正態(tài)分布,1.1什么是正態(tài)分布？對于連續(xù)型隨機變量而言，正態(tài)分布是最重要的一種概率分布，其形狀似“鐘型”。經(jīng)驗表明：對于其值依賴于眾多微小因素且每一因素均產(chǎn)生微小的或正或負影響的連續(xù)型隨機變量來說，正態(tài)分布是一個相當好的描述模型。如身高、體重、考試成績等。,為了方便，通常用：,表示隨機變量X服從正態(tài)分布。符號表示隨機變量服從什么樣的分布；N表示正態(tài)分布；，為正態(tài)分布的（總體）均值（或期望）和方差。X是一個連續(xù)型隨機變量，可在區(qū)間（,+）內(nèi)任意取值。,-,-2,2,68%（近似）,3,-3,95%（近似）,99.7%（近似）,正態(tài)曲線下的區(qū)域示意圖,1.2正態(tài)分布的性質(zhì)：,正態(tài)分布曲線以均值為中心，對稱分布。正態(tài)分布的概率密度函數(shù)呈中間高、兩邊低，在均值處達到最高，向兩邊逐漸降低，即隨機變量在遠離均值處取值的概率逐漸變小。正態(tài)曲線下的面積約有68%位于兩值之間；約有95%面積位于2之間；約有99.7%的面積位于3之間。這些區(qū)域可用作概率的度量。,正態(tài)分布可由兩個參數(shù)，來描述，即一旦知道，的值，就可以根據(jù)附錄表查到隨機變量X落于某一區(qū)間的概率值。兩個（或多個）正態(tài)分布隨機變量的線性組合仍服從正態(tài)分布。該性質(zhì)很重要，解釋如下：,令：,假定X和Y相互獨立，設a、b為常數(shù)，考慮線性組合：W=aX+bY則有：,其中，,1.3標準正態(tài)分布,由于期望和方差的不同，正態(tài)分布之間會存在一定的區(qū)別（見下圖），如何將其簡單化，從而引入標準正態(tài)分布。,1,2,不同均值，同方差的兩個正態(tài)分布圖,1,2,1=2,不同均值，不同方差,相同均值，不同方差,標準正態(tài)分布,如果變量X的均值為，方差為，定義一個新的變量Z，,則根據(jù)性質(zhì)5，變量Z的均值為0，方差為1。在統(tǒng)計學中，我們稱之為單位或標準正態(tài)變量，用符號表示為：,任一給定均值和方差的正態(tài)變量都可轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)變量，將其標準化可以大大簡化計算。,例：變量X表示面包房每日出售的面包量，假定它服從均值為70、方差為9的正態(tài)分布，即XN(70,9)，求任給一天，出售面包數(shù)量大于75條的概率。首先，定義變量Z，Z=(75-70)/31.67求：P(Z1.67)查正態(tài)分布表得：P(0Z1.67)=0.4525則：P(Z1.67)=0.5-0.4525=0.0475即每天出售面包的數(shù)量超過75條的概率為0.0475。,1.67,0,0.4525,0.0475,f(Z),標準正態(tài)變量概率密度函數(shù),t分布,回憶：若樣本均值，則變量Z服從標準正態(tài)分布。,即：,假定已知和的估計量S，則可以用樣本標準差（S）代替總體標準差（），得到一個新的變量t。,根據(jù)統(tǒng)計理論得知：變量t服從自由度為(n-1)的t分布。注意：在這里，自由度為(n-1)，而不是n。結(jié)論：從正態(tài)總體中抽取隨機樣本，若該正態(tài)總體的均值為，但方差用其估計量S來代替，則其樣本均值服從t分布。通常用符號tk表示，其中k表示自由度。,k=120(正態(tài)）,K=20,K=5,0,不同自由度下的分布,t分布的性質(zhì),t分布與正態(tài)分布相類似，具有對稱性。t分布的均值與標準正態(tài)分布均值相同，為0，但方差為k/(k-2)。由此，在求t分布的方差時定義自由度必須大于2。標準正態(tài)分布的方差等于1，因此，t分布方差總大于標準分布的方差，也就是說，t分布比正態(tài)分布略“胖”些。,t分布與正態(tài)分布：當k增大時，t分布的方差接近于標準正態(tài)分布方差值1。例如：當k=10時，t分布的方差為10/8=1.25；當k=30時，t分布的方差為30/28=1.07；當k=100時，t分布的方差為100/98=1.02；結(jié)論：隨著自由度的逐漸增大，t分布近似于正態(tài)分布。注意：對于t分布，不要求其樣本容量很大，k=30時，t分布與正態(tài)分布已很近似。,t分布表的使用:,0,-1.812,1.812,例：自由度為10，P(t1.8