廣東省 2017 屆高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)專題突破訓(xùn)練 立體幾何 一、選擇、填空題 1、（ 2016 年全國 I 卷） 如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑 83 ，則它的表面積是 （ A） 17 （ B） 18 （ C） 20 （ D） 28 2、（ 2016年全國 平面 過正方體 1頂點(diǎn) A， /平面 I 平面 m，I 平面 1=n，則 m， n 所成角的正弦值為 （ A） 32（ B） 22（ C） 33（ D） 133、（ 2015 年全國 I 卷） 九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題 :“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問 :積及為米幾何 ?”其意思為 :“在屋內(nèi)墻角處堆放米 (如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一 )，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一 )，米堆底部的弧度為 8 尺，米堆的高為 5 尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少 ?”已知 1 斛米的體積約為 方尺，圓周率約為 3，估算出堆放斛的米約有（ ） 4、（ 2015 年全國 I 卷） 圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球 (半徑為 r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示。若該幾何體的表面積為 16 + 20 ，則 r= （ A） 1（ B） 2（ C） 4（ D） 8 5、（ 2016 年全國 ） 右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為 （ A） 20 （ B） 24 （ C） 28 （ D） 32 6、（佛山市 2016 屆高三二模） 已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖 2 所示 ,則該幾何體的 體積為 ( ) A 233B 433C 3 D 2 3 7、（廣州市 2016 屆高三二模） 如圖 , 網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為 1 , 粗實(shí)線畫出 的是某幾何體的三視圖 , 則該幾何體的體積是 (A) 46 (B) 86 (C) 4 12 (D) 8 12 8、（茂名市 2016 屆高三二模） 若 幾何體的三視圖如圖 所示，則 該幾何體的 外接 球的表面積為 ( ) A. 34 B. 35 C 36 D 17 9、（汕頭市 2016屆高三二模） 已知正三棱錐 S 的六條棱長都為 463，則它的外接球的體積為 ( ) A. 323B. 32 33 C. 643D. 64 23 10、（深圳市 2016 屆高三二模） 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1 ，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則它的體積為（ ） A 48 B 16 C 32 D 16 5 11、（汕頭市 2016 屆高三上期末） 已知 , 是兩個(gè) 不同的平面， 是兩條不同的直線，給出下列命題： 若 ，則 ； 若 ，則 /n ； 若 ,/m ，則 m ； 若 , ，且 ， 則 /,/ 其中真命題的個(gè)數(shù)是 （ ） A 0 B 1 C 2 D 3 12、（汕尾市 2016屆高三上期末） 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為 ( ) 二、解答題 1、（ 2016 年全國 I 卷） 如圖，在已 A， B， C， D， E， F 為頂點(diǎn)的五面體中，面 正方形，90，且二面角 二面角 0 （ I）證明平面 （ 二面角 余弦值 2、（ 2016 年全國 ） 如圖，菱形 對角線 于點(diǎn) O，56點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在 ，54F， 點(diǎn) 到 位置 10. （ I）證明： 平面 （ 二面角的正弦值 . A B F E D C 3、（ 2015 年全國 I 卷） 如圖，四邊形 菱形， 20， E， F 是平面 一側(cè)的兩點(diǎn)， 面 面 （ 1）證明：平面 面 2）求直線 直線 成角的余弦值 4、（ 2014 年全國 I 卷） 如圖三棱柱1 1 1A B C A B C中，側(cè)面11 C. ( ) 證明：1B； （）若1B， 0C B B， C 求二 面角1 1 1A A B C的余弦值 . 5 、（ 佛 山 市 2016 屆 高 三 二 模 ） 如 圖 ， 在 直四 棱柱1 1 1 1A B C D A B C D中，6 0 , ,B A D A B B D B C C D （ 1）求證 ： 平面 11 平面 1 （ 2） 若 D ,直線 平面 成的角能否為 45 ？并說明理由 廣州市 2016 屆高三二模） 如圖， 在多面體 ， 等邊三角形， 等腰直角三角形， 90C M D ，平面 平面 平面 ( )求證： M ； ( )若 2C，求直線 平面 成角的正弦值 . 7、（茂名市 2016 屆高三二模） 如圖 1，已知四邊形 菱形 ，且 60A, 2E 為 的中點(diǎn)?，F(xiàn)將四邊形 起至 如圖 2。 （ I）求證： E （ 二面角 的大小為3， 求平面 平面 成銳二面角的余弦值。 8、（深圳市 2016 屆高三二模） 在三棱柱1 1 1A B C A B C中， B ， 側(cè)面11 的正方體點(diǎn) , 1,113,24A E A F C E E F （ 1）證明：平面11 平面 （ 2）若 B ， 求直線1成角的正弦值 9、（潮州市 2016 屆高三上期末） 如圖，在四棱錐 B ， 面 3 90， F， 44， 3。 （ I）求證： （ 二面角 B F 的平面角的余弦值。 10、（佛山市 2016 屆高三 教學(xué)質(zhì)量 檢測（一） 如圖，三棱柱 111 中，側(cè)面 1側(cè)面 11 1 ， 6011 1 ， H 為棱 1中點(diǎn)， D 在棱 1， （ 1）求證： D 為 1中點(diǎn)； （ 2）求二面角 11 的余弦值 B 1C 1B 1A C 1B 1C D 11、（惠州市 2016 屆 高三第三次調(diào)研考試 ） 如圖，已知四棱錐 中，底面 菱形， 面 60 ， 別是 的中點(diǎn) 。 （ ）證明： 面 （ ）取 2若 H 為 的動點(diǎn)， 面 成最大角的正切值為26，求二面角 的余弦值 。 參考答案 一、選擇、填空題 1、 【答案】 A 【解析】 試題分析： 由三視圖知：該幾何體是 78個(gè)球，設(shè)球的半徑為 R ，則 37 4 2 8 3 ，解得 ，所以它的表面積是 22734 2 2 1 784 ，故選 A 2、 【答案】 A 如圖所示： D 1C B D 平 面，若設(shè)平面11m，則1平面 平面1 1 1 1合 平面11 1 1 1 1A B C D B D 1 1BD m，故11BD m同理可得：1CD n故 m 、 n 的所成角的大小與1111大小 而1 1 1 1B C B D C D（均為面對交線），因此11 3 ，即11 3s C D B 故選 A 3、 【答案】 B 考點(diǎn)：圓錐的體積公式 4、 【答案】 B 5、 【解析】 C 幾何體是圓錐與圓柱的組合體， 設(shè)圓柱底面圓半徑為 r，周長為c，圓錐母線長為l，圓柱高為h 由圖得 2r，2 4，由勾股定理得： 222 2 3 4l ， 2 1 2S r ch 表 4 16 8 28， 故選 C 6、 B 7、 B 8、 答案 A， 提示： 由 幾何體的三視圖 知它是底面是正方形且有一側(cè)棱垂于底面的 四棱錐，可把它補(bǔ)成一個(gè)長方體，所以 2 2 2 24 3 3 4 1 8 1 6 3 4R ， 它的外接 球表面積為 2S = 4 3 4R 9、 A 10.【答案】 D 【解析】 該幾何體的直觀圖，如圖： 4 2 5 8 5S ， 6 55h ， 1 1 68 5 5 1 63 3 5V S h 11、 C 12、 A 二、解答題 1、 正方形 F 90 F =F F 面 面 平面 平面 由 知 60D F E C E F F 平面 平面 平面 平面 面 D D F 四邊形 等腰梯形 以 E 為原點(diǎn) ，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè) FD a 0 0 0 0 2 0E B a， ， ， ， 30 2 2 022aC a A a a， ， ， ， 0 2 0E B a ， ， ， 3222 a a， ， 2 0 0A B a ， ， 設(shè)面 向量為 m x y z ， ， . 00m C ， 即 11 1 12032022x a y a z 1 1 13 0 1x y z ， ， 3 0 1m ， ， 設(shè)面 向量為 2 2 2n x y z ， ，=00n B 223202220a x a y a 2 2 20 3 4x y z ， ， 0 3 4n ， ， 設(shè)二面角 E 的大小為 . 4 2 1 9c o 3 1 6 二面角 E 的余弦值為 2 19192、 【解析】 證明： 54F， D， C 四邊形 D， 6 3 又5B， 4 1 ， 3 H， 2 2 2O D O H D H ， D H 又 O I， 建立如圖坐標(biāo)系H 5 0 0B ， ，1 3C ， ， 3D ， ，1 3 0A ， ， 4 0 ， 1 3 3 ，060u ， ， 設(shè)面 1n x y z ， ， 由1100n 得4 3 03 3 0y z ，取345， 1 3 4 5n ， 同理可得面2 3 0 1n ， 121295 75c 10 ur 2 955 3、 【答案】 （）見解析（） 33 2 2 2E G F G E F， G ， ， 面 面 平面 平面 6分 （）如圖，以 別以 ,C 的方向?yàn)?x 軸 ， y 軸正方向， |單位長度 ， 建立空間直角坐標(biāo)系 由 （）可得 A（ 0， 3 ， 0）， E(1,0, 2 )， F（ 1,0， 22）， C（ 0， 3 ， 0）， （ 1， 3 ， 2 ）， （ 22） .10分 故 3c o s ,3| | | |A E C C C F . 所以直線 成的角的余弦值為 33. 12 分 考點(diǎn)：空間垂直判定與性質(zhì)；異面直線所成角的計(jì)算；空間想 象能力，推理論證能力 4、 【解析】： ( )連結(jié)11，連結(jié) 為側(cè)面11以1且 O 為11 C，所以1面 故1B C 1B O 故1B 6 分 （）因?yàn)?B且 O 為1以 又因?yàn)?，所以 B O A B O C 故 ，從而 以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 方向?yàn)?x 軸正方向， 單位長，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 因?yàn)?01 60C B B，所以1等邊三角形又 ，則 30, 0,3A， 1,0,0B ，130, , 03B， 30 , , 03C1330 , ,，1131 , 0 , ,3A B A B 1131 , , 03B C B C 設(shè) ,n x y z 是平面的法向量，則 11100n B ，即33 0333 03 所以可取 1, 3 , 3n 設(shè) m 是平面的法向量，則 111100m A C ，同理可取 1, 3 , 3m 則 1c o s , 7，所以二面角1 1 1A A B C的余弦值為 17. 5、 【解析】（ 1）證明： , 6 0A B B D B A D ， 為正三角形， D D ,公共邊， A B C A D C C A B C A D , D 四 棱柱1 1 1 1A B C D A B C D是直四 棱柱， 1面 1D 1A C A A A， 平面11 平面1 平面1面11 （ 2） 設(shè) D= O ,以 建立空間直角坐標(biāo)系 O- 圖所示 , 不妨設(shè) 2 , = h ( h 0 ),則 3 , 1 , 設(shè)平面 D 的法向量為 n = ( x, y, z ) ,則 若直線 平面 D 所成的角為 45 ,則 C 1B 1D 1C 與平面 成的角不可能為 45 .12 分 6、 ( )證明：取 中點(diǎn) O ,連接 等邊三角形， D . 1 分 等腰直角三角形， 90C M D ， D . 2 分 平面 平面 平面 面 D ， 平面 平面 3 分 平面 O ,M ,A ,B 四點(diǎn)共面 . 4 分 O B O M O ,平面 平面 平面 5 分 平面 M . 6 分 ( )解法 1: 作 垂足為 N ,則 B . 等邊三角形， 2, 3, 2. 在 , 2 2 2 2 1A N A M M N A M O B . 7 分 等腰直角三角形， 90C M D ， 1 12O M C D. 2A B A N N B A N O M . 8 分 如圖 ,以點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ,在直線為 x 軸 ,在直線為 y 軸 , 在直 線為 z 軸 ,建立空間直角坐標(biāo)系 O , 則 0,0,1M , 0, 3, 0B , 1,0,0D , 0, 3, 2A . 0 , 3 , 1, 0 , 3 ,1 , 1, 3 , 0 . 設(shè)平面 法向量為 n ,x y z , 由 n 0, n 0,得 3 0 ,3 0 , 9 分 令 1y ,得 3x , 3z . n 3,1, 3 是平面 一個(gè)法向量 . 10 分 M 與平面 成角為 , 則 s i n c o s , A M n AM 2 1727. 11 分 直線 平面 成角的正弦值為 217. 12 分 解法 2: 作 垂足為 N ,則 B . 等邊三角形， 2, 3, 2. 在 , 2 2 2 2 1A N A M M N A M O B . 7 分 等腰直角三角形， 90C M D ， 1 12O M C D. 2A B A N N B A N O M . 8 分 由 ( )知 平面 平面 平面 點(diǎn) M 到平面 距離等于點(diǎn) O 到平面 距離 . 作 垂足為 K , 平面 平面 B . 平面 平面 D B , 平面 且 s i n 6 0O K O D 32. 9 分 在 , 22 2M B O M O B , 在 , 22 2M D O M O D , 面積為 12S 22272 . 設(shè)點(diǎn) A 到平面 距離為 h , 由A B D M M A B , 得 1133 O K S , 得31 222272 2 217 . 10 分 設(shè)直線 平面 成的角為 , 則 21s i . 11 分 直線 平面 成角的正弦值為 217. 12 分 注 :求 2 217h 的另法 . 由 1 1 33 2 3A B D M M A B D O A B D A B D V V O D O B A B , 得 1333 ,得 3 3 2 2 1772h S . 7、 解： (1)證明 : 四邊形 菱形，且 60 1 分 又 的中點(diǎn)為 , 3 分 又 面平面點(diǎn) , 4 分 面 5 分 (注：三個(gè)條件 中，每 少一個(gè)扣 1 分 ) (2)解法一 :以點(diǎn) E 為坐標(biāo)原點(diǎn) ,分別以線段 所在直線為 軸 ,再以過點(diǎn) E 且垂直于 平面 向上的直線為 z 軸 ,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示 . 面 為二面角 的一個(gè)平面角 , 60 6 分 則 0,0,0,0,0,3,0,1,0 23,21,0B, 7 分 則 ,0,1,3 0,0,3 設(shè) 000 , 000 ,3 2 3,21, 000 220 02220 0 02220 0 03 3 01342234xx y zx y z 解得313000 3,1,3H 8 分 那么 3,1,0設(shè)平面 法向量為 1, 111 ,則0303111即3111即 1,3,11 n . 9 分 而平面 一個(gè)法向量為 1,0,02 n . 10 分 設(shè)平面 平面 成銳二面角的大小為 則5551co . 11 分 所以平面 平面 成銳二面角的余弦值為55 12 分 解法二 :分別取 ,D 中點(diǎn) ,連結(jié) 面 可知 為二面角 的平面角 ,即有 60 6 分 O 為 點(diǎn) , . , 面 則以點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ,分別以直線 , 為 , 軸 , 建立空間直角坐標(biāo)系 ,如右圖 . 則由條件 ,易得 0,21,0A , 23,0,0B , 0,21,3D , 0,21,0E . 7 分 再設(shè) 000 , 0,0,3 000 ,21,3 則由 ,有 0 得 30 x. 由22可得 421342320020202020 將 30 可得 3,21 00 即 3,21,3H, 8 分 則 23,21, 3,0,3設(shè)平面 向量為 1111 , , 則02321303311111即1111 3 令 11x ,得 1,3 11 即 1,3,11 n . 9 分 而平面 一個(gè)法向量為 1,0,02 n . 10 分 設(shè)平面 平面 成銳二面角的大小為 則5551co . 11 分 所以平面 平面 成銳二面角的余弦值為55 12 分 解法三 :過點(diǎn) A 作 且 至點(diǎn) A ,延長 點(diǎn) E ,使 . 連結(jié) , ,則 為三棱柱 . 延長 交于點(diǎn) A ,連結(jié) 由三棱柱性質(zhì) ,易知 ,則 面 過點(diǎn) B 作 于點(diǎn) M , 過 M 作 于點(diǎn) N . 平面 , , 面 ,即 , . , 平面 故 為平面 與平面 所成銳二面角的一個(gè)平面角 , 即為平面 平面 成銳二面角的一個(gè)平面角 . 8 分 易得 ,即 為正三角形 . ,21,23 , 3 則 60故41,43 ,415 22 s M, 11 分 即平面 平面 成銳二面角的余弦值為55. 12 分 8、 【解析】（ 1）取線段 點(diǎn) M ， 連接 A B C D E F 19 題圖 在正方體11 31, 2A M A E， 在 和1A E中，1123A E A A E， 又1 2E A M F A E ， 1R t E A M R t F A E， 1A E M A F E ， 從而1 1 1 2A E M A E F A F E A E F ， 2， 即 M 又 ,E F C E M E C E E， 平面 平面 F ， 在等腰三角形 中， B ， 又 交，知 平面1 平面 平面11 平面 （ 2）在等腰三角形 中，由 ,2C A C B A B 知 2C A C B， 且 1， 記線段11 ， 連接 由（ 1）知， ,M C M A M N 兩兩互相垂直， 以 M 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 ,M C M A M N 為正交基底建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 則111( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , ) , ( 0 , , 2 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 1 , 0 , 2 )24C E F A C， 設(shè)平面 法向量為 ( , , )x y zn ， 則 ,C E E F 即1 02 2 023 3 2042x y z x y ， 取 2z ， 則 4, 5， 從而得到平面 一個(gè)法向量 (5, 4, 2)n 1 (1, 1, 2 )， 記直線1成角為 ， 則 111| | 5 4 4 | 3 0s i n | c o s , |18| | | | 4 5 6 故直線1成角的正弦值為 3018 9、 方法一： （ ）證明： 平面 平面 C A ， 平面 平面 . 2 分 x B 1A 1 B C D E F y x z 3 9 0A B C B A C ，又 44A C C D， 30 1 1s i n 3 0 4 22B C A C ， 又 1c o s 6 0 2 12C F B C C D ， 又 平面 平面 又 平面 45 又 3A F A C C F A E ， 45， 90，即 .4 分 又 B F E F F ， 平面 平面 平面 6 分 （ ） 如圖，過點(diǎn) F 作 E 于點(diǎn) G ，連接 由 （ ） 知 平面 平面 (所以 E 又 B F F G F ， 平面 所以 平面 又 平面 ) 所以 G (三垂線定理 ) 故 二面角 B 的平面角 8 分 在 中， 2 2 2 23 3 3 2E F E A A F 在 中， 2 2 2 21 1 2F D F C C D . 9 分 在 中， 2 2 2 2( 3 2 ) ( 2 ) 2 5E D E F F D 由 E F F D F G E D 得 3 2 2 3 5525E F F 10 分 在 中， 2 2 2 22 1 3B F B C F C 在 中， 22 9 2 3 0355B G B F F G 11 分 所以3565c o 05 二面角 B 的平面角的余弦值為46. . .12 分 方法二： 過 F 作 /E ，由 平面 知 平面 又 平面 是 C ， F ， 又 兩垂直 以 F 為原點(diǎn)， 次為 x、 y、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖） 7 分 由 ( )可得 3t a n 3 0 3 33B F A F 于是 ( 0 , 0 , 0 )F ， ( 0 , 3 , 0 )B ， ( 1 , 0 , 1)D ， ( 3 , 0 , 3)E ， ( 1 , 3 , 1 ) ， ( 3 , 3 , 3 ) ， A B C D E F y x z ( 0 , 3 , 0 ) 由 ( )知 平面 一個(gè)法向量 設(shè) ( , , )n x y z 是平面 一個(gè)法向量，則 ，033303 取 2z ，得到 ( 1 , 3 , 2 )n 10 分 36c o | | | 2 2 3n F B ， 11 分 又二面角 B 是銳二面角 二面角 B 的平面角的余弦值為46. .12 分 方法二： ( )證明：過 F 作 /E ，由 平面 知 平面 又 平面 是 C ， F ， 又 兩垂直 以 F 為原點(diǎn)， 次為 x、 y、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖） 1 分 3 9 0A B C B A C ， 44A C C D， 3， 1， 30 1 22B C A C， 1c o s 6 0 2 12F C B C ， 3A F A C F C ， 22 3B F B C F C 3 分 于是 ( 0 , 0 , 0 )F ， ( 0 , 3 , 0 )B ， ( 1 , 0 , 1)D ， ( 3 , 0 , 3)E ， ( 1 , 0 , 1 ) ， ( 3 , 3 , 3 ) 故 1 3 0 ( 3 ) 1 3 0F D B E 所以 .6 分； ( )由 ( )知 ( 3 , 0 , 3 ) ， ( 1 , 3 , 1 ) ， ( 3 , 3 , 3 ) ， ( 0 , 3 , 0 ) 于是 0 3 3 0 0 3 0F B F E ，所以 E ，又 所以 平面 一個(gè)法向量 .8 分 設(shè) ( , , )n x y z 是平面 一個(gè)法向量，則 ，033303 取 2z ，得到 ( 1 , 3 , 2 )n .10 分 B 1A 1B 1A 136c o | | | 2 2 3n F B ， 又二面角 B 是銳二面角 二面角 B 的平面角的余弦值為46. 12 分 10、 【 解析 】 向量法 ( )連結(jié)1為1正三角形 ,H 為棱1 所以1C,從而1A,又面11面11面11面11所以 面11 1 分 以 A 為原點(diǎn) ,建立空間直角坐標(biāo)系 A 如圖所示 , 2 分 不妨設(shè) 2,則1 2 1 0,2,0A, 1 2 , 2, 0B, 設(shè) 2, , 0 1 2 , 2 , 0, 1 2 , 2 , 0A D t, 3 分 因?yàn)?面1面1以11A D 所以 11 2 2 2 0A B A D t ,解得 1t ,即 2,1, 0D ,所以 D 為1 5 分 ( ) 1 0,1, 3C, 1 2 , 1, 0, 11 0 , 1, 3, 設(shè)平面11 ,x y zn ,則 11100 2030 ,解得 263, 令 3x ,得 3 , 3 2 , 6n , 9 分 顯然平面1 0 , 0 , 3 , 10 分 所以 3 2 2 2c o s , 113 3 3H nn n, 所以二面角11C A D A的余弦值為 2211. 12 分 傳統(tǒng)法 ( )設(shè) 2AB a ,由 1 2A C A A A B ,所以1 2A C A A a, 因?yàn)?面1面1以11A D 從而1 1 1 1 90D A B A B A ,所以1 1