第 1 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 2015年廣西來(lái)賓市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1復(fù)數(shù) z=（ 3 2i） i，則 z 2 =（ ） A 2 9i B 2+9i C 2 9i D 2+9i 2已知集合 A=y|y= B=x|y=1 x） ，則 AB=（ ） A 0， 1 B 0， 1） C（ ， 1） D（ ， 1 3某市 8 所中學(xué)生參 加比賽的得分用莖葉圖表示（如圖）其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（ ） A 91 91 5 C 92 92 5 4在等差數(shù)列 ， ，前 7 項(xiàng)和 2，則其公差是（ ） A B C D 5設(shè)函數(shù) f（ x） = ，則不等式 f（ x） 2 的解集為（ ） A（ 0， 1 （ 2， +） B 0， +） C 0， 1 D（ 0， +） 6（ x+ ）（ 2x ） 5 的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為 2，則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（ ） A 40 B 20 C 20 D 40 7若某幾何體的三視圖（單位： 圖所示，其中左視圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為 2 的正三角形，則這個(gè)幾何體的體積是（ ） A 2 3 3函數(shù) y=x+）（ A 0， 0， 0 ）的圖象的一部分如圖所示，則此函數(shù)的解析式為（ ） 第 2 頁(yè)（共 20 頁(yè)） A y=3x+ ） B y=3x+ ） C y=3x+ ） D y=3x+ ） 9某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的 k 值是（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 10已知 P 是直線； “3x+4y+13=0 的動(dòng)點(diǎn)， 圓 C： x2+2x 2y 2=0 的一條切線， 么 面積的最小值是（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 11已知 A， B， C， D 均在球 O 的球面上， C=1， ，若三棱錐 D 積的最大值是 則球 O 的表面積為（ ） A B C D 6 12設(shè)函數(shù) f（ x）是奇函數(shù) f（ x）（ x R）的導(dǎo)函數(shù)， f（ 1） =0，當(dāng) x 0 時(shí)， x）f（ x） 0，則使得 f（ x） 0 成立的 x 的取值范圍是（ ） A（ ， 1） （ 0， 1） B（ 1， 0） （ 1， +） C（ ， 1） （ 1，0） D（ 0， 1） （ 1， +） 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分 . 13已知向量 =（ 2， 1）， =（ x， 1），且 與 共線，則 x 的值為 14若數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 任意正整數(shù) n 都有 1，則 于 15設(shè)變量 x， y 滿(mǎn)足約束條件 ，則目標(biāo)函數(shù) z=5x+y 的最大值為 第 3 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 16已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）的兩條漸近線與拋物線 p 0）的準(zhǔn)線分別交于 A、 B 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線的離心率為 2， 面積為 ，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 . 17在 ，角 A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b， c，且滿(mǎn)足 2a+b） C） （ 1）求角 C 的大小； （ 2）若 c=4， 面積為 ，求 a+b 的值 18進(jìn)入冬季以來(lái)，我國(guó)北方地區(qū)的霧霾天氣持續(xù)出現(xiàn)，極大的影響了人們的健康和出行，我市環(huán)保局對(duì)該市 2015 年進(jìn)行為期一年的空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)，得到每天的空氣質(zhì)量指數(shù)，從中隨機(jī)抽取 50 個(gè)作為樣本進(jìn)行分析報(bào)告，樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為（ 5， 15，（ 15， 25，（ 25， 35，（ 35， 45，由此得到樣本的空氣質(zhì)量指數(shù)頻率分布直方圖，如圖 （ 1）求 a 的值； （ 2）如果空氣質(zhì)量指數(shù)不超過(guò) 15，就認(rèn)定空氣質(zhì)量為 “特優(yōu)等級(jí) ”，則從今年的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取 3 天的數(shù)值，其中達(dá)到 “特優(yōu)等級(jí) ”的 天數(shù)為 X求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 19如圖，已知三棱柱 ，側(cè)棱與底面垂直， C= 0，M 是 中點(diǎn) （ 1）求證： 平面 （ 2）求平面 平面 成角的銳二面角的余弦值 20已知橢圓 C： =1（ a b 0）過(guò)點(diǎn) A ，離心率為 ，點(diǎn) 2 分別為其左右焦點(diǎn) （ 1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓 C 恒有兩個(gè)交點(diǎn) P， Q，且 ？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 21已知函數(shù) f（ x） =中 e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)， a 為常數(shù) （ 1）若對(duì)函數(shù) f（ x）存在極小值，且極小值為 0，求 a 的值； 第 4 頁(yè)（共 20 頁(yè)） （ 2）若對(duì)任意 x 0， ，不等式 f（ x） 1 成立，求 a 的取值范圍 請(qǐng)?jiān)?22、 23、 24 題中任選一題作答 .選修 4何證明選講 22如圖，在 ， 平分線， 外接圓交 點(diǎn) E， （ 1）求證： （ 2）求函數(shù) ， 時(shí)，求 長(zhǎng) 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，極軸與 x 軸的正半軸重合，直線 l 的極坐標(biāo)方程為： ，曲線 C 的參數(shù)方程為： （ 為參數(shù)） （ I）寫(xiě)出直線 l 的直角坐標(biāo)方程； （ ）求曲線 C 上的點(diǎn)到直線 l 的距離的最大值 選修 4等式選講 24設(shè)函數(shù) f（ x） =|x |+|x+m|（ m 0） （ 1）證明： f（ x） 4； （ 2）若 f（ 2） 5，求 m 的取值范圍 第 5 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 2015年廣西來(lái)賓市高三（上）期末數(shù) 學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1復(fù)數(shù) z=（ 3 2i） i，則 z 2 =（ ） A 2 9i B 2+9i C 2 9i D 2+9i 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出 【解答】 解： 復(fù)數(shù) z=（ 3 2i） i=3i+2， 則 z 2 =（ 2+3i） 2（ 2 3i） =2+3i 4+6i= 2+9i， 故選： B 2已知集合 A=y|y= B=x|y=1 x） ，則 AB=（ ） A 0， 1 B 0， 1） C（ ， 1） D（ ， 1 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分析】 求出 A 中 y 的范圍確定出 A，求出 B 中 x 的范圍確定出 B，找出 A 與 B 的交集即可 【解答】 解：由 A 中 y=0，得到 A=0， +）， 由 B 中 y=1 x），得到 1 x 0，即 x 1， B=（ ， 1）， 則 AB=0， 1）， 故選： B 3某市 8 所中學(xué)生參加比賽的得分用莖葉圖表示（如圖）其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（ ） A 91 91 5 C 92 92 5 【考點(diǎn)】 莖葉圖 【分析】 根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差即可 【解答】 解：把莖葉圖中的數(shù)據(jù)按大小順序排列，如下； 87、 88、 90、 91、 92、 93、 94、 97； 平均數(shù)是 （ 87+88+90+91+92+93+94+97） = （ 87 2+（ 88 91， 5） 2+（ 90 2+（ 97 2=5， 故選： A 4在等差數(shù)列 ， ，前 7 項(xiàng)和 2，則其公差是（ ） 第 6 頁(yè)（共 20 頁(yè)） A B C D 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 【分析】 由通項(xiàng)公式和求和公式可得 d 的方程組，解方程組可得 【解答】 解：設(shè)等差數(shù)列 公差為 d， ，前 7 項(xiàng)和 2， d=8， 7d=42， 解得 ， d= 故選： D 5設(shè)函數(shù) f（ x） = ， 則不等式 f（ x） 2 的解集為（ ） A（ 0， 1 （ 2， +） B 0， +） C 0， 1 D（ 0， +） 【考點(diǎn)】 分段函數(shù)的應(yīng)用 【分析】 分 x 1 和 x 1 兩種情況列出不等式解出 【解答】 解：（ 1）當(dāng) x 1 時(shí)， 21 x 2，解得 x 0， 0 x 1 （ 2）當(dāng) x 1 時(shí)， 1 2，解得 x ， x 1 綜上，不等式 f（ x） 2 的解集是 0， 1 （ 1， +） =0， +） 故選 B 6（ x+ ）（ 2x ） 5 的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為 2，則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（ ） A 40 B 20 C 20 D 40 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 由于二項(xiàng)式展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)的和為 2，故可以令 x=1，建立 a 的方程，解出 后再由規(guī)律求出常數(shù)項(xiàng) 【解答】 解：令 x=1 則有 1+a=2，得 a=1，故二項(xiàng)式為（ x+ ）（ 2x ） 5 故其常數(shù)項(xiàng)為 22 30 故選： D 7若某幾何體的三視圖（單位： 圖所示，其中左視圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為 2 的正三角形，則這個(gè)幾何體的體積是（ ） 第 7 頁(yè)（共 20 頁(yè)） A 2 3 3考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由幾何體的三視圖得到原幾何體的底面積與高，進(jìn)而得到該 幾何體的體積 【解答】 解：由幾何體的三視圖可知，該幾何體為底面是直角梯形，高為 的四棱錐， 其中直角梯形兩底長(zhǎng)分別為 1 和 2，高是 2 故這個(gè)幾何體的體積是 （ 1+2） 2 = （ 故選： B 8函數(shù) y=x+）（ A 0， 0， 0 ）的圖象的一部分如圖所示，則此函數(shù)的解析式為（ ） A y=3x+ ） B y=3x+ ） C y=3x+ ） D y=3x+ ） 【考點(diǎn)】 由 y=x+）的部分圖象確定其解析式 【分析】 首先根據(jù)函數(shù)的圖象確定函數(shù)的最值，進(jìn)一步求出函數(shù)的周期及 ，再根據(jù)函數(shù)的最值確定 ，最后求出函數(shù)的解析式 【解答】 解：根據(jù)函數(shù)的圖象，得知： A=3， T=2（ 5 1） =8， 第 8 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 所以： = 當(dāng) x=1 時(shí)， f（ 1） =3， 0 ， 解得： = ， 所以函數(shù)的解析式： f（ x） =3） 故選： A 9某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的 k 值是（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 執(zhí)行程序框圖，寫(xiě)出每次循環(huán)得到的 S， k 的值，當(dāng) S=126， K=7 時(shí)不 滿(mǎn)足條件 S 100，輸出 K 的值為 7 【解答】 解：執(zhí)行程序框圖，有 k=1， S=0 滿(mǎn)足條件 S 100， S=2， K=2； 滿(mǎn)足條件 S 100， S=6， K=3； 滿(mǎn)足條件 S 100， S=14， K=4； 滿(mǎn)足條件 S 100， S=30， K=5； 滿(mǎn)足條件 S 100， S=62， K=6； 滿(mǎn)足條件 S 100， S=126， K=7； 不滿(mǎn)足條件 S 100，輸出 K 的值為 7 故選： C 10已知 P 是直線； “3x+4y+13=0 的動(dòng)點(diǎn)， 圓 C： x2+2x 2y 2=0 的一條切線， 么 面積的 最小值是（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 【考點(diǎn)】 直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及三角形的面積，將面積的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵 【解答】 解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ x 1） 2+（ y 1） 2=4， 則圓心坐標(biāo)為 C（ 1， 1），半徑 R=2， 第 9 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 則 面積 S= = 要使 面積的最小，則 小， 即 小即可，此時(shí)最小值為圓心 C 到直線的距離 d= =4， 即 PC=d=4， 此時(shí) =2 ， 即 面積的最小值為 S=2 ， 故選： D 11已知 A， B， C， D 均在球 O 的球面上， C=1， ，若三棱錐 D 積的最大值是 則球 O 的表面積為（ ） A B C D 6 【考點(diǎn)】 球的體積和表面積 【分 析】 設(shè) 外接圓的半徑為 r，由已知求出 r=1，由已知得 D 到平面 最大距離為 ，設(shè)球 O 的半徑為 R，則 ，由此能求出 R，從而能求出球 【解答】 解：設(shè) 外接圓的半徑為 r， C=1， ， 20， = ， 2r= =2，解得 r=1， 三棱錐 D 積的最大值是 ， A， B， C， D 均在球 O 的球面上， D 到平面 最大距離為 ， 設(shè)球 O 的半徑為 R，則 ， 第 10 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 解得 R= ， 球 O 的表面積為 S=4 故選： C 12設(shè)函數(shù) f（ x）是奇函數(shù) f（ x）（ x R）的導(dǎo)函數(shù)， f（ 1） =0，當(dāng) x 0 時(shí)， x）f（ x） 0，則使得 f（ x） 0 成立的 x 的取值范圍是（ ） A（ ， 1） （ 0， 1） B（ 1， 0） （ 1， +） C（ ， 1） （ 1，0） D（ 0， 1） （ 1， +） 【考點(diǎn)】 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 【分析】 由已知當(dāng) x 0 時(shí)總有 x） f（ x） 0 成立，可判斷函數(shù) g（ x） = 為減函數(shù)，由已知 f（ x）是定義在 R 上的奇函數(shù)，可證明 g（ x）為（ ， 0） （ 0， +）上的偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù) g（ x）在（ 0， +）上的單調(diào)性和奇偶性，模擬 g（ x）的圖象，而不等式 f（ x） 0 等價(jià)于 xg（ x） 0，數(shù)形結(jié)合解不等式組即可 【解答】 解：設(shè) g（ x） = ，則 g（ x）的導(dǎo)數(shù)為： g（ x） = ， 當(dāng) x 0 時(shí)總有 x） f（ x）成立， 即當(dāng) x 0 時(shí)， g（ x）恒小于 0， 當(dāng) x 0 時(shí)，函數(shù) g（ x） = 為減函數(shù)， 又 g（ x） = = = =g（ x）， 函數(shù) g（ x）為定義域上的偶函數(shù) 又 g（ 1） = =0， 函數(shù) g（ x）的圖象性質(zhì)類(lèi)似如圖： 數(shù)形結(jié)合可得，不等式 f（ x） 0xg（ x） 0 或 ， 0 x 1 或 x 1 故選： A 第 11 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分 . 13已知向量 =（ 2， 1）， =（ x， 1），且 與 共線，則 x 的值為 2 【考點(diǎn)】 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 【分析】 求出向量 ，然后利用向量與 共線，列出方程求解即可 【解答】 解：向量 =（ 2， 1）， =（ x， 1）， =（ 2 x， 2）， 又 與 共線， 可得 2x= 2+x， 解得 x= 2 故答案為： 2 14若數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 任意正整數(shù) n 都有 1，則 于 63 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和 【分析】 利用遞推關(guān)系、等比數(shù) 列的通項(xiàng)公式即可得出 【解答】 解： 1， 當(dāng) n=1 時(shí)， 1，解得 ； 當(dāng) n 2 時(shí)， n 1=（ 21）（ 21 1），化為 1， 數(shù)列 等比數(shù)列，首項(xiàng)為 1，公比為 2 則 =63 故答案為： 63 15設(shè)變量 x， y 滿(mǎn)足約束條件 ，則目標(biāo)函數(shù) z=5x+y 的最大值為 5 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用 【分析】 先 根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再利用幾何意義求最值，只需求出直線 z=5x+y 過(guò)點(diǎn)A（ 1， 0）時(shí)， z 最大值即可 【解答】 解：根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域 直線 z=5x+y 過(guò)點(diǎn) A（ 1， 0）時(shí)， z 最大值 5， 第 12 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 即目標(biāo)函數(shù) z=5x+y 的最大值為 5， 故答案為 5 16已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）的兩條漸近線與拋物線 p 0）的準(zhǔn)線分別 交于 A、 B 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線的離心率為 2， 面積為 ，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 x 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 把 x= 代入 ，解得 y，可得 | ，利用 面積為 ，可得 = ，再利用 =2，解得 即可得出 p 【解答】 解：把 x= 代入 ，解得 y= | ， 面積為 ， = ， 由 =2，解得 = ， 解得 p=2 該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 x 故答案為： x 三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 . 17在 ，角 A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b， c，且滿(mǎn)足 2a+b） C） 第 13 頁(yè)（共 20 頁(yè)） （ 1）求角 C 的大??； （ 2）若 c=4， 面積為 ，求 a+b 的值 【考點(diǎn)】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ 1）利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得 ，由特殊角的三角函數(shù)值即可得解 （ 2）利用三角形 面積公式可求 ，由余弦定理即可解得 a+B 的值 【解答】 （本題滿(mǎn)分為 12 分） 解：（ 1） 2a+b） C） 2 B+C） = 2 ， C= （ 2） S ， ， 由余弦定理可得： c2=a2+b2+ a+b） 2 6 解得： a+B=2 18進(jìn)入冬季以來(lái)，我國(guó)北方地區(qū)的霧霾天氣持續(xù)出現(xiàn)，極大的影響了人們的健康和出行，我市環(huán)保局對(duì)該市 2015 年進(jìn)行為期一年的空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)，得到每天的空氣質(zhì)量指數(shù)，從中隨機(jī)抽取 50 個(gè)作為樣本進(jìn)行分析報(bào)告，樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為（ 5， 15，（ 15， 25，（ 25， 35，（ 35， 45，由此得到樣本的空氣質(zhì)量指數(shù)頻率分布直方圖，如圖 （ 1）求 a 的值； （ 2）如果空氣質(zhì)量指數(shù)不超過(guò) 15，就認(rèn)定空氣質(zhì)量為 “特優(yōu)等級(jí) ”，則從今年的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取 3 天的數(shù)值，其中達(dá)到 “特優(yōu)等級(jí) ”的天數(shù)為 X求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列 【分析】 （ 1）由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為 1，由此能求出 a （ 2）由已知得 X 的取值為 0， 1， 2， 3，且 X B（ 3， ），由此能求 出 X 的分布列和 【解答】 解：（ 1）由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為 1， 得：（ a+ 10=1， 解得 a= （ 2）利用樣本估計(jì)總體，該年度空所質(zhì)量指數(shù)在（ 5， 15內(nèi)為 “特優(yōu)等級(jí) ”， 第 14 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 且指數(shù)達(dá)到 “特優(yōu)等級(jí) ”的概率為 則 X 的取值為 0， 1， 2， 3，且 X B（ 3， ）， P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = ， X 的分布列為： X 0 1 2 3 P +1 +2 +3 = 19如圖，已知三棱柱 ，側(cè)棱與底面垂直， C= 0，M 是 中點(diǎn) （ 1）求證： 平面 （ 2）求平面 平面 成角的銳二面角的余弦值 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定 【分析】 （ 1）連結(jié) 點(diǎn) O，連結(jié) 此能證明 平面 （ 2）以 B 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面 平面 成角的銳二面角的余弦值 【解答】 證 明：（ 1）連結(jié) 點(diǎn) O，連結(jié) 直三棱柱， 四邊形 矩形， O 為 中點(diǎn)， 又 M 為 點(diǎn)， 位線， 面 面 平面 解：（ 2） 三棱柱 ，側(cè)棱與底面垂直， C= 0， M 是中點(diǎn)， 以 B 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè) ，則 B（ 0， 0， 0）， C（ 2， 0， 2）， 0， 2， 2）， 則 =（ 1， 2， 0）， =（ 2， 2， 2）， 第 15 頁(yè)（共 20 頁(yè)） =（ 0， 2， 0）， =（ 1， 0， 2）， =（ 0， 2， 0）， =（ 1， 0， 2）， 設(shè)平面 法向量為 =（ x， y， z）， 則 ，取 y=1，得 =（ 2， 1， 1）， 設(shè)平面 法向量 =（ a， b， c）， 則 ，取 c=1，得 =（ 2， 0， 1）， = = = ， 平面 平面 成角的銳二面角的余弦值為 20已知橢圓 C： =1（ a b 0）過(guò)點(diǎn) A ，離心率為 ，點(diǎn) 2 分別為其左右焦點(diǎn) （ 1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓 C 恒有兩個(gè)交點(diǎn) P， Q，且 ？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 【考點(diǎn)】 圓與圓錐曲線的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的關(guān)系 【分析】 （ 1）由離心率，推出 b=c，利用橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程，求出 a、 b，即可得到橢圓 C 方程 （ 2）假設(shè)滿(mǎn)足條件的圓存在，其方程為： x2+y2=0 r 1），當(dāng)直線 斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為 y=kx+b，聯(lián)立方程組，令 P（ Q（ 利用韋達(dá)定理，結(jié)合推出 3，利用直線 圓相切，求出圓的半徑，得到圓的方程，判斷當(dāng)直線 斜率不存在時(shí)的圓的方程，即可得到結(jié)果 【解答】 解：（ 1）由題意得： ，得 b=c，因?yàn)?， 第 16 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 得 c=1，所以 ， 所以橢圓 C 方程為 （ 2）假設(shè)滿(mǎn)足條件的圓存在，其方程為： x2+y2=0 r 1） 當(dāng)直線 斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為 y=kx+b， 由 得（ 1+22=0， 令 P（ Q（ ， ， ， 3 因?yàn)橹本€ 圓相切， = 所以存在圓 當(dāng)直線 斜率不存在時(shí)，也適合 x2+ 綜上所述，存在圓心在原點(diǎn)的圓 x2+滿(mǎn)足題意 21已知函數(shù) f（ x） =中 e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)， a 為常數(shù) （ 1）若對(duì)函數(shù) f（ x）存在極小值，且極小值為 0，求 a 的值； （ 2）若對(duì)任意 x 0， ，不等式 f（ x） 1 成立，求 a 的取值范圍 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【分析】 （ 1）求導(dǎo)函數(shù)，對(duì) a 討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù) f（ x）存在極小值，且極小值為 0，可求 a 的值； （ 2）對(duì)任意 x 0， ，不等式 f（ x） 1 成立，等價(jià)于對(duì)任意 x 0， ，不等式 0 恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，分類(lèi)討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求 a 的取值范圍 【解答】 解：（ 1） f（ x） = f（ x） =a， 當(dāng) a 0 時(shí)， f（ x） 0，函數(shù)在 R 上是增函數(shù)，從而函數(shù)不存在極值，不合題意； 當(dāng) a 0 時(shí)，由 f（ x） 0，可得 x f（ x） 0，可得 x x=函數(shù)的極小值點(diǎn)， 由已知， f（ =0，即 ， a=e； 第 17 頁(yè)（共 20 頁(yè)） （ 2）不等式 f（ x） 1 即 0， 設(shè) g（ x） = g（ x） = a， g（ x） =2 x 0， 時(shí)， g（ x） 0，則 g（ x）在 x 0， 時(shí)為增函數(shù)， g（ x） =g（ 0） =1 a 1 a 0，即 a 1 時(shí)， g（ x） 0， g（ x）在 x 0， 時(shí)為增函數(shù)， g（ x） g（ 0） =0，此時(shí) g（ x） 0 恒成立； 1 a 0，即 a 1 時(shí)，存在 0， ，使得 g（ 0，從而 x （ 0， ， g（ x） 0， g（ x）在 0， 是減函數(shù)， x （ 0， ， g（ x） g（ 0） =0，不符合題意 綜上， a 的取值范圍是（ ， 1 請(qǐng)?jiān)?22、 23、 24 題中任選一題作答 .選修 4幾何證明選講 22如圖，在 ， 平分線， 外接圓交 點(diǎn) E， （ 1）求證： （ 2）求函數(shù) ，