單元質(zhì)量檢測(cè)(七)一、選擇題1(2020上海春招)在空間中，“兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)”是“這兩條直線平行”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：在空間中，兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，可能是兩條直線平行，也可能是兩條直線異面，兩條直線平行則兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，“兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)”是“這兩條直線平行”的必要不充分條件答案：B2(2020茂名一模)如下圖所示為一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，則其對(duì)應(yīng)的實(shí)物是()解析：由三視圖及空間想象可知選A.答案：A3(2020山東高考)下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是()ABCD解析：正方體的三視圖都是正方形，不合題意；圓錐的正視圖和側(cè)視圖都是等腰三角形，俯視圖是圓，符合題意；三棱臺(tái)的正視圖和側(cè)視圖、俯視圖各不相同，不合題意；正四棱錐的正視圖和側(cè)視圖都是三角形，而俯視圖是正方形，符合題意，所以正確答案：D4(2020皖南八校三次聯(lián)考)已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖(正視圖中的弧線是半圓)，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，可得這個(gè)幾何體的表面積是()A(42)cm2 B(62)cm2C(43)cm2 D(63)cm2解析：由三視圖可知，該幾何體是底面直徑和高均為2 cm的放倒的半個(gè)圓柱，其中軸截面的面積為4 cm2，半個(gè)側(cè)面的面積為2cm2，兩底面的面積之和為 cm2，所以這個(gè)幾何體的表面積是(43)cm2，故應(yīng)選C.答案：C5(2020通州模擬)用平行于圓錐底面的截面去截圓錐，所得小圓錐的側(cè)面積與原來(lái)大圓錐的側(cè)面積的比是，則小圓錐的高與大圓錐的高的比是()A. B1C. D.解析：設(shè)小圓錐的高，底面半徑，母線長(zhǎng)分別為h，r，l，大圓錐的高，底面半徑，母線長(zhǎng)分別為H，R，L，則，()2，.答案：C6(2020青島一檢)已知直線l平面，直線m平面，下面有三個(gè)命題：lm；lm；lm.則真命題的個(gè)數(shù)為()A0 B1C2 D3解析：對(duì)于，由直線l平面，則l，又直線m平面，lm，故正確；對(duì)于，由條件不一定得到lm，還有l(wèi)與m相交和異面的情況，故錯(cuò)誤；對(duì)于，可知正確故正確命題的個(gè)數(shù)為2.答案：C7(2020濰坊一檢)已知m、n是兩條不同的直線，、是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()A若，則B若mn，m，n，則C若mn，m，則nD若n，n，則解析：對(duì)于選項(xiàng)A：垂直于同一平面的兩個(gè)平面也可以相交，如正方體相鄰的兩個(gè)平面，故A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)平面與平面相交于直線l，則在這兩個(gè)平面內(nèi)都存在與交線平行的直線，此時(shí)這兩直線也平行，故B也錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)C：應(yīng)有n或n兩種情形；對(duì)于選項(xiàng)D：由線面垂直性質(zhì)知，垂直于同一直線的兩平面平行，故D正確答案：D8(2020遼寧高考)正六棱錐PABCDEF中，G為PB的中點(diǎn)，則三棱錐DGAC與三棱錐PGAC體積之比為()A11 B12C21 D32解析：由題意可知三棱錐VBGACVPGAC，VBGACVGBAC，VDGACVGADC，又因?yàn)槿忮FGBAC與三棱錐GADC等高，且SBACSADC12，綜上可知VDGACVPGAC21，故選C.答案：C9(2020杭州二檢)如右圖，設(shè)平面EF，AB，CD，垂足分別是B、D，如果增加一個(gè)條件，就能推出BDEF，這個(gè)條件不可能是下面四個(gè)選項(xiàng)中的()AACBACEFCAC與BD在內(nèi)的射影在同一條直線上DAC與、所成的角相等解析：選項(xiàng)A、B、C均可推出EF平面ABCD，從而可推出BDEF；而由選項(xiàng)D并不能推出BDEF，故選D.答案：D10(2020安徽模擬)若二面角MlN的平面角大小為，直線m平面M，則平面N內(nèi)的直線與m所成角的取值范圍是()A， B，C， D0，解析：直線m與平面N內(nèi)的直線所成角最小為m與平面N所成的角，顯然m與N內(nèi)直線所成角最大為，因?yàn)镹內(nèi)一定有直線與m垂直答案：A11如下圖所示，E、F分別為正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是下圖中的()A四個(gè)圖形都正確 B只有(2)(3)正確C只有(4)錯(cuò)誤 D只有(1)(2)正確解析：在面ABCD上的射影為圖(2)；在面B1BCC1上的射影為圖(3)，在任何一個(gè)面上的射影都不會(huì)是圖(1)和圖(4)答案：B12(2020九江模擬)在正方體ABCDA1B1C1D1中，其棱長(zhǎng)為1，下列命題中，正確的命題個(gè)數(shù)為()A1C1和AD1所成角為；點(diǎn)B1到截面A1C1D的距離為；正方體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為1A3 B2C1 D0解析：連接BC1，則BC1AD1，A1C1B為異面直線A1C1與AD1所成角，顯然A1C1B.到平面A1C1D的距離為的點(diǎn)是B不是B1.正方形的內(nèi)切球與外接球半徑之比為1.答案：C二、填空題13(2020杭州二檢)如右圖，一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的側(cè)面積為_(kāi)解析：由三視圖可知，原幾何體為底面直徑為1，母線長(zhǎng)也為1的圓柱，故由圓柱側(cè)面積公式可得S21.答案：14在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上移動(dòng)，并且總是保持APBD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是_解析：由題意，當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，AP確定的平面與BD1垂直，點(diǎn)P應(yīng)在線段B1C上答案：線段B1C15(2020日照二調(diào))如下圖所示，四棱錐PABCD的底面是一直角梯形，ABCD，CD2AB，E為PC的中點(diǎn)，則BE與平面PAD的位置關(guān)系為_(kāi)解析：取PD的中點(diǎn)F，連接EF，AF，由題中條件易得四邊形ABEF為平行四邊形，從而進(jìn)一步可推出BEAF，根據(jù)線面平行的判定定理可得BE平面PAD(或取CD的中點(diǎn)M，連接EM，BM，由條件可推出平面BEM平面PAD，進(jìn)一步也可得出BE平面PAD)答案：平行16已知每條棱長(zhǎng)都為3的直平行六面體ABCDA1B1C1D1中，BAD60，長(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在DD1上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)則MN中點(diǎn)P的軌跡與該直平行六面體的表面所圍成的幾何體中體積較小的幾何體的體積為_(kāi)解析：連接PD，可得PD1，即點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)D為球心，半徑為1的球截直平行六面體ABCDA1B1C1D1所得的部分(如右圖所示)由DD1平面ABCD及ADC，可得該幾何體為球體的，所以其體積為V13.答案：三、解答題17已知圓錐的底面半徑為r，高為h，正方體ABCDABCD內(nèi)接于圓錐，求這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)解：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a.如右圖作出組合體的軸截面則OSh，OPr，OA，SOASOP，即，a，即正方體的棱長(zhǎng)為.18如右圖，在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC6，BD8，E是PB上任意一點(diǎn)，AEC面積的最小值是3.(1)求證：ACDE；(2)求四棱錐PABCD的體積解：(1)連接BD，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)F.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ACBD.又因?yàn)镻D平面ABCD，AC平面ABCD，所以PDAC.而PDBDD，所以AC平面PDB.E為PB上任意一點(diǎn)，DE平面PDB，所以ACDE.(2)連接EF.由(1)知AC平面PDB，EF平面PDB，所以ACEF.SACEACEF，在ACE面積最小時(shí)，EF最小，則EFPB.此時(shí)SACE3，6EF3，解得EF1.由PDBFEB，得.由于EF1，F(xiàn)B4，所以PB4PD.又PB，4PD，解得PD.VPABCDS菱形ABCDPD24.圖甲19(2020廣州模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直(右圖甲)，圖乙為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長(zhǎng)為6 cm的全等的等腰直角三角形(1)根據(jù)圖乙所給的正視圖、側(cè)視圖畫(huà)出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積圖乙(2)圖丙中，E為棱PB上的點(diǎn)，F(xiàn)為底面對(duì)角線AC上的點(diǎn)，且，求證：EF平面PDA.圖丙解：(1)該四棱錐的俯視圖為內(nèi)含對(duì)角線，邊長(zhǎng)為6 cm的正方形，如下圖其面積為36 cm2.(2)連接BF并延長(zhǎng)交AD于G，連接PG，則在正方形ABCD中，.又，在BGP中，EFPG.又EF平面PDA，PG平面PDA，EF平面PDA.20(2020淄博模擬)如右圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是正方形，SA平面ABCD，且SAAB，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為SC的中點(diǎn)(1)求證：EFCD；(2)求證：平面SCD平面SCE.證明：(1)連結(jié)AC、AF、BF、EF.SA平面ABCD，AF為RtSAC斜邊SC上的中線，AFSC.又ABCD是正方形，CBAB.而由SA平面ABCD，得CBSA，又ABSAA，CB平面SAB.CBSB，BF為RtSBC斜邊SC上的中線，BFSC.AFB為等腰三角形，EFAB.又CDAB，EFCD.(2)由已知易得RtSAERtCBE，SECE，即SEC是等腰三角形，EFSC.又SCCDC，EF平面SCD.又EF平面SCE，平面SCD平面SCE.21(2020廣東高考)如下圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是正方形BCC1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是棱C1D1，AA1的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)E1，G1分別是點(diǎn)E，G在平面DCC1D1內(nèi)的正投影(1)求以E為頂點(diǎn)，以四邊形FGAE在平面DCC1D1內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積；(2)證明：直線FG1平面FEE1；(3)求異面直線E1G1與EA所成角的正弦值解：(1)由題意知EE1平面DCC1D1，且四邊形FGAE在平面DCC1D1內(nèi)的正投影為四邊形FG1DE1.點(diǎn)E是正方形BCC1B1的中心，EE11.SFG1DE1SDCC1D1SFD1G1SE1C1FSDCE1，由題設(shè)知點(diǎn)E1、G1分別是CC1、DD1的中點(diǎn)，SFG1DE1221111122.故所求的四棱錐體積為VEFG1DE1SFG1DE1EE121.(2)由(1)知，E1C1F與G1D1F均為等腰直角三角形，G1FE1G1FFE1.EE1平面DCC1D1，F(xiàn)G1平面DCC1D1，EE1FG1.又EE1FE1E1，F(xiàn)G1平面FEE1.(3)由(1)的解答知E1G1AB，EAB即為E1G1與EA所成的角連接EB，由題意得EB.AB平面BCC1B1，EBA為直角三角形，EA，sinEAB.22如下圖，在正三棱錐ABCD中，BAC30，ABa，平行于AD、BC的截面EFGH分別與AB、BD、DC、CA交于E、F、G、H四點(diǎn)(1)試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明判斷理由；(2)設(shè)P點(diǎn)是棱AD上的點(diǎn)，當(dāng)AP為何值時(shí)，平面PBC平面EFGH？請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)四邊形EFGH是一個(gè)矩形，下面給