線、面間的距離計算；直線與平面垂直的性質(zhì) 【分析】 （ 1）證明 出 平面 可證明 （ 2）取 中點 G，連接 出 到 平面 O 作足為 H，說明 平面 O 到平面 距離為 解即可 【解答】 （ 1）證明：因為 邊三角形， O 為 中點，所以 又因為平面 平面 面 面 面 F， 所以 平面 又 面 所以 （ 2）解：取 中點 G，連接 由題設(shè)知， 由（ 1）知 平面 又 面 以 為 A=O，所以 平面 過 O 作 足為 H，則 為 C=G，所以 平面 因為 ，所以 ， 即 O 到平面 距離為 （另外用等體積法亦可 ） 20已知圓 M 與圓 N：（ x ） 2+（ y+ ） 2=于直線 y=x 對稱，且點 D（ ， ）在圓 M 上 （ 1）判斷圓 M 與圓 N 的位置關(guān)系 第 14 頁（共 18 頁） （ 2）設(shè) P 為圓 M 上任意一點， A（ 1， ） B（ 1， ）， 與 不共線， 交 G，求證 面積之比為定值 【考點】 直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 （ 1）先求得點 N 關(guān)于直線 y=x 對稱點 M 的坐標，可得圓 M 的方程，再根據(jù)圓心距大于兩圓的半徑之和，可得兩圓相離 （ 2）設(shè) ，則 ，可得 = = 設(shè)點P（ x， y），求得 值，可得 的值 【解答】 解：（ 1）由于點 N（ ， ）關(guān)于直線 y=x 對稱點 M（ ， ）， 故圓 M 的方程為：（ x+ ） 2+（ y ） 2= 把點 D（ ， ）在圓 M 上，可得 ，故圓 M 的方程為：（ x+ ） 2+（ y ） 2= 可得圓 N：（ x ） 2+（ y+ ） 2= ， N（ ， ）， 根據(jù) | = ，故兩圓相離 （ 2）設(shè) ，則 ， = = 設(shè)點 P（ x， y），則（ x+ ） 2+（ y ） 2= x+1） 2+（ y ） 2 =（ x+1） 2+ （ x+ ） 2= x； x 1） 2+（ y ） 2 =（ x 1） 2+ （ x+ ） 2= x； =4， =2，即 =2 21設(shè)函數(shù) f（ x） = 2x， g（ x） = （ k 0） （ 1）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)增區(qū)間； （ 2）若對任意 0， ，總存在 ， 1，使得 f（ g（ 求實數(shù) k 的取值范圍 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 第 15 頁（共 18 頁） 【分析】 （ 1）將 f（ x）求導，令 f（ x） 0，根據(jù)三角函數(shù)圖象及性質(zhì)，即可解得 f（ x）的單調(diào)增區(qū)間； （ 2）根據(jù) x 的取值范圍，函數(shù) f（ x）的單調(diào)性及最大值，根據(jù) k 的取值范圍，分別求得 g（ x）的最大值，使得 f（ g（ 則需要 f（ x） g（ x） 可求出滿足條件的實數(shù) k 的取值范圍 【解答】 解：（ 1） f（ x） =21， 令 f（ x） 0，得 21 0， 解得： 2 x 2， kZ， f（ x）遞增區(qū)間為（ 2， 2） kZ， （ 2）當 x0， ， f（ x） =21 0， f（ x）在 0， ，上遞減， f（ x） f（ 0） = 2， 當 0 k 時， g（ x） = + = ， x ， 1， g（ x） 0， g（ x）在 ， 1上遞減， g（ x） g（ ） =2k， 由題意可知， 2k 2，又 0 k ， 0 k ， 當 k1 時， g（ x） 0， g（ x）在 ， 1上遞增， g（ x） g（ 1） = k 2， 1k 2， 當 k 1 時，當 x k， g（ x） 0， 當 k x1， g（ x） 0， g（ x） g（ k） = 1 2， k 1， 綜上， k（ 0， 2） 四 2、 23、 24 三題中任選一題作答 能做所選的題目 按所做的第一個題計分，解答時請寫清題號 .選修 4幾何證明選講 22如圖， 邊上的點 C、 D、 E 都在 O 上，已知 B 第 16 頁（共 18 頁） （ l）求證：直線 O 相切； （ 2）若 ，且 ，求 長 【考點】 與圓有關(guān)的比例線段；圓的切線的判定定理的證明 【分析】 （ 1）連結(jié) 導出 B， 此能證明直線 （ 2）延長 O 于點 F，連結(jié) 弦切角定理得 而 = ，由此能求出 長 【解答】 證明：（ 1） ，又 E， B， 如圖，連結(jié) B， 又點 C 在 O 上， 直線 O 相切 解：（ 2）如圖，延長 O 于點 F，連結(jié) 由（ 1）知 O 的切線， 弦切角 F， F= ， 又 0