天津市紅橋區(qū) 2016 年高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） （解析版） 一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1已知集合 A=x|1 0， x R， B=x|0 x 3， x R，則 AB=（ ） A x|1 x 3， x R B x|1 x 3， x R C x|1 x 3， x R D x|0 x 3， x R 2若實(shí)數(shù) x， y 滿足 ，則目標(biāo)函數(shù) z=4x+3y 的最大值為（ ） A 0 B C 12 D 20 3某程序框圖如圖所示，若輸出的 S=26，則判斷框內(nèi)應(yīng)填（ ） A k 3？ B k 4？ C k 5？ D k 6？ 4下列結(jié)論中，正確的是（ ） A “x 2”是 “2x 0”成立的必要條件 B已知向量 ， ，則 “ ”是 “ + = ”的充要條件 C命題 “p： x R， 0”的否定形式為 “ p： R， 0” D命題 “若 ，則 x=1”的逆否命題為假命題 5已知雙曲線 C： =1（ a 0， b 0），以 C 的右焦點(diǎn) F（ c， 0）為圓心，以 的一條漸近線交于 A， B 兩點(diǎn)，若 | c，則雙曲線 C 的離心率為（ ） A B C D 6在鈍角 ，內(nèi)角 A， B， C 所對(duì)的邊分別為 a， b， c，已知 a=7， c=5， ，則 面積等于（ ） A B C D 7若函數(shù) f（ x） =3 x+2a（ a 0）有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ） A 0， 1 B（ 0， 1） C 1， +） D（ 0， +） 8已知函數(shù) f（ x）是定義域?yàn)?R 的偶函數(shù) ，且 f（ x+1） = ，若 f（ x）在 1， 0上是減函數(shù)，記 a=f（ b=f（ c=f（ 則（ ） A a b c B a c b C b c a D b a c 二、填空題：本大題共 6 個(gè)小題，每小題 5 分，共 30 分 9已知 a， b R， i 是虛數(shù)單位，若（ 2+i）（ 1 =a+i，則 a+b= 10設(shè)變力 F（ x）作用在質(zhì)點(diǎn) M 上，使 M 沿 x 軸正向從 x=0 運(yùn)動(dòng)到 x=6，已知 F（ x） =且方向和 x 軸正向相同，則變力 F（ x）對(duì)質(zhì)點(diǎn) M 所做的功為 J（ x 的單位： m；力的單位： N） 11在平面直角坐標(biāo)系 ，已知直線 l 的參數(shù)方程為 （ l 為參數(shù)），直線 x 相交于 A， B 兩點(diǎn)則線段 長為 12如圖，是一個(gè)幾何體的三視圖，其中正視圖是等腰直角三角形，側(cè)視圖與俯視圖均為邊長為 1 的正方形，則該幾何體外接球的表面積為 13如圖，已知圓內(nèi)接 四邊形 長線交 長線于點(diǎn) P，連結(jié) C=6， ，則 14已知等腰 D 為腰 一點(diǎn)，滿足 + =2 ，且 | |=3，則 積的最大值為 三 、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 15（ 13 分）（ 2016 紅橋區(qū)二模）已知 f（ x） = ， x R （ ）求函數(shù) f（ x）的最小正周期及在區(qū)間 的最大值； （ ）若 f（ = ， ，求 值 16（ 13 分）（ 2016 紅橋區(qū)二模）甲、乙兩隊(duì)參加聽歌猜歌名游戲，每隊(duì) 3 人隨機(jī)播放一首歌曲，參賽者開始搶答，每人只有一次搶答機(jī)會(huì)（每人搶答機(jī)會(huì)均等），答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為 ，乙隊(duì)中 3 人答對(duì)的概率分別為， ， ，且各人 回答正確與否相互之間沒有影響 （ ）若比賽前隨機(jī)從兩隊(duì)的 6 個(gè)選手中抽取兩名選手進(jìn)行示范，求抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì)的概率； （ ）用 表示甲隊(duì)的總得分，求隨機(jī)變量 的分布列和數(shù)學(xué)期望； （ ）求兩隊(duì)得分之和大于 4 的概率 17（ 13 分）（ 2016 紅橋區(qū)二模）已知數(shù)列 遞增等差數(shù)列， ，其前 n 項(xiàng)為 n N*）且 成等比數(shù)列 （ ）求數(shù)列 通項(xiàng) 前 n 項(xiàng)和 （ ）若數(shù)列 足 +1，計(jì)算 前 n 項(xiàng)和 用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) n 5 時(shí)， n N*， 18（ 13 分）（ 2016 紅橋區(qū)二模）如圖，在四棱錐 P ，底面 菱形， 0，側(cè)面 的等邊三角形，點(diǎn) 平面 平面 （ ）求異面直線 成角的余弦值； （ ）若點(diǎn) F 在 上移動(dòng)，是否存在點(diǎn) F 使平面 平面 成的角為 90？若存在，則求出點(diǎn) F 坐標(biāo)，否則說明理由 19（ 14 分）（ 2016 紅橋區(qū)二模）設(shè)橢圓 C： =1（ a b 0），過點(diǎn) Q（ ， 1），右焦點(diǎn) F（ ， 0）， （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）設(shè)直線 l： y=k（ x 1）分別交 x 軸， y 軸于 C， D 兩點(diǎn)，且與橢圓 C 交于 M， N 兩點(diǎn)，若 ，求 k 值； （ ）自橢圓 C 上異于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn) P，作圓 O： x2+ 的兩條切線切點(diǎn) 分別為 2，若直線 x 軸， y 軸上的截距分別為 m， n，證明： =1 20（ 14 分）（ 2016 紅橋區(qū)二模）已知函數(shù) f（ x） =+x，（ a， b R） （ ）若函數(shù) f（ x）在 ， 處取得極值，求 a， b 的值，并說明分別取得的是極大值還是極小值； （ ）若函數(shù) f（ x）在（ 1， f（ 1）處的切線的斜率為 1，存在 x 1， e，使得 f（ x）x （ a+2）（ x2+x）成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ ） 若 h（ x） +x=f（ x） +（ 1 ） h（ x）在 1， e上的最小值及相應(yīng)的 x 值 2016 年天津市紅橋區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1已知集合 A=x|1 0， x R， B=x|0 x 3， x R，則 AB=（ ） A x|1 x 3， x R B x|1 x 3， x R C x|1 x 3， x R D x|0 x 3， x R 【分析】 求出 A 中不等式的解集確定出 A，找出 A 與 B 的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式變形得：（ x+1）（ x 1） 0， 解得： x 1 或 x 1，即 A=x|x 1 或 x 1， x R， B=x|0 x 3， x R， AB=x|1 x 3， x R， 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵 2若實(shí)數(shù) x， y 滿足 ，則目標(biāo)函數(shù) z=4x+3y 的最大值為（ ） A 0 B C 12 D 20 【分析】 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用 z 的幾何意義利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論 【解答】 解：由約束條件作出其所確定的平面區(qū)域（陰影部分）， 平移直線 z=4x+3y，由圖象可知當(dāng)直線 z=4x+3y 經(jīng)過點(diǎn) C 時(shí)， 目標(biāo)函數(shù) z=4x+3y 取得最大值， 由 ，解得 ， 即 C（ ， ）， 即 z=4 3= ， 故 z 的最大值為 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本 題的關(guān)鍵要求熟練掌握常見目標(biāo)函數(shù)的幾何意義 3某程序框圖如圖所示，若輸出的 S=26，則判斷框內(nèi)應(yīng)填（ ） A k 3？ B k 4？ C k 5？ D k 6？ 【分析】 分析程序中各變量、各語句的作用，結(jié)合流程圖所示的順序，可知該程序的作用是累加并輸出 S 的值，由條件框內(nèi)的語句決定是否結(jié)束循環(huán)體并輸出 S，由此給出表格模擬執(zhí)行程序即可得到本題答案 【解答】 解：程序在運(yùn)行過程中，各變量的值變化如下表： 可得，當(dāng) k=4 時(shí)， S=26此時(shí)應(yīng)該結(jié)束循環(huán)體并輸出 S 的值為 26 所以判斷框應(yīng)該填入的條件為： k 3？ 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題給出程序框圖，求判斷框應(yīng)該填入的條件，屬于基礎(chǔ)題解題的關(guān)鍵是先根據(jù)已知條件判斷程序的功能，結(jié)合表格加以理解，從而使問題得以解決 4下列結(jié)論中，正確的是（ ） A “x 2”是 “2x 0”成立的必要條件 B已知向量 ， ，則 “ ”是 “ + = ”的充要條件 C命題 “p： x R， 0”的否定形式為 “ p： R， 0” D命題 “若 ，則 x=1”的逆否命題為假命題 【分析】 A根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷， B根據(jù)向量共線的等價(jià)條件進(jìn)行判斷， C根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行判斷， D根據(jù)逆否命題的等價(jià)性進(jìn)行判斷 【解答】 解： A由 2x 0 得 x 2 或 x 0，則 “x 2”是 “2x 0”成立的充分不必要條件，故 A 錯(cuò)誤， B若 ，則 = ，則 + = 不一定成立，若 + = ，則 = ，則 成立， 即 “ ”是 “ + = ”的必要不充分條件，故 B 錯(cuò)誤， C命題 “p： x R， 0”的否定形式為 “ p： R， 0”，故 C 錯(cuò)誤， D 由 得 x=1 或 x= 1， 命題 “若 ，則 x=1”為假 命題，則命題的逆否命題也為假命題， 故 D 正確， 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大 5已知雙曲線 C： =1（ a 0， b 0），以 C 的右焦點(diǎn) F（ c， 0）為圓心，以 的一條漸近線交于 A， B 兩點(diǎn)，若 | c，則雙曲線 C 的離心率為（ ） A B C D 【分析】 根據(jù)直線和圓相交時(shí)的弦長公式結(jié)合雙曲線離心率的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可 【解答】 解： 雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為 F（ c， 0），雙曲線的一條漸近線為 y= x，即 ， 焦點(diǎn)到漸近線的距離 d= ， |a， | = ， 則 |2|2 = c， 平方得 4（ = 即 c2+ 則 2 則 則 c= a， 即離心率 e= ， 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)直線和圓相交的弦長公式建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵 6在鈍角 ，內(nèi)角 A， B， C 所對(duì)的邊分別為 a， b， c，已知 a=7， c=5， ，則 面積等于（ ） A B C D 【分析】 由條件和平方關(guān)系求出 余弦定理列出方程求出 b 的值，利用條件和余弦定理確定 b 的值，利用三角形面積公式求出 面積 【解答】 解：在鈍角 ， a=7， c=5， ， A C， C 是銳角，且 = ， 由余弦定理得， c2=a2+2 25=49+ ，則 11b+24=0， 解得 b=3 或 8， 鈍角三角形， 當(dāng) b=8 時(shí)，角 B 是鈍角， = = 0， 則 b=8 舍去，同理驗(yàn)證 b=3 符合條件， 面積 S= = = ， 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查余弦定理，以及利用余弦定理判斷是否是鈍角的綜合應(yīng)用，考查化簡、計(jì)算能力，屬于中檔題 7若函數(shù) f（ x） =3 x+2a（ a 0）有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ） A 0， 1 B（ 0， 1） C 1， +） D（ 0， +） 【分析】 可求導(dǎo)數(shù) f（ x） =3 1，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)便可求出函數(shù) f（ x）的最小值及函數(shù) f（ x）的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)便可得出關(guān)于 a 的不等式，從而可求出實(shí)數(shù) 【解答】 解： f（ x） =3 1； x 3 時(shí)， f（ x） 0， x 3 時(shí)， f（ x） 0； x=3 時(shí)， f（ x）取最小值 2a 2； f（ x）在（ ， 3）上單調(diào)遞減，在（ 3， +）上單調(diào)遞增； 又 f（ x）有且只有兩個(gè)零點(diǎn)； 2a 2 0； a 1； 0 a 1 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】 考查基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)最值的方法和過程，函數(shù)零點(diǎn)的定義 8已知函數(shù) f（ x）是定義域?yàn)?R 的偶函數(shù)，且 f（ x+1） = ，若 f（ x）在 1， 0上是減函數(shù)，記 a=f（ b=f（ c=f（ 則（ ） A a b c B a c b C b c a D b a c 【分析】 確定函數(shù)是周期為 2 的周期函數(shù) ， f（ x）在 0， 1上單調(diào)遞增，并且 a=f（ f（ =f（ 1）， b=f（ =f（ 2） =f（ 0）， c=f（ 即可比較出 a， b， c 的大小 【解答】 解： f（ x+1） = ， f（ x+2） =f（ x）， 函數(shù)是周期為 2 的周期函數(shù)； f（ x）為偶函數(shù)， f（ x）在 1， 0上是減函數(shù)， f（ x）在 0， 1上單調(diào)遞增，并且 a=f（ =f（ =f（ 1）， b=f（ =f（ 2）=f（ 0）， c=f（ 0 1 b c a 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 考查偶函數(shù)的定義，函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于偶函數(shù)比較函數(shù)值大小的方法就是將自變量的值變到區(qū)間 0， 1上，根據(jù)單調(diào)性去比較函數(shù)值大小 二、填空題：本大題共 6 個(gè)小題，每小題 5 分，共 30 分 9已知 a， b R， i 是虛數(shù)單位，若（ 2+i）（ 1 =a+i，則 a+b= 2 【分析】 直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡（ 2+i）（ 1 再由復(fù)數(shù)相等的條件列出方程組，求解即可得答案 【解答】 解：由（ 2+i）（ 1 =（ 2+b） +（ 1 2b） i=a+i， 則 ， 解得 a=2， b=0 則 a+b=2 故答案為： 2 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題 10設(shè)變力 F（ x）作用在質(zhì)點(diǎn) M 上，使 M 沿 x 軸正向從 x=0 運(yùn)動(dòng)到 x=6，已知 F（ x） =且方向和 x 軸正向相同，則變力 F（ x）對(duì)質(zhì)點(diǎn) M 所做的功為 78 J（ x 的單位： m；力的單位： N） 【分析】 由功的意義轉(zhuǎn)化為定積分來求即可 【解答】 解： =78； 故答案為： 78 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了定積分在物理中的應(yīng)用；關(guān)鍵是利用定積分表示 11在平面直角坐標(biāo)系 ，已知直線 l 的參數(shù)方程為 （ l 為參數(shù)），直線 x 相交于 A， B 兩點(diǎn)則線段 長為 4 【分析】 將直線參數(shù)方程代入拋物線方程，求出參數(shù)的兩根之和與兩根之積，根據(jù)參數(shù)的幾何意義求出 | 【解答】 解：將直線 l 的參數(shù)方程代入拋物線 方程得 1+ + = ， 即 6 t+5=0， t1+ ， | = =4 故答案為： 4 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了直線參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題 12如圖，是一個(gè)幾何體的三視圖，其中正視圖是等腰直角三角形，側(cè)視圖與俯視圖均為邊長為 1 的正方形，則該幾何體外接球的表面積為 3 【分析】 由已知得到幾何體是平放的三棱柱，底面是等腰直角三角形，高為 1，得到其外接球直徑，計(jì)算表面積 【解答】 解：由已知得到幾何體是平放的 三棱柱，底面是等腰直角三角形，高為 1， 所以其外接球的直徑為 ，所以表面積為 4 =3； 故答案為： 3 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了由三視圖求具體的外接球的表面積；前提是正確還原幾何體，得到其外接球的半徑 13如圖，已知圓內(nèi)接四邊形 長線交 長線于點(diǎn) P，連結(jié) C=6， ，則 3 【分 析】 利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出 可求 D D（ P），進(jìn)而得出答案 【解答】 解： 80， 80， 又 = ， D D （ P）， C=6， ， 36=（ ），解得： 或 12（舍） 故答案為： 3 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，得出 解題關(guān)鍵，屬于中檔題 14已知等腰 D 為腰 一點(diǎn)，滿足 + =2 ，且 | |=3，則 積的最大值為 6 【分析】 由已知可得 C 為 點(diǎn)，先在 利用余弦定理表示出 而求得 后代入三角形面積公式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解 【解答】 解： 等腰三角形 ， C， D 是 一點(diǎn)，滿足 + =2 ， 故 D 為等腰三角形 的中點(diǎn)， 又由 | |=3， 故 ， 積 S= ， 故答案為： 6 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，主要考查了余弦定理和正弦定理的運(yùn)用解題過程中充分利用好等腰三角形這個(gè)條件，屬中檔題 三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分解答應(yīng) 寫出文字說明、證明過程或演算步驟 15（ 13 分）（ 2016 紅橋區(qū)二模）已知 f（ x） = ， x R （ ）求函數(shù) f（ x）的最小正周期及在區(qū)間 的最大值； （ ）若 f（ = ， ，求 值 【分析】 （ ）借助二倍角公式和輔助角公式化簡，得到最小正周期，由 x 的范圍結(jié)合正弦函數(shù)圖象得到 f（ x）的范圍 （ ）由 f（ = ， ，可以得到 2） = ， 【解答】 解 （ ） f（ x） = = x+ = x+ x=2x+ ）， f（ x） =2x+ ）， 函數(shù) f（ x）的最小正周期為 ， x ， 2x+ ） ， 1， 所以 f（ x）在區(qū)間 的最大值是 1 （ ） f（ x） =2x+ ）， f（ = ， 2） = ， 又 ， 2 ， ， 2） = ， 2 ） =2） 2） = （ ） = 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查三角函數(shù)解析式的化簡，以及由 x 的范圍，得到解析式的范圍，需結(jié)合圖象得到 16（ 13 分）（ 2016 紅橋區(qū)二模）甲、乙兩隊(duì)參加聽歌猜歌名游戲，每隊(duì) 3 人隨機(jī)播放一首歌曲，參賽者開始搶答，每人只有一次搶答機(jī)會(huì)（每人搶答機(jī)會(huì)均等），答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為 ，乙隊(duì)中 3 人答對(duì)的概率分別為， ， ，且各人回答正確與否相互之間沒有影響 （ ）若比賽前隨機(jī)從兩隊(duì)的 6 個(gè)選手中抽取兩名選手進(jìn)行示范，求抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì)的概率； （ ）用 表示甲隊(duì)的總得分，求隨機(jī)變量 的分布列和數(shù)學(xué)期望； （ ）求兩隊(duì)得分之和大于 4 的概率 【分析】 （ ） 6 個(gè)選手中抽取兩名選手共 有 種結(jié)果，抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì)包括同在甲隊(duì)或乙隊(duì)，共有 種結(jié)果，由此能求出從兩隊(duì)的 6 個(gè)選手中抽取兩名選手進(jìn)行示范，抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì)的概率 （ ）由題意知， 的可能取值為 0， 1， 2， 3，且 B（ 3， ），由此能求出隨機(jī)變量 的分布列和數(shù)學(xué)期望 （ ）用 B 表示事件：兩隊(duì)得分之和大于 4 包括：兩隊(duì)得分之和為 5，兩隊(duì)得分之和為 6，用 示 事件：兩隊(duì)得分之和為 5，包括甲隊(duì) 3 分乙隊(duì) 2 分和乙隊(duì) 3 分甲隊(duì) 2 分用 隊(duì)得分之和為 6，甲隊(duì) 3 分乙隊(duì) 3 分，由 P（ B） =P（ +P（ 能求出兩隊(duì)得分之和大于 4 的概率 【解答】 解：（ ） 6 個(gè)選手中抽取兩名選手共有 =15 種結(jié)果， 抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì)包括同在甲隊(duì)或乙隊(duì)，共有： =6 種結(jié)果， 用 A 表示事件： “從兩隊(duì)的 6 個(gè)選手中抽取兩名選手，求抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì) ” P（ A） = = 故從兩隊(duì)的 6 個(gè)選手中抽取兩名選手進(jìn)行示范，抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì)的概率為 （ ）由題意知， 的可能取值為 0， 1， 2， 3，且 B（ 3， ）， P（ =0） = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， P（ =3） = （ ） 3= 的分布列為： 0 1 2 3 P 的數(shù)學(xué)期望 E（ ） =0 +1 +2 +3 =2 （ ）用 B 表示事件：兩隊(duì)得分之和大于 4 包括：兩隊(duì)得分之和為 5，兩隊(duì)得分之和為 6， 用 示事件：兩隊(duì)得分之和為 5，包括甲隊(duì) 3 分乙隊(duì) 2 分和乙隊(duì) 3 分甲隊(duì) 2 分 P（ = （ + + ） + = ， 用 示事件：兩隊(duì)得分之和為 6，甲隊(duì) 3 分乙隊(duì) 3 分， 則 P（ = = ， P（ B） =P（ +P（ = = 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式、二項(xiàng)分布性質(zhì)、互斥事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用 17（ 13 分）（ 2016 紅橋區(qū)二模）已知數(shù)列 遞增等差數(shù)列， ，其前 n 項(xiàng)為 n N*） 且 成等比數(shù)列 （ ）求數(shù)列 通項(xiàng) 前 n 項(xiàng)和 （ ）若數(shù)列 足 +1，計(jì)算 前 n 項(xiàng)和 用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) n 5 時(shí)， n N*， 【分析】 （ I）設(shè)等差數(shù)列 公差為 d 0，由 成等比數(shù)列可得 =），即（ 2+3d） 2=2 ，解出 d，再 利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前 n 項(xiàng)和公式即可得出 （ ） +1=2n 1+1，可得 前 n 項(xiàng)和 n+n 1當(dāng) n 5 時(shí)， n N*， n即證明： 2n 利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得出 【解答】 解：（ I）設(shè)等差數(shù)列 公差為 d 0， 成等比數(shù)列 =），即（ 2+3d） 2=2 ， 化為： 98d 20=0， d 0 解得 d=2， +2（ n 1） =2n =n2+n （ ） +1=2n 1+1， 前 n 項(xiàng)和 +n=2n+n 1 當(dāng) n 5 時(shí)， n N*， 證明： 2n 下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) n 5 時(shí)， n N*， 當(dāng) n=5 時(shí)， 25=32 26=52+1，即 n=1 時(shí)成立 假設(shè)當(dāng) n=k N*（ k 5）時(shí)， 2k 成立， 則 n=k+1 時(shí)， 2k+1=2 2k 2， 2 （ k+1） 2+1=2k=k（ k 2） 0， 2 （ k+1） 2+1， 即 2k+1 （ k+1） 2+1， n=k+1 時(shí)不等式成立 綜上得當(dāng) n 5 時(shí)， n N* 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前 n 項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系、數(shù)學(xué)歸納法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題 18（ 13 分）（ 2016 紅橋區(qū)二模）如圖，在 四棱錐 P ，底面 菱形， 0，側(cè)面 的等邊三角形，點(diǎn) 平面 平面 （ ）求異面直線 成角的余弦值； （ ）若點(diǎn) F 在 上移動(dòng)，是否存在點(diǎn) F 使平面 平面 成的角為 90？若存在，則求出點(diǎn) F 坐標(biāo)，否則說明理由 【分析】 （ ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線對(duì)應(yīng)的向量，利用向量法即可求異面直線 成角的余弦值； （ ）求出平面的法向量，根據(jù)平面 平面 成的角為 90，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解判斷即可 【解答】 解：（ ） 因?yàn)槠矫?平面 面 菱形， 0， 故 C=C=， 取 點(diǎn) O，則 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， x 軸， y 軸建立平面直角坐標(biāo)系， O（ 0， 0， 0）， A（ 0， 0， ）， B（ 0， 1， 0）， C（ 0， 1， 0）， P（ ， 0， 0）， D（ 0， 2， ）， E（ ， ， 0）， 則 =（ ， 2， ）， =（ 0， 1， ）， 則 | |= ， | |=2，則 =2 3= 1， 設(shè)異面直線 成角為 ， 則 =| |= ， 所以異面直線 成角的余弦值為 （ ）設(shè)存在點(diǎn) F，使平面 平面 成的角為 90， 設(shè) F（ a， b， 0），因?yàn)?P， C， F 三點(diǎn)共線， =（ a ， b， 0）， =（ ， 1， 0）， 設(shè) = ， 則（ a ， b， 0） =（ ， 1， 0）， 所以 a=（ 1 ） ， b=，則 F（ 1 ） ， ， 0）， 設(shè)平面 一個(gè)法向量為 =（ x， y， z）， 則 得 令 y= ，則 =（ ， ， 3）， | |= ， 設(shè)平 面 一個(gè)法向量為 =（ x， y， z）， 則 則 ， 令 x=1，則 =（ 1， ， 1）， | |= ， 又 =（ 1， ， 1）（ ， ， 3） = ， 若平面 平面 成的角為 90，則 = =0， 故 =0，即 = 1，此時(shí) E（ 2 ， 1， 0），點(diǎn) F 在 長線上， 所以，在 上不存在點(diǎn) F 使平面 平面 成的角為 90 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查異面直線所成的角以及二面角的計(jì)算，建立坐標(biāo)系，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵 19（ 14 分）（ 2016 紅橋區(qū)二模）設(shè)橢圓 C： =1（ a b 0），過點(diǎn) Q（ ， 1），右焦點(diǎn) F（ ， 0）， （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）設(shè)直線 l： y=k（ x 1）分別交 x 軸， y 軸于 C， D 兩點(diǎn)，且與橢圓 C 交于 M， N 兩點(diǎn)，若 ，求 k 值； （ ）自橢圓 C 上異于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn) P，作圓 O： x2+ 的兩條切線切點(diǎn)分別為 2，若直線 x 軸， y 軸上的截距分別為 m， n，證明： =1 【分析】 （ ）將 Q 的坐標(biāo)代入橢圓方程，以及 a， b， c 的關(guān)系，解方程可得 a， b，進(jìn)而得到橢圓方程； （ ）求出直線 l 與 x， y 軸的交點(diǎn)，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及向量共線的坐標(biāo)表示，可得 k 的值； （ ）由切線的性質(zhì)，結(jié)合四點(diǎn)共圓判斷可得 P， O， 點(diǎn)共圓，可得其圓心 O（ ，），求得圓方程，由兩圓方程相減可得相交弦方程，由題意可得 方程為 + =1，求得 P 的坐標(biāo)，代入橢圓方程即可得證 【解答】 解：（ ）橢圓過點(diǎn) Q（ ， 1）， 可得 + =1，由題意可得 c= ，即 ， 解得 a=2， b= ， 即有橢圓 C 的方程為 + =1； （ ）直線 l： y=k（ x 1）與 x 軸交點(diǎn) C（ 1， 0）， y 軸交點(diǎn) D（ 0， k）， 聯(lián)立 ，消 y 得，（ 1+244=0， 設(shè) M（ N（ 則 x1+， =（ 1， =（ k 由 ，得： x1+=1， 解得 k= ； （ ）證明：因?yàn)?切點(diǎn)，所以 所以 P， O， 點(diǎn)共圓， 其圓心 O（ ， ），方程為（ x ） 2+（ y ） 2= ， 整理得 x2+， 圓 O 與圓 O的交點(diǎn)， 聯(lián)立 得 ， 直線 x 軸， y 軸上的截距分別為 m， n， 可得直線 方程 為 + =1， 得 ， ， 因?yàn)?P（ 橢圓 上， 則（ ） 2+2（ ） 2=4， 整理得 =1 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量相等的條件，同時(shí)考查圓方程的求法，以及兩圓相交弦的問題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題 20（ 14 分）（ 2016 紅橋區(qū)二模）已知函數(shù) f（ x） =+x，（ a， b R） （ ）若函數(shù) f（ x）在 ， 處取得極值，求 a， b 的值，并說明分別取得的是極大值還是極小值； （ ）若函數(shù) f（ x）在（ 1