2016專題五：函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 在解題中常用的有關(guān)結(jié)論 （ 需要熟記 ）： (1)曲線 ()y f x 在 0處的切線的斜率等于 0()，切線方程為 0 0 0( )( ) ( )y f x x x f x (2)若可導(dǎo)函數(shù) ()y f x 在 0 處取得極值，則 0( ) 0 。反之，不成立。 (3)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù) ()等式 ()0 0（ ） 的解集決定函數(shù) ()）區(qū)間。 (4)函數(shù) () 上遞增（減）的充要條件是： ()0 ( 0) 恒成立 (5)函數(shù) () 上 不單調(diào) 等價(jià)于 () 上有極值， 則 可等價(jià)轉(zhuǎn)化為 方程( ) 0 在區(qū)間 I 上有實(shí)根且 為 非二重根。（若 ()為二次函數(shù)且 I=R，則有 0 ）。 (6) () 上無(wú)極值等價(jià)于 ()而得到 ()0 或()0 在 I 上恒成立 (7)若 ， () 恒成立，則 ; 若 ， () 恒成立，則 (8)若 0，使得 0() ，則 ； 若 0，使得 0() ，則 . (9)設(shè) ()若 xD ( ) ( )f x g x 恒成立則有 ) ( ) 0f x g x (10)若對(duì) 11、 22 ， 12( ) ( )f x g x 恒成立，則 ) ( )f x g x . 若對(duì) 11， 22，使得 12( ) ( )f x g x ,則 ) ( )f x g x . 若對(duì) 11， 22，使得 12( ) ( )f x g x ，則 ) ( )f x g x . （ 11） 已知 ()I 上的值域?yàn)?A,， ()區(qū)間 2I 上值域?yàn)?B， 若對(duì) 11, 22，使得 1() 2()立，則 。 (12)若三次函數(shù) f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則方程 ( ) 0 有兩個(gè)不等實(shí)根 12，且極大值大于 0，極小值小于 0. (13)證題中常用的不等式 : ( 0)x x x 1 ( 1)x x x （ ） 1 1 ( 1)12xx 22 1 ( 0 )22x 考點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)幾何意義： 角度一 求切線方程 1 (2014洛陽(yáng)統(tǒng)考 )已知函數(shù) f(x) 3x x x， a f 4 ， f (x)是 f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則過(guò)曲線 y 一點(diǎn) P(a， b)的切線方程為 ( ) A 3x y 2 0 B 4x 3y 1 0 C 3x y 2 0 或 3x 4y 1 0 D 3x y 2 0 或 4x 3y 1 0 解析： 選 A 由 f(x) 3x x x 得 f (x) 3 2x 2x，則 a f 4 3 22.由 y y 3曲線 y 一點(diǎn) P(a， b)的切線的斜率 k 33 12 3.又 b b 1，所以切點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (1,1)，故過(guò)曲線 y 的點(diǎn) P 的切線方程為 y 1 3(x 1)，即 3x y 2 0. 角度二 求切點(diǎn)坐標(biāo) 2 (2013遼寧五校第二次聯(lián)考 )曲線 y 3ln x x 2 在點(diǎn) 的切線方程為 4x y 1 0，則點(diǎn) 坐標(biāo)是( ) A (0,1) B (1， 1) C (1,3) D (1,0) 解析： 選 C 由題意知 y 3x 1 4，解得 x 1，此時(shí) 4 1 y 1 0，解得 y 3， 點(diǎn) 坐標(biāo)是 (1,3) 角度三 求參數(shù)的值 3已知 f(x) ln x， g(x) 1272( 當(dāng) x (， )時(shí)， g (x)0， ， x 由 F (x)0)， f (x) x 5 6x x 2x 3x . 令 f (x) 0，解得 2， 3. 當(dāng) 03 時(shí)， f (x)0，故 f(x)在 (0,2)， (3， )上為增函數(shù)；當(dāng) 20， x 1. 當(dāng) 00；當(dāng) x1 時(shí)， f (x)0， f(x)在區(qū)間 (1， )上為增函數(shù)，不合題意 當(dāng) a0 時(shí)， f (x) 0(x0)等價(jià)于 (21) (1) 0(x0)，即 x 1a， 此時(shí) f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 1a， . 由 1a 1，a0，得 a 1. 當(dāng) 價(jià)于 (21) (1) 0(x0)，即 x 12a，此時(shí) f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 12a， . 由 12a 1，函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間； (3)設(shè)函數(shù) g(x) f(x) 2x，且 g(x)在區(qū)間 ( 2， 1)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 解： (1)f (x) b， 由題意得 f0 1，f 0 0， 即 c 1，b 0. (2)由 (1)得， f (x) x(x a)(a0)， 當(dāng) x ( ， 0)時(shí)， f (x)0， 當(dāng) x (0， a)時(shí)， f (x)0. 所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ( ， 0)， (a， )，單調(diào)遞減區(qū)間為 (0， a) (3)g (x) 2， 依題意，存在 x ( 2， 1)，使不等式 g (x) 20， f(x)為 ( ， )上的增函數(shù)，所以函數(shù) f(x)無(wú)極值 當(dāng) a0 時(shí)，令 f (x) 0，得 a，即 x ln a. x ( ， ln a)， f (x)0， 所以 f(x)在 ( ， ln a)上單調(diào)遞減，在 (ln a， )上單調(diào)遞增， 故 f(x)在 x ln a 處取得極小值， 且極小值為 f(ln a) ln a，無(wú)極大值 綜上，當(dāng) a 0 時(shí)，函數(shù) f(x)無(wú)極值； 當(dāng) a0 時(shí)， f(x)在 x ln a 處取得極小值 ln a，無(wú)極大值 針對(duì)訓(xùn)練 設(shè) f(x) 21 的導(dǎo)數(shù)為 f (x)，若函數(shù) y f (x)的圖像關(guān)于直線 x 12對(duì)稱，且 f (1) 0. (1)求實(shí)數(shù) a， b 的值； (2)求函數(shù) f(x)的極值 解： (1)因?yàn)?f(x) 21， 故 f (x) 62b， 從而 f (x) 6 x b 即 y f (x)關(guān)于直線 x 從而由題設(shè)條件知 12，即 a 3. 又由于 f (1) 0，即 6 2a b 0， 得 b 12. (2)由 (1)知 f(x) 2312x 1， 所以 f (x) 66x 12 6(x 1)(x 2)， 令 f (x) 0， 即 6(x 1)(x 2) 0， 解得 x 2 或 x 1， 當(dāng) x ( ， 2)時(shí)， f (x)0， 即 f(x)在 ( ， 2)上單調(diào)遞增； 當(dāng) x ( 2,1)時(shí)， f (x)0， 即 f(x)在 (1， )上單調(diào)遞增 從而函數(shù) f(x)在 x 2 處取得極大值 f( 2) 21， 在 x 1 處取得極小值 f(1) 6. 考點(diǎn) 五 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問(wèn)題 典例 已知函數(shù) f(x) ln x ax(a R) (1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)當(dāng) a0 時(shí)，求函數(shù) f(x)在 1,2上的最小值 解 (1)f (x) 1x a(x0)， 當(dāng) a 0 時(shí)， f (x) 1x a0， 即函數(shù) f(x)的單調(diào)增區(qū)間為 (0， ) 當(dāng) a0 時(shí)，令 f (x) 1x a 0，可得 x 1a， 當(dāng) 00； 當(dāng) x1f (x) 1 )，若函數(shù) f(x)在 x 1 處與直線 y 12相切， (1)求實(shí)數(shù) a， b 的值； (2)求函數(shù) f(x)在 1e， e 上的最大值 解： (1)f (x) 2 函數(shù) f(x)在 x 1 處與直線 y 12相切， f 1 a 2b 0，f1 b 12， 解得 a 1，b 12. (2)f(x) ln x 12f (x) 1x x 1 當(dāng) 1e x e 時(shí)，令 f (x)0 得 1e 導(dǎo)函數(shù) y f (x)的兩個(gè)零點(diǎn)為 3 和 0. (1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若 f(x)的極小值為 f(x)在區(qū)間 5， )上的最大值 解 (1)f (x) 2bcex 2a bx b 令 g(x) (2a b)x b c， 因?yàn)?，所以 y f (x)的零點(diǎn)就是 g(x) (2a b)x b c 的零點(diǎn)，且 f (x)與 g(x)符號(hào)相同 又因?yàn)?a0，所以 30，即 f (x)0， 當(dāng) ， g(x)5 f(0)，所以函數(shù) f(x)在區(qū)間 5， )上的最大值是 5針對(duì)訓(xùn)練 已知函數(shù) f(x) c，曲線 y f(x)在點(diǎn) x 1 處的切線為 l： 3x y 1 0，若 x 23時(shí)， y f(x)有極值 (1)求 a， b， c 的值； (2)求 y f(x)在 3,1上的最大值和最小值 解： (1)由 f(x) c，得 f (x) 32b.當(dāng) x 1 時(shí)，切線 l 的斜率為 3，可得 2a b 0， 當(dāng) x 23時(shí)， y f(x)有極值，則 f 23 0，可得 4a 3b 4 0， 由 ，解得 a 2， b ， 所以 f(1) 4. 所以 1 a b c c 5. (2)由 (1)，可得 f(x) 24x 5， f (x) 34x 4.令 f (x) 0，解之，得 2， 23. 當(dāng) x 變化時(shí)， f (x)， f(x)的取值及變化情況如下表所示： x 3 ( 3， 2) 2 2， 23 23 23， 1 1 f (x) 0 0 f(x) 8 13 9527 4 所以 y f(x)在 3,1上的最大值為 13，最小值為 9527. 考點(diǎn)七： 利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題及參數(shù)求解 典例 (2013全國(guó)卷 )設(shè)函數(shù) f(x) b， g(x) ex(d)若曲線 y f(x)和曲線 y g(x)都過(guò)點(diǎn) P(0，2)，且在點(diǎn) P 處有相同的切線 y 4x 2. (1)求 a， b， c， d 的值； (2)若 x 2 時(shí)， f(x) kg(x)，求 k 的取值范圍 解 (1)由已知得 f(0) 2， g(0) 2， f (0) 4， g (0) 4. 而 f (x) 2x a， g (x) ex(d c)，故 b 2， d 2， a 4， d c 4. 從而 a 4， b 2， c 2， d 2. (2)由 (1)知， f(x) 4x 2， g(x) 2ex(x 1) 設(shè)函數(shù) F(x) kg(x) f(x) 2x 1) 4x 2， 則 F (x) 2x 2) 2x 4 2(x 2)(1) 由題設(shè)可得 F(0) 0，即 k 1. 令 F (x) 0 得 ln k， 2. ( )若 1 k 2 x ( 2， ， F (x) 0；當(dāng) x ( )時(shí)， F (x) 0，即 F(x)在 ( 2， 單調(diào)遞減，在 ( )上單調(diào)遞增，故 F(x)在 2， )上的最小值為 F(而 F( 22 42 x1(2) 0. 故當(dāng) x 2 時(shí)， F(x) 0，即 f(x) kg(x)恒成立 ( )若 k F (x) 2e2(x 2)(e 2)從而當(dāng) x 2 時(shí)， F (x) 0，即 F(x)在 ( 2， )上單調(diào)遞增， 而 F( 2) 0，故當(dāng) x 2 時(shí)， F(x) 0，即 f(x) kg(x)恒成立 ( )若 k F( 2) 22 2 2e 2 (k x 2 時(shí)， f(x) kg(x)不可能恒成立 綜上， k 的取值范圍是 1， 針對(duì)訓(xùn)練 設(shè)函數(shù) f(x) 12(1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若當(dāng) x 2,2時(shí)，不等式 f(x)m 恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 解： (1)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?( ， )， f (x) x ( x(1 若 x 0，則 f (x) 0； 若 以 f (x)0，則 1 成立 故 m 的取值范圍為 ( ， 2 考點(diǎn)八、 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題 典例 (2013河南省三市調(diào)研 )已知函數(shù) f(x) ex(a0) (1)若 a 12，求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)當(dāng) 1 a 1 e 時(shí)，求證： f(x) x. 解 (1)當(dāng) a 12時(shí)， f(x) 12x f (x) 12 f (x) 0，得 x . 當(dāng) 當(dāng) x 時(shí)， f (x)0， f(x) x 成立 ( )當(dāng) 1ln(a 1)時(shí)， F (x)0， F(x)在 ( ， a 1)上單調(diào)遞減，在 (ln(a 1)， )上單調(diào)遞增 F(x) F(ln(a 1) a 1) (a 1)ln(a 1) (a 1)1 ln(a 1)， 10,1 ln(a 1) 1 1 e) 1 0， F(x) 0，即 f(x) x 成立 綜上，當(dāng) 1 a 1 e 時(shí)，有 f(x) x. 法二 ：令 g(a) x f(x) x 只要證明 g(a) 0 在 1 a 1 e 時(shí)恒成立即可 g(1) x x ， g(1 e) x(1 e) x 設(shè) h(x) h (x) e， 當(dāng) ， h (x)0， h(x)在 ( ， 1)上單調(diào)遞減，在 (1， )上單調(diào)遞增， h(x) h(1) e1 0， 即 g(1 e) 0. 由 知， g(a) 0 在 1 a 1 e 時(shí)恒成立 當(dāng) 1 a 1 e 時(shí)，有 f(x) x. 針對(duì)訓(xùn)練 (2014東北三校聯(lián)考 )已知函數(shù) f(x) 1213a0)，函數(shù) g(x) f(x) ex(x 1)，函數(shù) g(x)的導(dǎo)函數(shù)為 g (x) (1)求函數(shù) f(x)的極值； (2)若 a e， ( )求函數(shù) g(x)的單調(diào)區(qū)間； ( )求證： x0 時(shí)，不等式 g (x) 1 ln x 恒成立 解： (1)f (x) x x 1a ， 當(dāng) f (x) 0 時(shí)， x 0 或 x 1a，又 a0， 當(dāng) x