2.2.1平面向量基本定理學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1了解平面向量的基本定理及其意義，會(huì)用平面向量基本定理和向量的線性運(yùn)算進(jìn)行向量之間的相互表示(重點(diǎn))2理解直線的向量參數(shù)方程式，尤其是線段中點(diǎn)的向量表達(dá)式(難點(diǎn))1通過平面向量基本定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)2借助平面向量基本定理的應(yīng)用，提升學(xué)生的邏輯推理和直觀想象核心素養(yǎng).1平面向量基本定理(1)平面向量基本定理：如果e1和e2是一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行的向量，那么該平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)a1，a2，使aa1e1a2e2.(2)基底：把不共線向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為e1，e2a1e1a2e2叫做向量a關(guān)于基底e1，e2的分解式2直線的向量參數(shù)方程式(1)向量參數(shù)方程式：已知A，B是直線l上任意兩點(diǎn)，O是l外一點(diǎn)(如圖所示)，對(duì)直線l上任意一點(diǎn)P，一定存在唯一的實(shí)數(shù)t滿足向量等式(1t)t；反之，對(duì)每一個(gè)實(shí)數(shù)t，在直線l上都有唯一的一個(gè)點(diǎn)P與之對(duì)應(yīng)向量等式(1t)t叫做直線l的向量參數(shù)方程式，其中實(shí)數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)(2)線段中點(diǎn)的向量表達(dá)式：在向量等式(1t)t中，令t，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，則()這是線段AB的中點(diǎn)的向量表達(dá)式思考：平面向量的基底選取有什么要求？它是唯一的嗎？提示平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量都可以作為基底，基底不唯一，但選取時(shí)應(yīng)盡量選有利于解決問題的基底，并且基底一旦選中，給定向量沿基底的分解是唯一確定的1已知平行四邊形ABCD，則下列各組向量中，是該平面內(nèi)所有向量基底的是()A.，B.，C.， D.，D由于，不共線，所以是一組基底2已知AD為ABC的邊BC上的中線，則等于()A.B.C. D.D根據(jù)線段BC的中點(diǎn)向量表達(dá)式可知()，故選D.3下列關(guān)于基底的說法正確的是_(填序號(hào))平面內(nèi)不共線的任意兩個(gè)向量都可作為一組基底基底中的向量可以是零向量平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的正確；對(duì)于，由于零向量與任意向量平行，所以基底中不能有零向量用基底表示向量【例1】設(shè)M，N，P是ABC三邊上的點(diǎn)，且，若a，b，試用a，b將，表示出來思路探究把a(bǔ)，b看成基底，先將三角形三邊上的有關(guān)向量表示出來，然后再根據(jù)向量加法或減法的三角形法則，即可將，用基底來表示解ab.b(ab)ab.()(ab)平面向量基本定理的作用以及注意點(diǎn)：(1)根據(jù)平面向量基本定理，任何一組基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，實(shí)質(zhì)上主要是利用三角形法則或平行四邊形法則，進(jìn)行向量的加減法運(yùn)算.(2)要注意適當(dāng)選擇向量所在的三角形或平行四邊形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量與未知向量的關(guān)系，用方程的觀點(diǎn)求出未知向量.1.如圖，設(shè)點(diǎn)P，Q是線段AB的三等分點(diǎn)，若a，b，則_，_.(用a，b表示)abab()ab.()ab.直線的向量參數(shù)方程式的應(yīng)用【例2】已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B，對(duì)該平面內(nèi)任一動(dòng)點(diǎn)C，總有3(13)(R，點(diǎn)O為直線AB外一點(diǎn))，則點(diǎn)C的軌跡是什么圖形？并說明理由思路探究將所給向量式與直線的向量參數(shù)方程式比較易得答案，也可以考慮將所給向量式化簡后再觀察特點(diǎn)解將已知向量等式兩邊同時(shí)減去，得(31)(13)(13)()(13)，即(13)，R，又，共始點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)共線，即點(diǎn)C的軌跡是直線AB.理解直線的向量參數(shù)方程式時(shí)要注意(1t)t中三向量共始點(diǎn)，左邊向量的系數(shù)是1，右邊兩向量的系數(shù)之和為1，也可以結(jié)合向量加法的平行四邊形法則進(jìn)行理解.2.如圖，設(shè)一直線上三點(diǎn)A，B，P滿足 (1)，O是平面上任意一點(diǎn)，則()A.(1)B.C.(1)D.A一條直線上三點(diǎn)A、B、P滿足(1)，(O)，化為(1)平面向量基本定理的綜合應(yīng)用探究問題1在向量等式xy中，若xy1，則三點(diǎn)P，A，B具有什么樣的位置關(guān)系？提示三點(diǎn)P，A，B在同一直線上在向量等式xy中，若xy1，則P，A，B三點(diǎn)共線；若P，A，B三點(diǎn)共線，則xy1.2平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)是什么？提示平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)是把任一向量兩個(gè)方向進(jìn)行分解【例3】如圖所示，在OAB中，a，b，點(diǎn)M是AB的靠近B的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)N是OA的靠近A的一個(gè)四等分點(diǎn)若OM與BN相交于點(diǎn)P，求.思路探究可利用t及s兩種形式來表示，并都轉(zhuǎn)化為以a，b為基底的表達(dá)式根據(jù)任一向量基底表示的唯一性求得s，t，進(jìn)而求得.解A()ab.因?yàn)榕c共線，故可設(shè)tab.又與共線，可設(shè)s，ss()(1s)asb，所以解得所以ab.1任意一向量基底表示的唯一性的理解：條件一平面內(nèi)任一向量a和同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量e1，e2條件二a1e11e2且a2e12e2結(jié)論2.任意一向量基底表示的唯一性的應(yīng)用：平面向量基本定理指出了平面內(nèi)任一向量都可以表示為同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量e1，e2的線性組合1e12e2.在具體求1，2時(shí)有兩種方法：(1)直接利用三角形法則、平行四邊形法則及向量共線定理；(2)利用待定系數(shù)法，即利用定理中1，2的唯一性列方程組求解3如圖所示，在ABC中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，且，BN與CM相交于點(diǎn)E，設(shè)a，b，試用基底a，b表示向量.解易得b，a，由N，E，B三點(diǎn)共線，設(shè)存在實(shí)數(shù)m，滿足m(1m)mb(1m)a.由C，E，M三點(diǎn)共線，設(shè)存在實(shí)數(shù)n滿足：n(1n)na(1n)b.所以mb(1m)ana(1n)b，由于a，b為基底，所以解得所以ab.(教師用書獨(dú)具)1基底的性質(zhì)(1)不共線性：平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量才可以作為一組基底，基底不同，表示也不同由于零向量與任何向量共線，所以零向量不可以作為基底(2)不唯一性：對(duì)基底的選取不唯一，平面內(nèi)任一向量a都可被這個(gè)平面的一組基底e1，e2線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的2用基底表示向量的兩種方法(1)運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止(2)通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.1已知向量ae12e2，b2e1e2，其中e1，e2不共線，則ab與c6e12e2的關(guān)系是()A不共線B共線C相等D不確定Bab3e1e2，c2(ab)，ab與c共線2如果e1，e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么，下列命題正確的是()A若實(shí)數(shù)1，2，使1e12e20，則120B平面內(nèi)任一向量a都可以表示為a1e12e2，其中1，2RC1e12e2不一定在平面內(nèi)，1，2RD對(duì)于平面內(nèi)任意一向量a，使a1e12e2的實(shí)數(shù)1、2有無數(shù)對(duì)A考查平面向量基本定理因?yàn)閑1，e2不共線，所以1e12e20，只能120.B選項(xiàng)1，2R不對(duì)，應(yīng)該是唯一數(shù)對(duì)；C選項(xiàng)1e12e2一定在平面內(nèi)；D選項(xiàng)應(yīng)該是唯一一對(duì)3已知A，B，D三點(diǎn)共線，且對(duì)任意一點(diǎn)C，有，則_.A，B，D三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)t，使t，則t